期末试卷（一）
一．选择题
1．方程x（x﹣1）＝x的解是（ ） A．x＝0
B．x＝0、x＝1
C．x＝0和x＝2
D．x＝0或x＝2
2．如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知＝，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交
BD于M，则图中共有相似三角形（不含全等的三角形）（ ）对．
A．4 B．5 C．6 D．7
5．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外无任何区别．摇匀
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后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球100次，其中有25次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ） A．12个
6．已知反比例函数y＝A．3
B．16个
C．20个
D．30个
，当x＜0时，y随x的增大而增大，则a的值可能是（ ） B．2
C．1
D．﹣1
7．为了美化校园环境，某区第一季度用于绿化的投资为18万元，前三个季度用于绿化的总投资为90万元，设前三个季度用于绿化投资的平均增长率为x．那么x满足的方程为（ ）
A．18 （1+2x）＝90 B．18 （1+x） 2＝90
C．18+18 （1+x）+18 （1+2x）＝90 D．18+18 （1+x）+18 （1+x） 2＝90
8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①FB⊥OC，OM＝CM； ②△EOB≌△CMB； ③四边形EBFD是菱形； ④S△AOE：S△BCF＝2：3．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列说法正确的是（ ）
A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝
﹣1
B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 C．两个正六边形一定位似
D．菱形的两条对角线互相垂直且相等
10．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，面积为S2，则
的值是（ ）
＝，记△ADE的面积为S1，四边形DBCE的
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A． B． C． D．
12．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是BA延长线上的一点，点M、N分别为边
AB、BC上的点，且AM＝BN＝1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的
平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（ ）个 ①MC⊥ND； ②sin∠MFC＝
；
③（BM+DG）2＝AM2+AG2；
④S△HMF＝
；
A．1 二．填空题
B．2 C．3 D．4
13．如果2x2﹣3x的值为﹣1，则6x﹣4x2+3的值为 ．
14．小明想要测量水面人工岛上两棵小树CD的距离，如图，已知河岸MN∥CD，小明在河岸MN上点A处测量小树C位于北偏东60°方向，然后沿河岸走了20米，到达点B处，此时测得河对岸小树C位于北偏东30°方向，小树D位于东北方向，则两棵树CD的距离为 米．（结果保留根号）
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15．如图，A，B两点都在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别为m，n（0＜m＜n），过B点作BC⊥y轴于C点，若△ABC的面积6，则的值为 ．
16．如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交
于点B，M为y轴正半轴上一点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的面积为
，则点N的坐标为 ．
三．解答题
17．解方程：x2﹣8x＝5．
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18．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE＝∠BFE． （1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝8，则线段EF的长是 ．（直接写出答案即可）
19．2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩． （1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？
（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
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20．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/
千克） 销售量y（千克）
70
60
50
40
55
60
65
70
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．
（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、
H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝ ．
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（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、
F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
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答案与解析
一．选择题
1．解：方程移项得：x（x﹣1）﹣x＝0， 分解因式得：x（x﹣2）＝0， 解得：x＝0或x＝2， 故选：D．
2．解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．
故选：A． 3．解：∵＝，
∴b＝a，
∴＝＝；
故选：D．
4．解：在▱ABCD中， ∵AB∥CD，
∴△ABM∽△FDM，△ABE∽△FCE， ∵AD∥BC，
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∴△ADM∽△EBM，△FDA∽△FCE， ∴△ABE∽△FDA， ∴图中相似三角形有5对． 故选：B．
5．解：∵共摸了100次，其中25次摸到黑球， ∴有75次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3， ∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3， 盒子中大约有白球3×4＝12个． 故选：A．
6．解：∵反比例函数y＝∴2﹣a＜0， 解得：a＞2． 故选：A．
7．解：设前三个季度用于绿化投资的平均增长率为x，那么依题意得 18+18 （1+x）+18 （1+x） 2＝90． 故选：D． 8．解：连接BD，
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，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AC、BD互相平分， ∵O为AC中点， ∴BD也过O点， ∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°， 在△OBF与△CBF中
，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称， ∴FB⊥OC，OM＝CM； ∴①正确， ∵∠OBC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵△OBF≌△CBF， ∴∠OBM＝∠CBM＝30°， ∴∠ABO＝∠OBF， ∵AB∥CD，
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∴∠OCF＝∠OAE， ∵OA＝OC，
易证△AOE≌△COF， ∴OE＝OF， ∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形， ∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB， ∴△EOB≌△CMB错误． ∴②错误，
易知△AOE≌△COF， ∴S△AOE＝S△COF， ∵S△COF＝2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝∵∠FCO＝30°， ∴FM＝
，BM＝
，
CM，
∴，
∴S△AOE：S△BCM＝1：2， 故④错误；
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故选：B．
9．解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2， 当AC＞BC时，AC＝
