化归思想在高中数学解题中的应用

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2019年01月（总第326期）

姻理科讲堂/数学

化归思想在高中数学解题中的应用董蔓汝

（山东省泰安第一中学，山东

泰安271000）揖摘要】通过把陌生并且复杂的数学难题借助一些手段以及形式转变成熟悉并且相对简单的问题，其实质为实现从结论

朝着条件、从未知朝着已知、从复杂朝着简单的转化以及提炼。所以我们需要具备一定的化归思想，将其熟练的运用到实际学习当中，进而提高我们当前的解题能力。本文在对化归思想加以概述的基础上，对化归思想在解数学题当中的应用加以探究，希望能给大家提供一些参考。

【关键词】高中数学；解题；化归思想一般来说袁解题能力就是借助数学知识以及定理实施数学运算尧证明以及推理的能力袁这是我们在高中时期对数学知识进行学习的一项重要任务遥只有在对数学思想加以掌握的基础上袁才能借助数学思想进行灵活解题袁进而养成举一反三这种解题能力遥高中数学当中包含很多数学思想袁我们常用的有分类讨论尧函数和方程尧化归以及数形结合等思想袁在这之中化归思想非常重要遥

一尧关于化归思想的概述

实际上袁化归思想就是可以帮助学生对数学问题加以有效解决的数学思想袁其主要是用已有命题对新命题加以证明袁借助已经存在的数学概念对新概念进行定义袁并且以此为依据对新问题加以处理的思想遥

在数学学习期间袁到处都包含思维训练遥化归思想在高中时期的数学当中占据着重要位置袁不管数学运算或是代数计算袁最后都能化归为十个数码的加减乘除运算遥针对复杂方程袁可将其化归成二次方程以及方程组进行求解曰针对空间几何有关问题袁可将其化归成平面几何相关问题进行求解遥总之袁几乎所有的高中时期的数学问题全都可以通过化归思想进行解决遥

二尧化归思想在解数学题当中的应用

借助化归思想对数学问题进行解答袁能够将动态问题静态化袁将复杂问题简单化袁进而对问题加以有效解决遥

(一)进行动静转化

一般来说袁动静结合为借助化归思想对函数问题进行求解的集中表现遥而函数主要反映生活当中变量间的关系袁属于数学模型袁能够对事物运动以及变化规律进行揭示遥我们在对函数知识加以学习期间袁可以用发展的眼光对变量间具有的依赖关系进行研究袁在题干描述当中对数学因素和变量间具体数学关系进行提取袁之后通过化归思想把文字叙述当中静态问题变成变量间动态关系袁进而用动态观点对函数性质进行研究袁对实际问题进行解决遥

例如院比较log31和log35的大小遥

2对于此题袁我们便可借助化归思想对对数函数进行静和动的转化袁进而对问题加以解决遥通过观察我们可以发现log31和log35是对数形式固定数值袁于是可对化归思想

2加以利用袁通过动静转化对相应函数进行构造遥具体而言袁在比较两个数值具有的形式差异的基础上袁构造一个对数函数f(x)=log3x袁之后利用该函数具有的单调性进行解题袁由于f(x)=log3x在(0袁+肄)之上是单调递增的袁所以log31约log5遥

3

2(二)进行数形转化

实际上袁数形结合就是化归思想一种特殊的表现形式遥数形转化是将函数的表达式和函数图像进行巧妙结合袁将抽象以及难度较大的函数问题变成直观性较强并且能够观察的问题解题方法遥

例如院现有函数y1=3sinx与函数y2=1袁已知-1臆

2-xx臆5袁两个函数图像的交点横坐标的和为_______遥

解答院函数y1=3sinx与函数y2=1在[-1袁5]之上

2-x的交点最常用的一种方法就是构建方程组3sinx=1袁

2-x之后通过求方程的解袁进而使得问题最终的以及解决遥这个方程不仅包含分式形式袁同时还包含三角形式袁计算起来非常麻烦袁通过此种方法难以把交点具有的横坐标求出来遥

此时我们可以变换思路袁将数化归为形袁把函数图像画出来袁如下图所示袁这样可以直观看到[-1袁5]之上两个函数一共存在6个交点袁同时以上6个交点都是关于(2袁0)对称的点袁之后可以借助中点对应的坐标公式把交点具有的横坐标的和求出来遥

(三)等价转化

在化归转化当中袁等价转化属于一种常见形式遥进行等价转化之时袁我们需要对前因后果加以了解袁如此一来袁转化才能够拥有准确的结果遥对空间几何有关问题加以解决知识袁对于对称以及翻折问题一般都是通过直曲互化这种方式来对空间问题加以平面化袁进而使得问题最终得以解决遥

例如院现已知数列{an}为等比数列袁在这之中a4与a6为方程x-2xsin琢-3sin琢=0的两个根袁同时存在(a4+a6)=2a2a8+6袁求锐角a的值遥

解院按照已知条件能够得到院a4+a6=2sin琢

4

6

2

2

得到sin琢=姨3袁因此锐角琢的值为仔遥

23(四)非等价的转化

一般来说袁非等价的转化可以给我们解决数学难问题提供一个重要的突破口遥我们在借助非等价的转化对数学问题加以解决期间袁需要对转化的非等价性以及等价性具体要求加以注意袁必须要让要求和具体解题过程完全保持一致遥进行等价转化期间袁我们需要对等价性加以保证袁尤其是要对逻辑方面的准确性加以保证遥比如院对函数的定义域与值域进行求解期间袁便可借助定义域以及值域相应概念把其转化成不等式组袁对方程根的具体分布来对问题加以解决袁同时也可将其转化成不等式这种形式加以求解遥然而袁不管怎样化归袁全都需要对不等式以及不等式组具体成立条件加以重视遥

