湖北省黄冈市黄梅一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

湖北省黄冈市黄梅一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题） 1．（5分）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（） A．

2．（5分）若

2

B． C． D．

，则（a0+a2+…+a10）﹣（a1+a3+…+a9）

2

的值为（） A． 0

B． 2 C． ﹣1 D．1

3．（5分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，

yn），则下列说法中不正确的是（） A． 由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）

B． 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

22

C． 用相关指数R来刻画回归效果，R越小，说明模型的拟合效果越好 D． 若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系

2

2

4．（5分）在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x+y=1内的概率为（）

A． B． C． D．

5．（5分）某校2014-2015学年高二年级有8个班，现有6名学生，分配到其中两个班，每班3人，共有种（）方法． A． 280 B． 560 C． 1120 D．3360 6．（5分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，则P（B|A）=（） A．

B．

C．

D．

7．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程

零件数x个 10 20

30 75

40 81

50 89

加工时间y（min） 62

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（） A． 68 B． 68.2 C． 69 D．75 8．（5分）执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）

A．

9．（5分）若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”．在集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（） A．

10．（5分）在数1，2，3，4，5的排列a1，a2，a3，a4，a5中，满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列出现的概率为（） A．

B．

C．

D．

B．

C．

D．

B．

C．

D．

二、填空题（共5小题） 11．（5分）若

展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为．

12．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=． 13．（5分）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于．

14．（5分）将7个“省三好学生”名额分配给5个不同的学校，其中甲乙两校各要有2个名额，则不同的分配方案种数有 种．（用数字作答） 15．（5分）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则+

的最小值为．

三、解答题（共6小题） 16．（12分）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时： （1）各位数字互不相同的三位数有多少个？ （2）可以排出多少个不同的数？

（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？

17．（12分）已知

的展开式中前三项的系数成等差数列．

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）求展开式中系数最大的项． 18．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中2014-2015学年高二代表队有6人． （1）求n的值；

（2）把在前排就坐的2014-2015学年高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

19．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题． （Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；

（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

20．（13分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值； （1）求随机变量ξ的数学期望

（2）记“关于x的不等式 ξx﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）． 21．（14分）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．

（1）求直线PQ与圆C的方程；

（2）若直线l∥PQ，直线l与PQ交于点A、B，且以AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

2

湖北省黄冈市黄梅一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题） 1．（5分）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（） A．

B． C． D．

考点： 分层抽样方法．

专题： 计算题；概率与统计．

分析： 先计算抽样比f，再求出A类学校应该抽取多少人，由此能求出A类学校中的学生甲被抽到的概率．

解答： 解：抽样比f=∴A类学校应该抽取2000×

=200，

=，

∴A类学校中的学生甲被抽到的概率为P==．

故选：A．

点评： 本题考查分层抽样的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

2．（5分）若

2

，则（a0+a2+…+a10）﹣（a1+a3+…+a9）

2

的值为（） A． 0 B． 2

考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题．

C． ﹣1 D．1

分析： 因为题目已知

2

，则求（a0+a2+…+a10）

﹣（a1+a3+…+a9）

），又式子

10

（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2

2

故可设设f（x）=（可以根据平方差化简成两

个式子的乘积，再根据二项式系数的性质可得它们等于f（1）f（﹣1），解出即可得到答案． 解答： 解：设f（x）=

2

2

则（a0+a2+…+a10）﹣（a1+a3+…+a9）=（a0+a1+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣…﹣a9+a10）=f（1）f（﹣

1）

=（）（）=1． 故选D．

点评： 此题主要考查二项式系数的性质的应用问题，其中判断出（a0+a1+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣…﹣a9+a10）=f（1）f（﹣1）是题目关键，有一定的技巧性，属于中档题目．

3．（5分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（） A． 由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）

B． 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

22

C． 用相关指数R来刻画回归效果，R越小，说明模型的拟合效果越好 D． 若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系

考点： 两个变量的线性相关．

1010

专题： 常规题型．

分析： 线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强． 解答： 解：样本中心点在直线上，故A正确， 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确， 2

