作业上交时间
1、垄断厂商无成本的提供一耐久品，时间为两期t=1,2，没有折旧。贴现率为δ=1/(1+r)，消费者每期的需求函数为D(p)=1−p。垄断者有2个选择：a在每期出租物品，b在
每期出售物品。垄断者会选择出租还是出售。(leasing or selling tirole 1.5.2.1) 解答：比较2种选择：
a. 垄断者出租物品，则在每期，垄断者定价pt来最大化ptD(pt)，p1=p2=
1
。2
1
，第二期中q2=0。 211l
他的跨期利润折现价值为Π=+δ
44
在第一期中，垄断者生产q1=
b. 垄断者选择卖出物品。在第二期时，由于第一期的耐久品已经卖出，垄断者选
择p2来最大化利润q2(1−q1−q2)。于是q2=(1−q1)/2，第二期利润为
(1−q1)2/4。
消费者愿意在第一期购买物品当且仅当购买该物品比在第一期租在第二期购买的期望价格低，就是p1≤(1−q1)+δp2。利润最大化的垄断者会选择
p1=(1−q1)+δp2。则垄断者的问题为
(1−q1)2
Π=max[q1(1−q1)(1+)+δ]
24
q1
s
δq1=2/(4+δ)，p1=(2+δ)2/2(4+δ)<(1+δ)/2
最重要的是Πs<Πl。
所以在这个简单模型中垄断者倾向于租，而非卖。
2、考虑双头垄断厂商生产一个同质产品。厂商1用一单位劳动和一单位生产材料生产一单位产出。厂商2用两单位劳动和一单位生产材料生产一单位产出。劳动和生产材料的成本为w和r。总需求函数为P=1−q1−q2。 a. 计算cournot均衡。
b. 证明厂商1利润不受w影响。(tirole exercise 5.4 cournot competition with production cost) 解答: a q1=
1−r
,q2=(1−r−3w)/3 3
∂Π1
b 由envelope定理可以直接证明=0.
∂w
2
3、假设市场上有2个厂商，以成本c(q)=q/2生产完全替代品，总需求函数为
P=1−q1−q2。如果此时厂商1有机会去另外的市场卖出自己的产品x1，总成本为
(q1+x1)2/2，在第二个市场上的需求函数为p=a−x1。请计算均衡产量，并解释当a=1/4 时，当a增大时厂商1利润会减少。(tirole exercise 5.5)
解答：q1=(2−a)/7，q2=(5+a)/21 ，x1=(8a−2)/21。直接用envelope定理证明。直觉是当a=1/4时，厂商1不会进入市场2。当a增大时，厂商2知道厂商1选择进入
市场2，于是厂商2会增大自己的产出。
4、一个产业初始是完全竞争市场。价格等于所有厂商的边际成本c。需求为q=1−bp。其中一个厂商可以利用一个减少成本的科技，它可以减少边际成本到c通过花费这样这个革新是不剧烈的。这个革新在时间0是发生，φ(c)=K(c−c)2/2。K充分大，
并且持续T期，在此后，所有公司可以以成本c，公司之间进行Bertrand竞争，利率为r.请求出社会最优的专利长度T* (Tirole IO Exercise 10.4) 解答：假设∆≡c−c，D≡1−bc，和ς≡1−e
−rT
。公司最大化
K∆2
V(ς)=max∆(∆D−)
r2
ς得到
∆(ς)=
福利水平为
ςrK
D
1−ςb
W(ς)=V(ς)+()(D∆(ς)+∆(ς)2)
r2
∂V∆DdW
从包络定理知道，从而==0也就是
∂ςrdς32
bς+(rK−b)ς−rK=0存在一个[0,1]间的正根，利用ς的定义求出T*。 2
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