必修5 和选修2-1

一、选择题（每小题只有一个正确答案，将正确答案代号填入下表相应题号下。每小题5分，

共50分）

1.已知数列an满足a12,an1an10(nN*)，则此数列的通项an等于

A.n21

B.n1

C.1n

D.3n

2.三个数a,b,c既是等差数列，又是等比数列，则a,b,c间的关系为 A.bacb B.b2ac

C.abc

D.abc0

3.若b0a,dc0,则 A.acbd

B.abcd

C.acbd D.acbd

4.若a,b为实数, 且ab2,则3a3b的最小值为 A.18

B.6

C.23

D.243 5.不等式x24的解集是 A.xx2

B.xx2

1

C.x2x2 D.xx2或x2

6.已知ABC中a5,b3,C120 ,则sinA的值为 A.53 14

B.53 14

C.33 14

D.33 1411x|x7.若不等式ax2bx20的解集则ab值是

23A.10

B.14

C.10

D.14

8.我市某公司，第一年产值增长率为p，第二年产值增长率q，这二年的增长率几何平均数

为x,那x与

pq大小关系(pq)是 2

A.xpq 2B.xpq 2

C.xpq 2

D.与p,q有关

x4y309.若目标函数z2xy，变量x,y满足3x5y25，则有

x1A.zmax12,zmin3 B.zmax12,z无最小值

C.zmin3,z无最大值

D.z无最小值，也无最大值

10.若关于x的不等式2x28x4a0在1x4内有解,则实数a的范围是 A.a4

B.a4

C.a12

D.a12

二、填空题（每小题5分，共20分）

11.已知02a1,若A1a2,B1, 则A与B的大小关系是 . 1a1112.设x0,y0且x2y1,求的最小值 .

xy2

13.ABC中，A(2,4),B(1,2),C(1,0),点D(x,y)在ABC内部及边界运动，

则zxy的最大值为 最小值为

1

14.如图，它满足（1）第n行首尾两数均为n，

（2）表中的递推关系类似杨辉三角， 2 2 则第n行(n2)第2个数是________。 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6

„„„„„„„„„„„„„„„„

三、解答题：

15.(本小题12分)

(1)求和12x3x

2nxn1

(2)

1 i1(2n1)(2n1)n

16.（本小题12分）解关于x的不等式ax2(a1)x10

25, 17.（本小题14分）在ABC中，B45,AC10,cosC5(1)求BC边的长;

(2)记AB的中点为D,求中线CD的长.

3

18.（本小题14分）将一枚质地均匀的正方形骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，

5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y。

（1）求事件“xy3”的概率；

（2）求事件

xy2的概率。

19.（本小题14分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种

矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t；每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t,B种矿石不超过200t，煤不超过360t.甲、乙两种产品各生产多少，能使利润总额达到最大？(结果用分数表示)

220.（本小题14分）设关于x的一元二次方程anxan1x10(nN)有两根和，且满足6263．

(1)试用an表示an1

2(2)求证：数列an是等比数列

34

7(3)当a1时,求数列an的通项公式

6

必修五模块测试

题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 A 9 C 10 A n2n211. A2n(1n) 22n-1

当x≠1时，Sn=1+2x+3x+…+nx①

xSn= x+2x2+…+(n-1) xn-1+nxn ②

1xn23n-1n

①-②: (1-x) Sn=1+x+x+x+…+x+nx =nxn

1xn 1(n1)xnnxn1

Sn= (2)

(1x)22n115、解：(1)当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=

16、解：当a＝0时，不等式的解为x＞1；当a≠0时，分解因式a(x－1)(x－1)

＜0

a当a＜0时，原不等式等价于(x－1)(x－1)＞0，不等式的解为x＞1或x＜1；

aa当0＜a＜1时，1＜1，不等式的解为1＜x＜1；

aa当a＞1时，1＜1，不等式的解为1＜x＜1；

aa当a＝1时，不等式的解为 Φ 。

255210得sinC=,sinA=sin(180°-45°-C)=(cosC-sinC)=. 552101010AC·sinA=·=2. sinB21025

17、1)由cosC=

由正弦定理知BC=

(2)AB=

105AC1·sinC=·=2. BD=AB=1. sinB225222由余弦定理知 CD=BDBC2BDBCcosB=1182132213 218．解：设x,y表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：1,1，1,2，1,3，1,4，

1,5，1,6，2,1，2,2，„„，6,5，6,6，共36个基本事件．

（1）用A表示事件“xy3”，则A的结果有1,1，1,2，2,1，共3个基本事件．

∴PA311． 答：事件“xy3”的概率为． 361212（2）用B表示事件“xy2”，则B的结果有1,3，2,4，3,5，4,6，6,4，

5,3，4,2，3,1，共8个基本事件． ∴PB 答：事件“xy2”的概率为

82． 3692． 910x4y300,5x4y200,19、设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么4x9y360,

x0,y0,z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)即可行域. 作直线l：600x+1

000y=0, 即作直线l：3x+5y=0.