R越大拟合效果越好，故C不正确，

当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系， 故选C

点评： 本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．

2

2

4．（5分）在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x+y=1内的概率为（）

A． B． C． D．

考点： 几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域． 专题： 数形结合．

分析： 由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的

几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．

解答： 解：满足约束条件区域为△ABC内部（含边界），

与单位圆x+y=1的公共部分如图中阴影部分所示，

22

则点P落在单位圆x+y=1内的概率概率为

2

2

P=．

故选D

点评： 本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=

求解．

5．（5分）某校2014-2015学年高二年级有8个班，现有6名学生，分配到其中两个班，每班3人，共有种（）方法． A． 280 B． 560 C． 1120 D．3360

考点： 计数原理的应用． 专题： 计算题．

分析： 首先把6个人平均分成两个组，作为两个元素，这是一个平均分组问题有果，把这两个元素在8个位置排列，根据分步计数原理得到结果． 解答： 解：由题意知本题是一个分步计数问题，

首先把6个人平均分成两个组，作为两个元素，这是一个平均分组问题， 有

=10种结果，

2

种结

把这两个元素在8个位置排列，共有A8=56种结果， 根据分步计数原理得到共有10×56=560， 故选B

点评： 本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把6个元素进行分组，这里是一个平均分组，注意所分成的组数不要重复． 6．（5分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，则P（B|A）=（） A．

B．

C．

D．

考点： 条件概率与独立事件． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 由题意，先计算P（AB），P（A），再利用条件概率公式，即可求得结论．

解答： 解：由题意，P（AB）=∴P（B|A）=

=，

=，P（A）=1﹣=，

故选：C．

点评： 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题． 7．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程

零件数x个 10 20

30 75

40 81

50 89

加工时间y（min） 62

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（） A． 68 B． 68.2 C． 69 D．75

考点： 线性回归方程． 专题： 应用题．

分析： 根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二

乘法求得回归方程 ，代入样本中心点求出该数据的值，

解答： 解：设表中有一个模糊看不清数据为m． 由表中数据得：=30，=由于由最小二乘法求得回归方程将x=30，y=

，

．

代入回归直线方程，得m=68．

故选A．

点评： 本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测． 8．（5分）执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

考点： 循环结构． 专题： 计算题．

分析： 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果n=4，从而判断p的范围．

解答： 解：根据题意可知该循环体运行3次 第一次：s=，n=2 第二次：s=第三次：s=

=，n=3

=，n=4

此时退出循环体，不满足S＜P， 所以

，

故选D．

点评： 本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，否则退出循环体，属于基础题．

9．（5分）若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”．在集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（） A．

B．

C．

D．

考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 本题可先对集合M的所有非空子集的个数，再研究出符合条件的“伙伴关系集合”的个数，从而求出本题的概率，得到本题结论．

解答： 解：∵集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}， ∴集合M的所有非空子集的个数为：2﹣1=511． ∵若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合， ∴若﹣1∈A，则若1∈A，则

∈A；

∈A；

9

若2∈A，则∈A，2与一起成对出现； 若3∈A，则∈A，3与一起成对出现； 若4∈A，则∈A，4与一起成对出现．

∴集合M的所有非空子集中，“伙伴关系集合”可能有：2﹣1=31个．

∴在集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为：

．

5

故选C．

点评： 本题考查了集合的子集个数和新定义的概念，本题难度不大，属于基础题．

10．（5分）在数1，2，3，4，5的排列a1，a2，a3，a4，a5中，满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列出现的概率为（） A．

B．

C．

D．

考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 计算题；转化思想．

分析： 先求试验的所有结果数为A55，而满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的情况分①3，5排在2、4位置共有2A22种②4，5排在2、4位置的有2A33种，代入古典概率公式进行计算．

解答： 解：数1，2，3，4，5的排列共有A55=120种结果，

记“满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5”为事件A，则A包含的结果有2A22+2A33=16

由古典概率的计算公式可得P（A）=；

故选B

点评： 本题以古典概率的计算为载体，重点考查了排列在实际问题中的运用，解决本题的关键是要对题中的要求，采用分类计数原理找出指定的事件的结果数，从而代入古典概率的计算公式．

二、填空题（共5小题） 11．（5分）若

展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为

84．

考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题．

分析： 结合二项式定理，通过令x=﹣1，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．

n

解答： 解：展开式中所有二项式系数和为512，即2=512，则n=9，

rr18﹣3r

Tr+1=（﹣1）C9x令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84． 故答案为：84．

点评： 本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，特定项的求法，考查计算能力．

12．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=

考点： 专题： 分析： 解答：

．

正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

计算题．

画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果． 解：画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象如下图：

