数学4 （必修）第一章: 解三角形［基础训练A
组］
数学4 （必修）第一章: 解三角形 ［综合训练
组］
数学4 （必修）第一章: 解三角形 ［提高训练
组］
［基础训练数学4 （必修）第二章: 数列
组］
［综合训练数学4 （必修）第二章: 数列
组］
［提高训练数学4 （必修）第二章: 数列
组］
数学4 （必修）第三章: 不等式 ［基础训练
组］
数学4 （必修）第三章: 不等式 ［综合训练
组］
不等式 ［提高训练数学4 （必修）第三章:
组］
第一章：解三角形 ［基础训练A组］
一、选择题
BCABCABC
1. 在AABC 中，若C=90°,a = 6,B = 30°,则c-b等于（ A. 1 B. -1 C. 2羽 D. -2A/3
2. 若4为AABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ A. sin A B・ cos A
4 1
C・ tan A D・ -------
tan A 3. 在2XABC中，角均为锐角，且cos4〉sin
则Z\\ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
）
）
4. 等腰三角形一腰上的高是舲，这条高与底边的夹角为60°,
则底边长为（）
A. 2 B. — C. 3 D. 2A/3
2
5. 在△ABC 中，若 b = 2asinB,则4 等于（
A. 30°或60°
B. 45°或60°
）
C. 120°或60° D. 30°或150° 6.
最大角与最小角的和是（
边长为5,7,8的三角形的
）
A. 90° C. 135°
二、 填空题
B. 120° D. 150°
1. 在 Rt AABC 中，C = 90°,贝Osin A sin 5的最大值是 _____________ 。 2. 在AABC 中，^a2 =b~ +bc + c~,贝= _____________ 。 3. 在AABC 中，若b = 2,B = 30°,C = 135°,^\\a= _______ 。
4. 在AABC 中，若sinA : sinB : sinC = 7 : 8 : 13,则仑= ____________________ 5. 在AABC 中，AB = ^6-^2, C = 30°,则 AC + BC 的最大值是 ___________ 。
三、 解答题
1. 在Z\\ABC 中，若acosA + bcosB = ccosC,则Z\\ABC 的形状是什么？
2.在AABC中，求证：J—。（皿-皿）
b a b a
3. 在锐角ZkABC 中，求证：sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C o
4.在△ ABC 中,
IT
设。+ —亍求sinB的值。
第一章：解三角形
［综合训练B组］ 一、选择题
1. 在AABC 中，A:B:C = 1:2:3, 则a:b:c等于（） A. 1:2:3 B. 3:2:1 C. 1:73:2
D. 2：A/3:1
2.在AABC 中, 若角B为钝角，贝(J sin B — sin 4的值( A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定
3. 在AABC中，若A = 2B,则a等于( A. 2bsin 4 B. 2bcos A C. 2bsinB D. 2bcosB 4. 在△ABC 中,若lgsinA — lgcosB — lgsinC = lg2,
则AABC的形状是( ) A.直角三角形B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形
5. 在厶人!?。中，若(a+b+ c)(b+ c — a) = 3bc,
则 A=()
A. 90° B. 60° C. 135° D. 150°
6. 在ZkABC 中，若a = 7,b = 8,cosC =—,
14 则最大
角的余弦是（）
1 1 A. ------ B. ----------
5 6 1 1 C.—— D.——
7 8
A R zy _____ A
7.在△ ABC中，若tan ------- = ------ ,则△ ABC的形状是（
2 a + b
B. 等腰三角形 A.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形
二、 填空题
1. 若在AABC 中，AA = ^,b = i,SMBC=4i,贝!J -------- a + b + c ----------
MBC
sinA + sinB + sinC 2. 若A, B是锐角三角形的两内角，则tan A tan B ___ 1 （填〉或<）。 3. 在AABC 中，若 sin A = 2cos B cos C,PHI tan B + tan C = ____ 。 4. 在AABC 中，若a = 9,b = 10,c = 12,则AABC 的形状是 ________ 。 5. 在AABC 中，若a = b = c =
贝必= __________ o
2
6. 在锐角Z\\ABC中，若a = 2,b = 3,则边长c的取值范围是 ________ 。
三、 解答题
1.在ZkABC 中，A = 120°,c >b,a = V21,5 ABC = y/3 ,求Z?,c。
2. 在锐角ZkABC 中，求证：tan A - tan B - tan C > 1 o
3. 在AABC 中，求证：sin A + sin B + sin C = 4cos一cos一cos一。
2 2 2
4.在AABC 中，若 A + S=120°,则求证：一纟一+ —L = ］。 b+c a+c
C A 3b
5. 在△ ABC 中，若 ci cos22 — c cos22 —2
=—,则求证：Q + C = 2Z?