把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过平行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y取最大值.解方程组x=

5x4y200,得M的坐标为

4x9y360,3601000≈12.4,y=≈34.5. 答：应生产甲产品约12.4吨，乙产品约34.5吨，能使利2929an11，α•β=,由6α-2αβ+6β=3 anan润总额达到最大

6

20、解：（1）根据韦达定理，得α+β=

得 6an12113,故an1an anan2322111231, （2）证明：因为an1an(an),所以2323232an3an1

高二数学选修2-1试卷

一、选择题（本大题共10个小题，各5分，共50分。在每一小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的。在答题卷上的相应区域内作答。）

1．抛物线y12x的准线方程是 ( ) 811A． x B． y2 C． y D． y2

32322．已知两点F1(1,0)、F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方

程是

（ ）

x2y2A．1

169x2y2B．1

1612x2y2C．1

43x2y2D．1

343．若A(1,2,1)，B(4,2,3)，C(6,1,4)，则△ABC的形状是（ ） A．不等边锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形 4．设aR，则a1是

11 的（ ） a D．既不充分也不必要条件

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件

7

5．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，

11则ABBCBD等于

22A．AD C．AG

B．GA D．MG

22（ ）

6．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆xy2x6y90的圆心的抛物线的方程是（ ）

A．y3x或y3x B．y3x

C．y9x或y3x D．y3x或y9x 7．抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是 ( ) A．(22222223539,) B．(1，1)C．(,) D．(2，4) 2424（ ）

8．向量a(2,1,2)，与其共线且满足ax18的向量x是

A．(,,) B．（4，－2，4） C．（－4，2，－4）

112314D．（2，－3，4）

D1A1B1C19．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2， 点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上， 且AM1，且动点P到直线A1D1的距离与 3ADPMBC点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的 轨迹是（ ）

A．圆

B．抛物线

C．双曲线

D．直线

x210．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：y21交于A、C与B、D，则四

2边形ABCD面积最小值为

84 B、42 C、22 D、 33二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共8分。在答题卷上的相应区域内作答。）

A、

11．命题“存在有理数x，使x20”的否定为 。

2x2y21上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，F1MF260，12．M是椭圆则F1MF2 259的面积等于 ．

8

13.在棱长为1的正方体AC1中， 则平面C1BD与平面CB1D1所成角余弦值为___________

x2y21上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满14．设椭圆

25161足OM(OPOF)，则|OM|= ．

2

三、解答题（本大题共三题，共34分。解答题应有适当的文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卷上相应的答题区域内作答。）

x2y21恒有公共点” 命题15. （本小题满分10分）已知命题p：“直线y=kx+1椭圆5a求实数a的取q：只有一个实数x满足不等式x22ax2a0. 若命题“p或q”是假命题，值范围．

16. （本小题满分12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为F233,0，渐近线方程为y3x.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l：ykx1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点；

17.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1,底面ABC中

CACB1,BCA900，棱AA12，M、N分别为A1B1、A1AD的中点.

（I） 求cosBA1,CB1>的值； （II）求证：BN平面C1MN （III）求点B1到平面C1MN的距离.

A1

M N

C1

9

B1

C B

A

第Ⅱ卷（50分）

一、选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。每题有且只有一个选项

是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1.已知抛物线x2y1上一定点A(1,0)和两动点P,Q,当PAPQ时,点Q的横坐标的取值范围是( )

A.(,3] B.[1,) C.[3,1] D.(,3][1,)

x2y22.双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F、F,若P为其上一点，且|PF|=3|PF|,则双曲线离

ab1

2

1

2

心率的取值范围为 （ ） A.(1,2)

B.

1,2 C.(3,+)

2 D.

3,

1yxm对称，且x1x2，

2二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

B(x2,y2)关于直线3．抛物线y2x上两点A(x1,y1)、

则m＝ .

x2y24．已知F1，F2为双曲线221(a0，b0且ab)的两个焦点，P为双曲线右支上

ab异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（ ） Ａ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线xa上； Ｂ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线xb上； Ｃ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上； Ｄ．△PF1F2的内切圆必通过点a，0． 其中真命题的代号是

（写出所有真命题的代号）．

三、解答题（本大题共2小题，共30分，请按照要求写清必要的步骤）

5（本小题满分15分）

已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC，

10

DAB90,PA底面ABCD，且PAADDC1，2AB1，M是PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值。

6．（本小题满分15分）

已知F1(2,0),F2(2,0),点P满足|PF1||PF2|2，记点P的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程；

（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.