由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=p，则P（ξ＜﹣1）=p， ∴则P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2p， P（﹣1＜ξ＜0）=故填：

．

．

点评： 本题考查正态分布，学习正态分布时需注意以下问题：1．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．

13．（5分）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于．

考点： 二项分布与n次独立重复试验的模型． 专题： 概率与统计．

分析： 根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的未知量p． 解答： 解：∵ξ服从二项分布B～（n，p） Eξ=300，Dξ=200 ∴Eξ=300=np，①； Dξ=200=np（1﹣p），②．

可得1﹣p=∴p=1﹣=． 故答案为：．

=，

点评： 本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．

14．（5分）将7个“省三好学生”名额分配给5个不同的学校，其中甲乙两校各要有2个名额，则不同的分配方案种数有35 种．（用数字作答）

考点： 计数原理的应用． 专题： 排列组合．

分析： 三好学生名额是相同的元素，首先要考虑要满足甲、乙两校至少各有两个名额，可以先给甲和乙各两个名额，余下的三个相同的元素在五个位置任意放，当三个元素都给一个学校时，当三个元素分为1和2两种情况时，当三个元素按1、1、1分成三份时，把三种结果列出．

解答： 解：∵7个市三好学生名额是相同的元素，

∴要满足甲、乙两校至少各有两个名额，可以先给甲和乙各两个名额， 余下的三个相同的元素在五个位置任意放， 当三个元素都给一个学校时，有5种结果，

当三个元素分为1和2两种情况时，有4×5=20种结果，

3

当三个元素按1、1、1分成三份时，有C5=10种结果， ∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果 故答案为：35．

点评： 本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时任意出错，本题应用分类讨论思想． 15．（5分）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的

期望是1，则+的最小值为．

考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 计算题；不等式的解法及应用．

分析： 由该足因为该足球队进行一场比赛得分的期望是1，得到3a+b=1，利用基本不等式

求出+的最小值．

解答： 解：因为该足球队进行一场比赛得分的期望是1， 所以3a+b=1 所以+

=（3a+b）（+

）=

+

=

， ．

当且仅当a=b取等号，+故答案为：

．

的最小值为

点评： 利用基本不等式求合适的最值时，一定注意不等式使用的条件：一正、二定、三相

等．

三、解答题（共6小题） 16．（12分）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时： （1）各位数字互不相同的三位数有多少个？

（2）可以排出多少个不同的数？

（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？

考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 排列组合．

分析： （1）得到一个三位数，分三步进行：先填百位，有6种方法，再填十位，有5种方法，最后填个位，有4种方法，根据分步计数原理可得

（2）分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位，每种都有6种方法，根据分步计数原理可得．

2

（3）从三个位中任选两个位，填上相同的数字，有6C3 种方法，剩下的一位数字的填法有5种，根据分步计数原理，求出结果． 解答： 解：（1）得到一个三位数，分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位．百位上的数字填法有6种，十位上的数字填法有5种，个位上的数字填法有4种， 根据分步计数原理，各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120个．

（2）分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位，每种都有6种方法，根据分步计数原理，可以排出6×6×6=216个不同的数．

2

（3）从三个位中任选两个位，填上相同的数字，有6C3 种方法，剩下的一位数字的填法有5

21

种，根据分步计数原理，恰好有两个相同的数字的三位数有 6C3 C5=90 个．

点评： 本题主要考查分步计数原理的应用，正确进行分步并求出每一步的方法数，是解题的关键，属于基础题．

17．（12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列．

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题．

分析： （I）利用二项展开式的通项公式求出展开式前三项的系数，列出方程求出n．

（II）设出系数最大的项，据最大的系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项的系数，列出不等式组求出r，求出系数最大的项．

解答： 解：（Ⅰ）由题设，得

即n﹣9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）．

2

，

（Ⅱ）设第r+1的系数最大，则

即解得r=2或r=3．

所以系数最大的项为T3=7x，

5

．

点评： 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查二项展开式中系数最大项的求法． 18．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中2014-2015学年高二代表队有6人． （1）求n的值；