第一章：解三角形
[提高训练C组] 一、选择题
1. 4为△ABC的内角，则sin A + cos A的取值范围是( )
A. (72,2) B. (-AV2) C. (—1,
D. [—\\/2, V2]
2. 在Z\\ABC中，若C = 90°,则三边的比口2等于()
A + B
匸 A-B
3. 在AABC中，若a = 7,b = 3,c = 8,则其面积等于() A. 12 B.— 2
C. 28 D. 6^3
4. 在AABC中，ZC = 90°, 0° < A < 45°,则下列各式中正确的是( A. sin A > cos A B・ sin B> cos A C・
sin A > cos B D・ sin B > cos B
5. 在Z\\ABC 中，若(a + c)(a-c) = b(b + c),则 ZA=( )
A. 90° B. 60° C. 120° D・ 150°
)
6.在AABC中，若竺彳=与，则AABC的形状是(
tanB b2 A.直角三角形B.等腰或直角三角形 C. 不能确定 D.等腰三角形
)
二、 填空题
1. 在AABC中，若sinA>sinB,则4一定大于B,对吗？填 ____________ (对或错) 2. 在Z\\ABC 中，若COS2A + COS25 + COS2C = 1,则厶ABC 的形状是 ______________ 。 3. 在Z\\ABC 中，ZC 是钝角，设 x = sinC,y = sin A + sin B, z = cos A + cos B,
贝!J x, y, z的大小关系是 _________________________ o
4. 在Z\\ABC 中，若a + c = 2b ,则cosA + cosC-cosAcosC + —sin AsinC = _____ <
3 5. 在AABC 中，若 21g tan B = lg tan A + lg tan C,则 B 的取值范围是 _____________ 。 6. 在AABC 中，若 b? = ac ,贝0 cos(A - C) + cos B + cos IB 的值是 ______ 。
三、 解答题
1. 在AABC 中，若(a2 + Z?2)sin(A - 5) = (a2 -Z?2)sin(A + B),请判断三角形的形状。
2. 如果 AABC 内接于半径为 7?的圆，且 2/?(sin2 A-sin2 C) = (V2a-b)sinB, 求AABC
的面积的最大值。
3. 已知△ ABC 的三边a>b>cAa-hc = 2b,A-C
求a\\b\\c
4. 在△ ABC 中，若(a + Z? + C)(Q — Z? + c) — 3Q ,且 tan A + tan C — 3 + y[3 ,
AB 边上的 高为4能，求角A,B,C的大小与边a,b,c的长
第二章：数列
［基础训练A组］
一、选择题
1. 在数列 1,1,2,3,5,8,%,21,34,55 中，x 等于() A. 11 C. 13
B. 12 D. 14
2. 等差数列［an｝中,a】 +a4+a-j = 39,a? +a6+a9 - 27,则数列｛a”｝前9 项
的和S9等于（
A. 66 B. 99 C. 144 D. 297
a2 =9,a5 = 243,则｛an｝的前4项和为( 3.等比数列｛a”｝中,
B. 120 A. 81
D. 192C. 168 4.血+ 1与V2-1,两数的等比中项是（
A. 1
B. -1 C. +1 D.-
2
）
)
5.已知一等比数列的前三项依次为x,2x + 2,3x + 3 ,
那么-珂是此数列的第（）
D. 8
6. 在公比为整数的等比数列｛a”｝中, 如果a】+ a4 =18,a2 + a3 =12,那么该数列
的前之和为（
)
A. 2 B. 4 C. 6
A. 513 C. 510
B. 512 D. 225
丁
二、填空题
1.等差数列｛a”｝中,a2 =9,a5 =33,则｛a”｝的公差为 2.数列｛a”｝是等差数列，a4 = 7 ,则s?=
3.两个等差数列仏｝, ｛b,,｝, ?+：产\"：”= =7“ + 2则山_ n + 3 b5 4. 在等比数列&”｝中,若as =3,a? =75,则弘=
5.在等比数列｛a”｝中，若5，弘是方程3.r2 -2x-6 = 0的两根，则％吗= 6.计算logs J3J3J...希 = _______________ .
