工科数学分析(下)考试题(带答案)

姓名：___________

一、填空题（每小题3分，满分18分）

1、设fx,y,zxyxz，则fx,y,z在1,0,1沿方向l2i2jk的方向导数为

2 得分: _________

_________.

2.设L为一条不过原点的光滑闭曲线,且原点位于L内部,其走向为逆时针方向,则曲线xdy-ydx__________.积分ÑL222xy

3.设曲线c为xy1,则曲线积分Ñ(xy)ds ___________

c4、微分方程xdy(3xyy)dx0的通解为___________

5、F(y)2y2ysin(xy)dx的导数为______________. x6、

f(x)ex,x01,0x,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于

_____________.

二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限limx0y01x2y1xy32sinxy

(2)

lim(xy)x0y022x2y2

2.设f，g为连续可微函数，ufx,xy，vgxxy，求

3..设V是由z3x2y2与x2y22z所围成的立体,求V的体积.

三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）

n21. .nn! n1nuv（中间为乘号）. xx

n22.(1) n!n1n2

urrrur 22题8分2量场A(2x3z)i(xzy)j(y2z)k穿过球面：四本小向(x3)(y1)2）(z求2)9流向外侧的通量； 、（

五、（本小题7分）

计算(x21eysinx)dyeycosxdx,其中l为半圆x1y2上由A(0,1)l到B(0,1)的一段弧。

六、（本小题8分）将函数f(x)

1展开成x4的幂级数. 2x3x2

x七、(本小题9分)已知f(0)0,f'(x)10(etsintf(t))dt,求f(x)

2xy23x2八、(本小题7分)验证3dxdy是某个函数u(x,y)的全微分，并求出这个函数。yy4

z九、(本小题7分)设方程组F(yx,yz)0,G(xy,)0确定隐函数xx(y),zz(y),y

dx其中F，G都具有一阶连续偏导数，求dy

z21 在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面十、（本小题10分）求旋转椭球面xy422

在三个坐标轴上的截距平方和最小.

工科数学分析（下）期末考试题答案

5一、1.

31+e6.2

2.

2 3. 42 4. yCxe31x

3siny32siny25.

y

1二、1.（1）2

(x2y2)2 0|xyln(xy)||ln(x2y2)|，

4 （2）

2222(x2y2)2t222ln(xy)limlnt0， 又 limx0t044y0 ∴ lim(xy)x0y022x2y2elimx2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)1。

2.

3.

uvf1yf21yg' xx（63-5）

3三、1.解：limunnun12n.n!nn.n1n1nn11limn1lim2()2lim(1)n21

n2nnne(n1)!n(n1)n1n2由比值法，级数.nn!收敛 n1n2n1un22. 解： limlim(n1)2lim1

nunnnn12(n1)!n2由比值法，级数(1)发散 n!n1n22nn!2

四、108（提示：高斯公式的应用）

10五、3

六、解：设tx4则xt4

f(x)1111

(t42)t43t2t112t1()tn1(t2)2n02n0 2t1t121t2n1所以f(x)2=()t 2n02x3x2n0

xxf(x)esinxf(x)，即f(x)f(x)esinx 七、解：

2r特征方程：10,ri.

齐次方程通解为yC1cosxC2sinx 再考虑方程①的特解，设特解为

xy*Aex(BcosxCsinx)

11A,B,C022代入方程①定出系数

y*于是

1x1excosx.22

11yC1cosxC2sinxexxcosx.22式的通解

1f(0)0,f'(0)1代入上式，得C1＝－，C2＝12 将。

111f(x)sinxcosxexxcosx.222所求

x21八、u(x,y)31yy

dx11z1九、[FGxFG(1)FG]/[FG12212212yF2G1]dyyyyy

十、设所取的点为Mx,y,z，在点M处切平面的法向量为2x,2y,，切平面方程为

z22xXx2yYyzZz0，即 2z2z221） xXyYZ1 （考虑到xy44此平面在三个坐标轴上的截距分别为：

114，， yxz2z2211161xy问题即为求x,y,z，使得函数Fx,y,z222在条件下求极值 4xyzx0,y0,z021116z22xy1令 Gx,y,z,222 4xyz'GxG'y则 G'zG'22x0x2222y0yz2122 解得 xy 2822z0zz222xy1041112z1 由 x0,y0,z0知 884代入约束条件得 xy111，z2， 所求点为 M,,2222