﹣1，当AC＜BC时，AC＝3﹣
，本选项说法错误；
B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确； C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；
D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；
故选：B．
10．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴
，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m， ∴AC＝AB+BC＝14m， ∴
，
解得，DC＝17.5，
即建筑物CD的高是17.5m， 故选：A．
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11．解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵
＝，
∴＝，
∴＝，
∴9S1＝4S1+4S2， ∴5S1＝4S2，
∴＝．
故选：A．
12．解：设DN交CM于O，在BC上截取BK，使得BK＝BM，连接MK，作MT⊥CF于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝DC，∠CBM＝∠CBM＝∠DCN＝90°∵AM＝BN＝1， ∴BM＝CN＝3，
∴△CBM≌△DCN（SAS）， ∴∠MCB＝∠CDN， ∵∠MCB+∠DCM＝90°，
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，
∴∠DCM+∠CDN＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴CM⊥DN，故①正确， ∵MF∥DN， ∴MF⊥CM， ∴∠FMC＝90°， ∴∠AMF+∠CMB＝90°， ∵∠CMB+∠MCB＝90°， ∴∠AMF＝∠MCK，
∵BM＝BK，∠MBK＝90°， ∴∠BKM＝45°， ∵AF平分∠EAD，
∴∠EAF＝∠EAD＝45°， ∴∠MAF＝∠CKM＝135°， ∵AM＝CK，
∴△AMF≌△KCM（ASA）， ∴MF＝MC＝＝5，
∵∠FMC＝90°， ∴∠MFC＝45°， ∴sin∠MFC＝
，故②正确，15 / 26
∵OH∥MF，
∴∠OHC＝∠MFC＝45°， ∴OH＝OC＝
＝
，
∴CH＝∵CF＝
OC＝CM＝5
， ，
，
∴FH＝FC﹣CH＝
∵MT⊥CF，MF＝MC， ∴TF＝TC， ∴MT＝FC＝
，
∴S△FMH＝•FH•MT＝×∵△NCO∽△NDC， ∴CN2＝NO•ND，
×＝，故④正确，
∴ON＝，
∴DH＝DN﹣ON﹣OH＝5﹣﹣∵DG∥CN， ∴
＝
，
＝，
∴＝，
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∴DG＝，
∴AG＝4﹣＝，
∴（BM+DG）2＝（3+）2＝
AM2+AG2＝1+（）2＝
，
∴（BM+DG）2＝AM2+AG2，故③正确， 故选：D．
二．填空题（共4小题） 13．解：∵2x2﹣3x＝﹣1，
∴6x﹣4x2+3
＝﹣2（2x2﹣3x）+3 ＝﹣2×（﹣1）+3 ＝2+3 ＝5． 故答案为：5．
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14．解：如图所示，过点C作CE⊥MN于点E，过点D作DF⊥MN于点F，
设BE＝a，
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝30°，
∴CE＝＝＝a，
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，AB＝20， ∴由tan∠CAE＝解得a＝10，
∴BE＝10，DF＝CE＝10
，
可得
＝
，
在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°， ∴BF＝DF＝10
，
﹣10（米），
∴CD＝EF＝BF﹣BE＝10故答案为：（10
﹣10）．
15．解：过点B、A分别作BD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E， ∵反比例函数的关系式为y＝， ∴矩形ODBC的面积为9，
点A、B的横作标分别为m，n（0＜m＜n），且点A、B在反比例函数y＝图象上，
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∴A（m，），B（n，），
∵S梯形OEAC+S梯形AEDB＝S△ABC+S矩形ODBC， ∴（+）×m+（+）（n﹣m）＝6+9，
∴＝，即，＝，
故答案为：．
16．解：连接ON， ∵点A（1，3）为双曲线
上，
∴k＝3，即：y＝；
由双曲线的对称性可知：OA＝OB， ∴S△MBO＝S△MAO，S△NBO＝S△NAO， ∴S△MON＝S△BMN＝
，
设点M（0，m），N（n，），
∴mn＝，即，mn＝，①
设直线AM的关系式为y＝kx+b，将M（0，m）A（1，3）代入得，
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b＝m，k＝3﹣m，
∴直线AM的关系式为y＝（3﹣m）x+m， 把N（n，）代入得，＝（3﹣m）×n+m，②
由①和②解得，n＝，
当n＝时，＝，
∴N（，），
故答案为：（，）．
三．解答题（共5小题）
17．解：配方得：x2﹣8x+16＝5+16，
整理得：（x﹣4）2＝21， 开方得：x﹣4＝±解得：x1＝4+
， ，x2＝4﹣
．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，DC＝AB，
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∴∠OAE＝∠OCF，
∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵∠DFE＝∠BFE，∠DFE＝∠FEB， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF，
∴四边形DEBF是菱形．
（2）如图，作FH⊥AB于H．设DF＝BF＝x，
在Rt△BCF中，∠BCF＝90°，BC＝AD＝4，CF＝4﹣x， ∴x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝5，
∴DF＝5，CF＝3，
∵∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°， ∴四边形BCFH是矩形， ∴CF＝BH＝3，FH＝BC＝4， ∵BF＝DF＝5， ∴EH＝2，
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∴EF＝故答案为
．
＝＝2，
19．解：（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”的概率是；
（2）从A，B，C，D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个景区的有2种， ∴P（选择A、D）＝
＝．
20．解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180． （2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
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整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800， ∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 21．解：（1）如图1中，
在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12， ∴AC＝∵HQ∥BC， ∴
＝
，
＝16，设HQ＝x，
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∴，
∴AQ＝x，
∵S△ABC＝9S△DHQ，
∴×16×12＝9××x×x， ∴x＝4或﹣4（舍弃）， ∴HQ＝4， 故答案为4．
（2）如图2中，
由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE， ∵FM∥AC， ∴∠AEF＝∠MFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝MF＝ME，
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∴四边形AEMF是菱形．
（3）如图3中，
设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m， ∴4m+5m＝20， ∴m＝
，
∴AE＝EM＝，
∴EC＝AC﹣AE＝16﹣＝，
∴CM＝＝，
∵QH＝4，AQ＝，
∴QC＝，设PQ＝x，
当＝时，△HQP∽△MCP，
∴，
解得：x＝，
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当＝时，△HQP∽△PCM，
∴
解得：x＝8或，
经检验：x＝8或是分式方程的解，且符合题意，
综上所述，满足条件长QP的值为
或8或．
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