、 丿
三、解答题
1. 成等差数列的四个数的和为26,第二数与第三数之积为40,求这四个数。
2.在等差数列血｝中，a5 = 0.3,a12 = 3.1,求％8 +如+。2。+。21 +如的值。3. 求和：（a — 1） + （a? — 2） +... + （Q\" （a 工 0）
4.设等比数列仏｝前〃项和为若53+56 =259,求数列的公比q
第二章：数列
［综合训练B组］
_、选择题
1.已知等差数列｛a”｝的公差为2,若ax,a3,a4成等比数歹!J,则a?=( )
A. —4 B・—6 C・—8 D・—10
）
2. 设S”是等差数列｛a”｝的前n项和，若空=二则纽二（
«9 S5 3 A. 1 B. —1
C. 2
D. — 2
3. 若lg2,lg（2'- l）,lg（2'+3）成等差数列，则x的值等于（ ） A. 1 B. 0 或32
C. 32 D. log2 5
4. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q, 则q的取值范围是（）
C. [1,7） D.
2 2 2
5. 在AABC中,tan A是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差， tanB是以+为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（ A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上都不对
）
6. 在等差数列｛a”｝中，设S, =a｝ +a2 + ... + an, S2 = an+i +an+2 + ... + a2n,
£ = °2”+l + °2”+2 + …+ °3”，则 Si'Sz’Sg,关系为（ A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.都不对
7. 等比数列｛a”｝的各项均为正数,且a5a6 + «4a7 =18 ,
贝!j log3 ar +log3 a2 + ... + log3 aY 亍（ ）
）
A. 12 B. 10 C. l + log35
D. 2 + log3 5
二、填空题
1. 等差数列｛a”｝中,a2 =5,a6 = 33,JU!Ja3+a5= _______ 。
2. 数列7,77,777,7777…的一个通项公式是 _______________________ 。 3. 在正项等比数列｛a”｝中，axa5 + 2a3a5 + a3a^ = 25 ,则 a3+a5 = _____ 4. 等差数列中，若Sm = Sn （〃心“）,则S,”+” = _ 。 5. 已知数列｛a”｝是等差数列，若a4 +a7 + «10 = 17,
。4 + °5 + °6 + …+。12 + %3 + %4 =77 且 = 13，贝（J P =
6.等比数列｛a”｝前\"项的和为2\" -1,则数列｛a,：｝前\"项的和为 ________________
三、解答题
1.三个数成等差数列，其比为3:4:5,如果最小数加上1,则三数成等比数列， 那么原三数为什
么？
2. 求和：1 + 2x + 3x~ +... + \"x\" 1
3. 已知数列｛a”｝的通项公式a”=—2\" + 11,如果bn = \\an\\(n e N), 求数列0”｝的前\"项
和。
4. 在等比数列｛a”｝中,<7^3 = 36,a2+a4 = 60,Sn > 400,求\"的范围。
第二章：数列
［提高训练C组］ 、选择题
则该数列的前()项之和等于9。
A. 98 C. 96 B. 99 D. 97
2. 在等差数列｛a”｝中,若S4 =1,S8 = 4,
A. 9 C. 16 B. 12 D. 17
3. 在等比数列｛a”｝中,若a2 = 6, Ka5 -2a4 -a3 +12 = 0
则a”为（）
A. 6 B. 6•(-I)\"』
C. 6-2n~2 D. 6 或 6-(-l),!_2 或6・2\"Q
4. 在等差数列｛a”｝中，Gj +a2 + ... + a50 = 200,a51 +a52 + ... + a100 = 2700>
A. —22.5 C. —20.5
B. -21.5 D. -20
= 38,则加
5.已知等差数列｛a”啲前\"项和为Sn，若加〉1,且a,— + am+1-al = 0,
等于(
)
A. 38 C. 10
则％=（）
B. 20
D. 9 6.等差数列｛an｝,｛bn｝的前\"项和分别为％,7；,若益=丄1,2M-1 3n-l
2M + 1 3“ + l
T” 3/i + l bn
2n-l 3“+ 4
A.
C.
二、填空题
1.已知数列｛a”｝中, 2.已知数列的Sn =n2+n + l,
a”+i • a” = % — a”,则数列通项 an =
贝！J 宓 ++ %0 + %1 +。12
3. 三个不同的实数a,b,c成等差数列，且a,c,b成等比数列，则a:b:c= ___________ 4. 在等差数列｛a”｝中，公差d=^,前100项的和S100 = 45 ,
则 Q] + 碣 ++ …+ a99 = __________ o
5. 若等差数列&”｝中，a3 +a7 -aw =&Q]] -為=4,则焉= _________________ . 6. 一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和， 则公比g为 _______________ o
解答题
1.已知数列｛a”｝的前\"项和S”=3 + 2”,求a”
2. 一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数，如果其奇数项的和为85,偶数项的和为 170,求
此数列的公比和项数。
3. 数列 lg 1000,lg(l000• cos60°),lg(1000 • cos2 60°),...lg(1000• cos\"\" 60°),...的前多
少项和为最大?