例如院如图所示袁在一个直三棱柱ABC-A1B1C1当中袁

（下转第6页）

喳a窑a=姨3sin琢袁同时有a窑a=a窑a袁因此能够

2

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No.01,2019SerialNo.326

用是揭示数学知识间的内在联系遥教学中的数学思想方法较为零散袁在教学中应在课后小结及时对教学内容进行归纳袁使数学思想融入到学生的知识系统中遥

引导学生进行数学思想的提炼概括袁有利于学生灵活运用数学思想解决实际问题遥初中数学知识中涉及到很多的数学思想方法袁包括符号变元尧数形结合等遥注重基本的数学思想方法教学袁才能使学生抓住学习数学知识的要点遥符号意识的培养是中学顺序教学中的重要目标袁符号与变元思想贯穿于初中数学教学遥化归的思想方法是指院解决具体问题时不直接从原问题入手袁通过转化将其变形为可利用已有知识解决的问题袁从而找到解决方法遥其为研究解决数学问题中的常用思想与有效策略遥在教学中应让学生认识到袁转化方法是数学学习中的常用方法袁要结合具体实例加深学生的认识遥

分类讨论是研究数学问题时常用的思想方法袁贯穿于初中数学学习始终遥初中数学知识分为代数尧几何尧统计与概率等部分遥代数中的实数分类尧方程分类等都是分类思想的表现遥通过学习分类方法袁对学生学习的内容进行分层袁使学习目标更加具体明确袁便于学生对知识的掌握遥

函数思想是指用运动尧变化尧联系尧对应的观点袁分析数学与实际数量的关系袁使问题得到解决的方法袁并通过解方程最终解决问题遥初中学习方程内容主要集中在建模与解方程遥方程与函数思想相互联系袁要让学生通过类比袁用待定系数法求一次函数解析式的知识袁培养学生自主探究能力袁感受方程与函数的思想方法遥

姻理科讲堂/数学

方程思想是指通过已知与未知的联系袁解方程求出未知量的值遥一元一次方程是解决实际问题中常用的数学模型袁要抓住问题的已知数与未知数条件袁利用问题中表示应用题全部含义的相等关系列出方程袁使未知数化为已知数遥通过采取引导发现合作探究的教学方法遥从学生原有的知识结构出发袁使学生体会到袁从算术方法到代数方法是数学的进步袁通过设置学生感兴趣的实际问题袁激发学生探究的积极性袁体会到把实际问题转化为数学问题的重要性遥

结语

数学思想方法教学是初中数学教学中的重点内容遥目前袁很多初中数学教师忽视了对学生数学思想方法的培养袁导致学生不能灵活运用数学思想方法解决实际问题袁影响了学生的学习效率遥教师应注重在教学中渗透数学思想方法袁提升学生的数学学习效率遥

揖参考文献铱

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[5]李云霞.探讨数学思想方法如何渗透到初中数学教学中[J].中国校外教育，2018(17):104

（上接第3页）

蚁ACB是直角袁而M与N分别为A1B1与A1C1的中点袁同时BC=AC=CC1袁那么AN和BM所成角余弦值是多少钥

在解答此题之时袁我们可以把直三棱柱进行补足袁进而形成一个正方体袁借助向量方法对异面直线成的角进行求解遥

因为蚁ACB是直角袁三棱柱是直三棱柱袁同时BC=AC=CC1袁所以可以把三棱柱进行补足袁进而形成一个正方体袁之后构建如图所示的空间直角坐标系遥假设正方体的棱长是2袁那么能够得到A(0袁0袁0)袁B(2袁2袁0)袁N(0袁1袁2)袁M

寅寅

(1袁1袁2)袁进而能够得到BM=(-1袁-1袁2)袁AN=(0袁1袁2)袁所

寅寅

以cos=姨30遥

10三尧对化归思想加以掌握的方法

渊一冤注重知识积累袁逐渐对化归思想加以感知遥在学习以及解题期间袁我们需要对知识的具体形成过程加以自主思考以及积极体验袁同时对于具体内容进行具体思考袁进而对其中的数学思想加以感知遥比如院学习两角差余弦公式加以推导之时袁我们需要先对两角和余弦公式进行复习袁之后展开联想以及转化袁进而对化归思想进行初步感知遥

渊二冤在知识具体运用期间对化归思想进行领会遥我们借助数学知识对问题加以解答期间袁需要将陌生问题变成熟悉问题袁把复杂问题进行简单化袁进而对其中的化归思想加以领会遥例如院我们在学习圆锥曲线的方程之时袁可以将抛物线

以及双曲线有关知识运用到椭圆之上袁通过一些具体实例对化归思想进行领会以及理解遥

渊三冤多进行一些变式训练袁对化归思想进行灵活运用遥解答变式题期间袁主要是通过把未知问题变成已知问题袁进而找出相应的解题方法遥由本质方面来看就是借助化归思想进行解题的过程遥所以袁我们需要对化归思想加以运用袁多进行一些变式训练遥而且在实际解题期间袁我们需要对原题以及变式题加以对比袁找出二者间的关联袁并且在原题的基础之上对变式题进行转化袁化繁为简袁在解题之后进行反思袁进而对化归思想的意义加以体会袁逐渐提高我们自身的化归思想整体解题能力遥

结论

综上可知袁在实际解题期间袁学生遇到一些陌生问题常常感到无从下手袁此时袁如果我们可以对化归思想加以灵活运用袁就可以对复杂问题进行分解以及简化袁进而通过解答简单问题得到问题答案遥由此可见袁化归思想把复杂问题进行简单化袁进而降低我们的解题难度袁提升我们的解题效率遥

揖参考文献铱

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