一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．的相反数是（ ） A．3
B．
C．﹣3
D．
2．下列运算正确的是（ ） A．﹣m2•m3＝m5
B．
+
＝
C．3m+2n＝5mn
D．（m3）2＝m6
3．将一副三角尺如图放置，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝∠DBE＝90°，∠E＝30°，当ED所在的直线与AC垂直时，∠CBE的度数是（ ）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
4．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是（ ） A．随机事件
B．不可能事件
C．必然事件
D．无法确定
5．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为2cm的小正方体堆成的一个几何体．如果在这个几何体的表面喷上红色的漆（贴紧地面的部分不喷），这个几何体喷漆的面积是（ ）
A．30cm2
B．32cm2
C．120cm2
D．128cm2
6．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2021﹣2a+2b的值为（ ） A．2019
B．2020
C．2022
D．2023
7．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3，下列说法错误的是（ ） A．函数的对称轴为x＝2
B．当x＜2时，y随x的增大而减小 C．图象与x轴没有交点
D．将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后的函数关系式为y＝（x+1）2 8．如图，⊙O的直径AB交弦CD相于点P，且∠APC＝45°，若PC＝3OA的长为（ ）
，PD＝
，则
A．3
B．2
C．3
D．
9．对于函数y＝﹣x+3，下列结论正确的是（ ） A．它的图象与两坐标轴围成等腰直角三角形 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．它的图象必经过点（﹣1，3） D．y的值随x值的增大而增大
10．如图边长为4的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝1，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为 米．
12．分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝ ．
13．某次射击练习，甲、乙二人各射靶5次，命中的环数如表：
甲射靶环数 乙射靶环数 通过计算可知
甲
7 9
乙
8 5
6 6
8 7
6 8
＝
＝7，S甲2＝0.8，S乙2＝2，所以射击成绩比较稳定的是 ．
14．若一个菱形的周长为200cm，一条对角线长为60cm，则它的面积为 ． 15．△ABC三个顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（4，﹣5），C（5，﹣2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．相应坐标是 （写出一种即可）
16．若关于x的一元一次不等式组是 ．
17．排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半径等于 dm．
的解集是x＜﹣3，则m的取值范围
18．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高为12，则该圆锥的母线长AB为 ．
19．如图，点A的坐标为（3，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值是 ．
20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2． 给出下列结论： ①abc＞0， ②a﹣b+c＜0， ③2a+b＜0， ④1＜a+b+2c＜2，
⑤4a+b＜﹣2．其中正确结论的个数是 ．
三．解答题（共6小题，满分80分） 21．（14分）（1）先化简，再求值：（2﹣
﹣
）÷，其中x＝2．
（2）计算：|
﹣2|+20100﹣（﹣）1+3tan30°．
22．（14分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，铁一中举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别 第1组 第2组 第3组
成绩x分 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80
频数（人数）
6 8 14
第4组 第5组
请结合图表完成下列各题：
80≤x＜90 90≤x＜100
a 10
（1）①表中a的值为 ，中位数在第 组； ②频数分布直方图补充完整；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，用树状图或列表求出小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，F为弧AD上一点，且D是弧BF的中点，过点D作DE⊥AF，交线段AF的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8，tanC＝，求DE的值．
24．（12分）某电脑销售公司在5月份售出甲、乙、丙三种型号的电脑若干台，每种型号的电脑不少于10台．这个月的支出包括以下三项：这批产品的进货总成本850000元，人员工资和其他支出．这三种电脑的进价和售价如表所示，人员工资y1（元）与总销售量x（台）的关系式为y1＝400x+12000，其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数图象如图所示．
型号 进价（元/台） 售价（元/台）
甲 4500 6000
乙 6000 8000
丙 5500 6500
（1）求其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式；
（2）如果该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，求该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑多少台？
（3）在（2）的条件下，求该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值，并求出此时三种电脑各销售了多少台？（利润＝售价﹣进价﹣人员工资﹣其他支出）
25．（12分）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，当∠BAC、∠BAD、∠BAE、满足条件 时，△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”；
（2）如图②，在△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD相交于点M，连AM，求证：MA平分∠BMD；
（3）如图③，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD+∠BCD＝180°，AC＝BC+DC，求∠BAD的度数．
