基地学校：江苏省如皋实验初级中学 领衔名师：陈海宏 第１ ２章二次根式 【思维导图】 【名师箴言】 数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心．普洛克拉斯早就断言：“哪里有数学， 哪里就有美．”亚里士多德也曾讲过：“美的主要形式是秩序、匀称和确定性，这些正是数 学研究的原则．”数学家徐利治说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共 有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学 美．”数学美有别于其他的美，没有美妙的声音，没有鲜艳的色彩（没有动感的画面），没有 动人的节奏，没有深邃的语言，它却是一种独特的美．正如德国数学家克莱因曾对数学美 作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学 使人获得智慧，但数学却能提供以上一切．”可见，数学美具有丰富的内涵． ４８ Ｔ ｎｔｅｌＩｉｇｅｎｔ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ■簧麓数拳 ｅＨＵＺＨｏｌ、ＩＧＳＨＥｌ、ＩＧＳＨｌＪｌＥ 陈海宏 本章涉及的概念有：二次根式、最简二 解：‘．’１０＿２ｌ≥０，、／６—３ Ｉ＞０，ｃ一４）２≥０． 次根式、同类二次根式．深刻地理解这些 又‘．‘Ｉｏ一２Ｉ＋、／６—３＋（ｃ一４） ＝Ｏ， 概念可以帮助我们更好更快地进行二次 ‘．．ａ－２＝Ｏ；ｂ－３＝０；ｃ一４＝０． 根式的化简和运算．在课程标准中，二次 解得 ２；ｂ＝３；ｃ＝４． 根式属于“数与代数”领域，是对“实数” ・．．（口一６）ｃ＝（２—３）４－１． “代数式”等内容的延伸和补充，也是同学 们后续学习的理论基础，在初中数学中具 【说明】利用二次根式的非负性和非负 有重要的地位． 数的性质，通过列方程（不等式）（组）解决 １．二次根式 问题是常见的思路． ２．最简二次根式 一般地，式子、／ （口≥０）叫做二次根 一般地，化简二次根式就是使二次根 式， Ｕ做被开方数． 式： 【解读】二次根式是典型的无理式，不 （１）被开方数中不含能开得尽方的因 能简单地把它理解为是带根号的式子或 数或因式； 者是开平方运算，这里的ａ可以是一个数 （２）被开方数中不含分母． 或字母，也可以是一个式子，要有整体的 这样化简后得到的二次根式叫做最简 思想；另外要注意的是二次根式的双重非 二次根式． 负性，这常常是解题的隐含条件． 【解读】第（１）条指被开方数中的每一 例１ 若 、／３ 一２＋、／２—３ ＋１，求３ｘ＋ｙ 个因数（或因式）的指数都要小于根指数 的值． ２，如果被开方数是多项式，要先因式分 解：由题意可得：Ｉ３２ｘ－２＞￣０，胖得： ＝ ． 解，再进行判断．第（２）条指被开方数中必 一３戈≥。．须是整数或整式．对于分母中含根号和被 ・开方数中含有分母的情况，教材第８页和 ．．当 ＝ 时，ｙ＝１． ３ 第９页中给出了具体的化简方法．同学们 ３ｘ＋ｙ＝３×—２—＋１：３． 要通过具体的例子加以练习，做到灵活运 ３ 用．在进行二次根式的运算时，要根据最简 例２若ｌａ一２Ｉ＋、／６—３＋（ｃ一４）２＝０，贝４ 二次根式的概念对结果进行检查，使结 （ ６）ｃ＝ ． 果简洁、优美． ４９ Ｔ ｎｔｅＩＩｉｇｅｎｔ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ＪｌＬ■麓数攀 ＣＨＵＺＨＯＮＧＳＨ ＧＳ ｌＪｌ 突破点１：对两个概念的深入认识 例１下列各式中，哪些是二次根式？ （１） （３） ７； ； （２） （４）、 ； ； 【分析】 （５）、／ 芝 ；（６）、／ ＿１｛ ＜÷）； （７）、／（一８） ； （８）、／二 （ ≤０）； 厂—— —一 （９ 、／ ；（１０）Ｎ／—－ｘ％８—ｘ－１６・ 解：（３）（４）（５）（７）（８）是二次根式． 【总结提升】判断一个式子是不是二次 【概念深入】二次根式的定义是从形式 根式，一定要紧扣定义，看式子是否完全 上界定的（不是本质定义），只要具备、／ 具备二次根式的两个特征：（１）含有二次 的形式就是二次根式，这里ｎ可以是数，也 根号，（２）被开方数大于或等于０（非负数）． 可以是字母，还可以是代数式，同时０必 不满足其中任何一个特征，就不是二次 须是大于或等于０的 根式． 例３化简：（１）、／ ；（２）、／３÷． 的加减运算．同学们在具体运算时一定要 先化简，找准同类二次根式再进行加减 解：（ ）原式＝、／ ＝、／ ＝ １０； 例４计算： （、／ ＿４、／４ ）一（３、／÷－４ｘ／￣）． （２）原式＝、／ ＝、／爰＝—ｘ／ｉ ａ． ３．同类二次根式 运算． 解：原式＝４、／了一６、／ 一一ｘ／ ＋２、／＿＿ ＝经过化简后，被开方数相同的二次根 ３、／了一４、／ ． 式，叫做同类二次根式． 【说明】同学们在进行二次根式的运算 【解读】二次根式的加减实质就是合并 时要注意类比有理数的运算、整式的运 同类二次根式，所以只有深刻理解同类二 算，将数与式进行对比，形成式的知识链． 次根式的概念才能更好地进行二次根式 （作者单位：江苏省如皋实验初级中学）