（2）把在前排就坐的2014-2015学年高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

考点： 程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型． 专题： 综合题；概率与统计．

分析： （1）根据分层抽样可得，故可求n的值；

（2）求出2014-2015学年高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；

（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部

分，计算面积，可求该代表中奖的概率． 解答： 解：（1）由题意可得

，∴n=160；

（2）2014-2015学年高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，

∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；

（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，

由条件得到的区域为图中的阴影部分

由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1 ∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为

=

∴该代表中奖的概率为=．

点评： 本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键． 19．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题． （Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图； （Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；

（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． 专题： 计算题；图表型．

分析： （I）由题意及频率分布直方图，设分数在[70，80）内的频率为x，建立方程解出即可；

（II）有图及平均数的定义即可求估计本次考试的平均分；

（III）由题意若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，得到X的分布列，在有期望的定义即可求得． 解答： 解：（Ⅰ）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，则有 （0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3， 所以频率分布直方图如图所示．

（Ⅱ）平均分为：

（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，

在[70，100]的有0.6×60=36人，并且X的可能取值是0，1，2．所以X的分布列为：

．

∴EX=0×+1×+2×==．

点评： 此题考查了学生识图的能力，还考查了统计中的平均数的定义及离散型随机变量的分布列及期望的定义．

20．（13分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值； （1）求随机变量ξ的数学期望

2

（2）记“关于x的不等式 ξx﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率． 专题： 综合题．

分析： （1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望．

2

（2）由题意知：“不等式ξx﹣ξx+1＞0的解集是实数R”为事件A．当ξ=0时，不等式化为1

2

＞0，其解集是R，说明事件A发生；当ξ=2时，不等式化为2x﹣2x+1＞0，△=﹣4＜0，所

以解集是R，说明事件A发生；当ξ=4时，不等式化为4x﹣4x+1＞0，其解集{x|x明事件A不发生．由此能求出事件A发生的概率P（A）． 解答： 解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，（2分） ∵“ξ=0”指的是实验成功2次，失败2次．（2分） ∴p（ξ=0）=

．

2

}，说

“ξ=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次． ∴P（ξ=2）=

．

“ξ=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次． ∴p（ξ=4）=∴Eξ=

故随机变量ξ的数学期望为

2

，（6分）

． ．（7分）

（2）由题意知：“不等式ξx﹣ξx+1＞0的解集是实数R”为事件A． 当ξ=0时，不等式化为1＞0，其解集是R，说明事件A发生；

2

当ξ=2时，不等式化为2x﹣2x+1＞0，

∵△=﹣4＜0，所以解集是R，说明事件A发生； 当ξ=4时，不等式化为4x﹣4x+1＞0，其解集{x|x说明事件A不发生．（10分） ∴p（A）=p（ξ=0）+p（ξ=2）=

．（12分）

2

}，

点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．

21．（14分）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．

（1）求直线PQ与圆C的方程；

（2）若直线l∥PQ，直线l与PQ交于点A、B，且以AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 直线与圆．

分析： （1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键，根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；

（2）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．

解答： 解：（1）直线PQ的方程为y﹣3=即直线PQ的方程为x+y﹣2=0， C在PQ的中垂线y﹣即y=x﹣1上，

2

×（x+1）

=1×（x﹣

2

2

）

2

设C（n，n﹣1），则r=|CQ|=（n+1）+（n﹣4），

222

由题意，有r=（2 ）+|n|， 22

∴n+12=2n﹣6n+17，

2

∴n=1或5（舍去），r=13或37（舍去），

22

∴圆C的方程为（x﹣1）+y=13． （2）设直线l的方程为x+y+m=0， 由

2

2

，

得2x+（2m﹣2）x+m﹣12=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=1﹣m，x1x2=

，

∵以AB为直径的圆经过坐标原点，∴∠AOB=90°，∴x1x2+y1y2=0

2

∴x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，整理得m+m﹣12=0， ∴m=3或﹣4（均满足△＞0），

∴l的方程为x+y+3=0或x+y﹣4=0．

点评： 本题考查直线与圆的综合问题，考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法，注意待定系数法的运用，考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法，考查设而不求思想的运用，考查方程思想和转化与化归的思想．