26．（16分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
直线BE交y轴正半轴于点E．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）连接BD，CD，设∠DBO＝α，∠EBO＝β，若tan（α﹣β）＝1，求点E的坐标； （3）点M是抛物线上的一点，点N是x轴上的一点，若以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．（直接写出结果即可）
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：依据只有符号不同的两个数互为相反数得：的相反数是故选：D．
2．解：∵﹣m2•m3＝﹣m2+3＝﹣m5， ∴A选项不符合题意； ∵
与
不是同类二次根式，不能合并，
．
∴B选项不符合题意；
∵3m与2n不是同类项，不能合并， ∴C选项不符合题意； ∵（m3）2＝m32＝m6，
×
∴D选项符合题意． 故选：D．
3．解：延长ED交AC于F， 则EF⊥AC， ∴∠EFC＝90°， ∵∠C＝∠DBE＝90°， ∴∠C+∠EFC＝180°， ∴EF∥BC，
∴∠BDF+∠CBD＝180°， ∴∠CBD＝180°﹣∠BDF，
∵∠BDF＝∠BDE+∠E，∠E＝30°， ∴∠BDF＝90°+30°＝120°，
∴∠CBD＝180°﹣∠BDF＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝60°+90°＝150°， 故选：C．
4．解：∵一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同， ∴事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件． 故选：C．
5．解：喷漆表面的面一共有32个，则这个几何体喷漆的面积为32×4＝128（cm2）， 故选：D．
6．解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣1＝0， 则a﹣b＝1，
所以原式＝2021﹣2（a﹣b） ＝2021﹣2×1 ＝2021﹣2 ＝2019， 故选：A．
7．解：二次函数y＝x2﹣4x+3 ＝（x﹣2）2﹣1
A．函数的对称轴为x＝2， 所以A选项正确，不符合题意； B．因为抛物线开口向上， 当x＜2时，y随x的增大而减小， 所以B选项正确，不符合题意； C．因为△＝16﹣12＝4＞0， 图象与x轴有两个交点， 所以C选项错误，符号题意；
D．将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后的函数关系式为y＝（x+1）2， 所以D选项正确，不符合题意． 故选：C．
8．解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD， ∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°． 又∵OC＝OD， ∴∠ODP＝∠OCP，
∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODN＝45°+∠ODC， ∴∠NDO＝∠COM， 在△ODN与△COM中，
，
∴△ODN≌△COM（AAS）， ∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN． 又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2， ∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2．
∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝（3∴OC2＝15， ∴OC＝OA＝故选：D．
，
）2+（
）2＝30．
9．解：A．由函数y＝﹣x+3可知与坐标轴的交点为（3，0）和（0，3），所以它的图象与两坐标轴围成等腰直角三角形，选项A正确； B．它的图象经过第一、二、四象限，选项B错误； C．它的图象必经过点（﹣1，4），选项C错误； D．y的值随x值的增大而减小，选项D错误； 故选：A．
10．解：过点G作GM⊥AB于M，作GN⊥AD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°，
∵GM⊥AB，GN⊥AD， ∴∠FMG＝∠DNG＝90°， ∴四边形AMGN是矩形，
∴MG＝AN，AM＝NG，∠A＝∠FMG，
∵线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG， ∴EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFA+∠GFM＝90°， ∵∠GFM+FGM＝90°， ∴∠EFA＝∠FGM， 在△AEF和△MFC中，
，
∴△AEF≌△MFG（AAS）， ∴AE＝MF，AF＝MG， ∵AE＝1， ∴MF＝1，
设AF＝x（0≤x≤4），
则MG＝x，AM＝x+1，AN＝MG＝x， ∴NG＝x+1， ∵AB＝4， ∴DN＝4﹣x， ∴DG＝
＝
＝
＝
，
，
∴当x＝时，DG取最小值，其最小值为故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解：96000千米＝96000000＝9.6×107（米）． 故答案为：9.6×107．
12．解：3x2﹣12xy+12y2＝3（x2﹣4xy+4y2） ＝3（x﹣2y）2． 故答案为：3（x﹣2y）2． 13．解：∵
甲
＝
乙
＝7，S甲2＝0.8，S乙2＝2，
∴S甲2＜S乙2，
∴射击成绩比较稳定的是甲， 故答案为：甲．
14．解：已知AC＝60cm，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO＝30cm，
又∵菱形ABCD周长为200cm， ∴AB＝50cm， ∴BO＝
＝
＝40cm，
∴AC＝2BO＝80cm，
∴菱形的面积为×60×80＝2400（cm2）． 故答案为：2400cm2．
15．解：∵△ABC三个顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（4，﹣5），C（5，﹣2），以原点O为位似中心，把△ABO放大为原来的2倍，
∴A'（4，﹣4），B'（8，﹣10），C'（10，﹣4）或A'（﹣4，4），B'（﹣8，10），C'（﹣10，4）
故答案为：A'（4，﹣4），B'（8，﹣10），C'（10，﹣4）或A'（﹣4，4），B'（﹣8，10），C'（﹣10，4）（一种即可）
16．解：解不等式2x﹣1＞3x+2，得：x＜﹣3，
∵不等式组∴m≥﹣3． 故答案为m≥﹣3． 17．解：连接OA， ∵AB＝8，OC⊥AB， ∴AC＝AB＝4． ∵OC＝3， ∴OA＝故答案为：5．
＝
的解集是x＜﹣3，
＝5（dm）．
18．解：根据题意得2π×OB＝10π， 所以OB＝5， 所以AB＝故答案为13．
19．解：过点B作BC垂直OA于C，如图： ∵点A的坐标是（3，0）， ∴AO＝3，
∵△ABO是等边三角形， ∴OC＝，BC＝
，
），
．
＝
＝13．
∴点B的坐标是（，把（，故答案为
）代入反比例函数y＝，得k＝．
20．解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0， 所以abc＜0，故①错误；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，因此②正确； 对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣
＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故③正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＝2，又c＞1，所以a+b+2c＞3，故④错误；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，又因为a+b+c＝2，即b+c＝2﹣a，所以4a+b+（2﹣a）＜0，也就是3a+b＜﹣2，而a＜0，因此4a+b＜﹣2，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③⑤， 故答案为：②③⑤．
三．解答题（共6小题，满分80分） 21．解：（1）（2﹣＝＝＝＝
，
；
﹣
）÷
当x＝2时，原式＝（2）|＝2＝2﹣＝6．
﹣2|+20100﹣（﹣）1+3tan30° +1﹣（﹣3）+3×+1+3+
22．解：（1）①a＝50﹣10﹣14﹣8﹣6＝12（人），
共有50个数据，从小到大排列，处在第25、26位的两个数都在第3组，因此中位数在第3组，
②补全频数分布直方图如图所示： 故答案为：12，3； （2）（12+10）÷50＝44%， 答：本次测试的优秀率是44%；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果，其中2人分在同一组的有2种， 所以，小明、小强分在同一组的概率为
＝．
23．（1）证明：连接OD，BF，交点为点M，
∵D是弧BF的中点， ∴OD⊥BF，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AF， ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠DBC+∠C＝90°， ∴∠ABD＝∠C，
∴tan∠ABD＝tan∠C＝，
设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得，AD2+BD2＝AB2， ∴（4x）2+（3x）2＝82， ∴x＝， ∴AD＝∵D为
， 的中点，
∴∠FAD＝∠DAB， ∴∠FAD＝∠DAB， ∴∠EDA＝∠ABD， ∴tan∠EDA＝， 设AE＝4a，DE＝3a， ∴解得a＝
，
．
，
∴DE＝3a＝
24．解：（1）设y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝kx+b， 根据题意得：
，
解得：
∴y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝100x+3000； （2）由题意得：y1+y2＝90000， ∴400x+12000+100x+3000＝90000， 解得：x＝150
该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑150台；
（3）设该公司5月份销售甲种电脑t台，乙种电脑p台，则售出丙种电脑（150﹣t﹣p）台，
由题意得：4500t+6000p+5500（150﹣t﹣p）＝850000， 解得：p＝2t+50，
∵每种型号的电脑不少于10台， ∴
∴10≤t≤30，
∴W＝6000t+8000（2t+50）+6500（150﹣t﹣2t﹣50）﹣850000﹣90000＝2500t+110000（10≤t≤30）．
∴当t＝30时，W有最大值，最大值为：2500×30+110000＝185000（元）． ∴2t+50＝110（台），150﹣t﹣2t﹣50＝10（台）．
∴该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值为185000元，此时甲种电脑销售了30台，乙种电脑销售了110台，丙种电脑销售了10台． 25．解：（1）∵在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE， ∴当∠BAC＝∠DAE时，△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”， ∵∠BAE＝∠DAE+∠BAD， ∴∠BAE＝∠BAC+∠BAD，
故当∠BAE＝∠BAC+∠BAD时，△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”， 故答案为∠BAE＝∠BAC+∠BAD；
（2）∵在△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACD．
过点A作AM⊥BE于点M，作AN⊥CD于点N，如图②，
∴∠AHB＝∠ANV＝90°， ∴△ABH≌△ACN（AAS），
∴AH＝AN（全等三角形的对应高相等）， ∴HA平分∠BMD；
（3）延长CD至E，使得DE＝BC，连接AE，如图③，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣180°＝180°， ∵∠ADC+∠ADE＝180°， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝BC+DC＝DE+DC＝CE，
∴AC＝CE＝AE， ∴∠CAE＝60°， ∴∠BAD＝60°．
26．解：（1）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点的抛物线， ∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， ∵点C（0，3）在抛物线上， ∴3＝﹣3a， ∴a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）由抛物线的表达式知，其顶点坐标为D（1，4）， ∵tan （α﹣β）＝1， ∴α﹣β＝45°，
∵∠DBO＝α，∠EBO＝β， ∴∠DBE＝45°， ∵C（0，3），B（3，0）， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝45°， ∴∠CBD＝∠OBE，
∵B（3，0），C（0，3），D（1，4）， ∴OB＝3，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BCD＝90°＝∠BOE， ∵∠CBD＝∠OBE， ∴△OBE∽△CBD， ∴∴
∴OE＝1，
， ，
∴E（0，1）；
（3）点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），设点M的坐标为（m，n），则n＝﹣m2+2m+3①，设点N（t，0）， ①当BC是边时，
∵点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，则点M（N）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点N（M），
则m+3＝t且n﹣3＝0或m﹣3＝t且n+3＝0②，
联立①②并解得：（不合题意的值已舍去），
故点N的坐标为（5，0）或（﹣4+②当BC是对角线时，
，0）或（﹣4﹣，0）；
由中点公式得：（3+0）＝（m+t）且（0+3）＝（n+0）③，
联立①③并解得，
故点N的坐标为（1，0）；
综上，点N的坐标为（5，0）或（﹣4+
，0）或（﹣4﹣
，0）或（1，0）．
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