（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m,0)，使MPMQ恒成立，

求实数m的值.

（ii）过P、Q作直线xλ的取值范围.

1的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记|PA||QB|，求2|AB|

参

第Ⅰ卷（100分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡上.

题号 1 答案 B 2 C 3 A 4 A 5 C 6 D 7 B 8 C 9 B 10 A 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共12分.

11 任意有理数x，使x220 12． 33 13．13 14．2 三、解答题：

15. a<0或0解：（Ⅰ）设双曲线的方程是x2y216. a2-b21a0，b0，则

c23b3，a3. 又c2a2b2,b21，

a213，

所以双曲线的方程是3x2y21. 4分

（Ⅱ）① 由ykx1,3x2y21,

得3k2x22kx20， 6分

由0,且3k20，得6k6,且 k3. 7分

设Ax1,y1、Bx2,y2，因为以AB为直径的圆过原点，所以OAOB， 所以 x1x2y1y20. 9分 又x2k1x2k23，x21x2k23， 所以 yy1)(kx212(kx121)kx1x2k(x1x2)11，

11

210，解得k1. 12分 2k3解：如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示

所以 的

坐

标

系

O－

xyz

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 分 （I）依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2), ∴ BA1(1,1,2),CB1(0,1,2) ∴BA1CB110(1)1223 BA16,CB15 , ∴cosBA1,CB1>=

BA1CB1BA1CB130 10┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5 分

(II) 依题意得A1(1,0,2),C1(0,0,2),B1(0,1,2),N(1,0,1) ∴ M(, ∴

11,2), 2211C1M(,,0),C1N(1,0,1),BN(1,1,1),┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 9

22分

∴ C1MBN111(1)100 2212

C1NBN110(1)(1)10

∴ C1MBN,C1NBN ∴ BNC1M,BNC1N

∴ BN平面C1MN ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 9 分 (Ⅲ)

3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分 3第Ⅱ卷（50分） 1. D.

2 3 4

5.证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).

2（Ⅰ）证明：因AP(0,0,1),DC(0,1,0),故APDC0,所以APDC.

由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：因AC(1,1,0),PB(0,2,1),

故|AC|2,|PB|5,ACPB2,所以10cosAC,PB.5|AC||PB|ACPB

（Ⅲ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在R,使NCMC,

11NC(1x,1y,z),MC(1,0,),x1,y1,z..

2214要使ANMC,只需ANMC0即xz0,解得.

212可知当时,N点坐标为(,1,),能使ANMC0.555 1212此时,AN(,1,),BN(,1,),有BNMC05555由ANMC0,BNMC0得ANMC,BNMC.所以ANB为

所求二面角的平面角.

30304|AN|,|BN|,ANBN.555ANBN2cos(AN,BN).3|AN||BN| 2故所求的二面角为arccos().313

6．本小题主要考查双曲线的定义与方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系、两直线垂直等

基础知识，考查解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分。 解：（1）由|PF1||PF2|2|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线

y21(x1).„„„„4右支，由c2,2a2,b3，故轨迹E的方程为x322分

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为yk(x2),P(x1,y1),Q(x2,y2)，与双曲

线方程联立消y得(k3)x4kx4k30，

2222

k23002 xx4k0 122k34k23x1x220k3 解得k2 >3 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 （i）MPMQ(x1m)(x2m)y1y2

(x1m)(x2m)k2(x12)(x22)(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)m24k2 (k1)(4k3)4k(2km)m24k2 222222k3k33(4m5)k22m.7分2k3 MPMQ,MPMQ0，

故得3(1m)k(m4m5)0对任意的 k23恒成立，

21m0,解得m1. 2m4m5022214

∴当m =－1时，MP⊥MQ.

当直线l的斜率不存在时，由P(2,3),Q(2,3)及M(1,0)知结论也成立，

综上，当m =－1时，MP⊥MQ. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 （ii）a1,c2,直线x1是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：2111|PA||PF2||PF2|,|QB||QF2|，

e221k2|x2x1||PQ| 方法一：

2|AB|2|y2y1|1k2|x2x1|1k21112. 2|k(x2x1)|2|k|2kk23,01113， ,故2323k

注意到直线的斜率不存在时，|PQ||AB|,此时 综上，,1， 2123. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15分 3 方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，

2，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则

33|PQ||PQ|11 PQC||,.

22|AB|2|CQ|2sin2cos()  由

3233,得2sin1, 故：1,3. „„„„„„15分 23

215