4. 已知数列｛a”｝的前\"项和S” =1-5 + 9-13 + ... + (-1)®\"-3), 求 S］5 +S?2 - S31 的
值。
第三章：不等式
［基础训练A组］ 一、选择题
1.若一2x?+5x —2〉0,贝忖4尸—4x + l+2|x —2| 等于( A. 4兀—5 B・—3 C • 3 D. 5 — 4x 2.下列各对不等式中同解的是（
）
)
A. 2x <7 与 2x + Vx < 7 + Vx C.卜-> 1 与 x - 3 > 1
B.(兀 + 1)2〉0与 x + 1^0 D.(卄1)3“与占<£
3. 若2讥（占严，则函数y = 2人的值域是（） A・[孑，2） B. [—,2] C. （—00,—] D. [2,+oo）
O O O
4. 设Q>l>b>-1,则下列不等式中恒成立的是（）
1 1 1 1 9 9 A. 一 < 一 B・ 一 > — C・ a〉b
a b a b
D・Q> 2b
5. 如果实数满足x2 + y2 =1,则（1 + xy）（l-xy）有（）
1
A.最小值一和最大值1
2 3
C.最小值一而无最大值
4
B.最大值1和最小值一 D.最大值1而无最小值
3 4
6. 二次方程/ +@2 +i）x + a_2 = 0,有一个根比1大，另一个根比—1小，
则a的取值范围是（）
A. -3 < a < 1 B. 一 2 1. 若方程X +2（m + l）x + 3m2 + 4mn + 4n2 +2 = 0有实根， 则实数肌= _________ ；且实数\"= _______ 。 2. 一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30, 则这个两位数为 _________________ » 3. 设函数/（x） = lg（^-x-x2）,则/'（X）的单调递减区间是 ___________ o 4. 当兀= ______ 时，函数y = /（2一兀2）有最 ____ 值，且最值是 _________ 。 5. 若 到大 连结起来为 ____________ » 三、 解答题 = Jn~ + l-n,g（n） = n — Jn2 _1,0（\"） = 一（n e N*）,用不等号从小 In 1. 0 解不等式（1） log（2”_3）（X? - 3） > （2） —4<——%2 — x — —< —2 x2 — 8x + 20 2. 不等式 2< 0的解集为R，求实数m的取值范围。 mx + 2(m + l)x + 9m + 4 y v x, 3. (1)求z = 2.r+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件 2 2 (2)求z = 2.r + y的最大值，使式中的x、y满足约束条件乞+二=1 4. 已知a〉2,求证：log(“_])a〉log“(a+ 1) 第三章：不等式 ［综合训练B组］ 一、选择题 1. 一元二次不等式ax~+bx + 2> 0的解集是(-|,|),则a + b的值是( A. 10 B. -10 C. 14 D. -14 2. 设集合A = jxl-<2|,B = Llx>|L则等于( B. 3. |)'<(/—+ 关于x的不等式伙2-2丘+ 的解集是( ) A. x >— B. x < — 2 2 C・ x > 2 D・ x<2 4. 下列各函数中，最小值为2的是() 1 1 71 A. y = x + — B・ y = sin x + --- , x G (0,—) x sinx 2 X2+3 D. 5. 如果x2 + y2 =1,则3x-4y的最大值是（） A. 3 B. 4 1 B.— 5 D. 5 6. 已知函数y = ax2 +bx + c（a工0）的图象经过点（-1,3）和（1,1）两点， 若0 二、填空题 1. 设实数兀』满足/+2厂—1 = 0,则x+y的取值范围是 _________________ o 2. 若 A = = = — 丘7?+},全集 I 二 R ,则CZA = _________ , 3. 若€1 -1 < logt x< a的解集是[丄丄]，贝！J a的值为 _______ 。 2 °? “小 兀] p 叫〜、 1 + cos 2x + 8 sin2 x s .亠口 当0vxv —时，函数/（x） = --------- :------------- 的最小值是 _______ o 4. 2 sin 2x I 9 5.设x,y^R且土+二=1,则兀+y的最小值为 _______________ - + 兀 丁 \\x2 - 2x - 3 > x2 - 2x - 3 6.不等式组* 三、解答题 1 x +|x|-2<0 ]\\3(x-l)' 2 的解集为 __________________ ， X1 2X2~2X~3 < 1. 已知集合4=< (- /丿 >,B = xllog1(9-x2)< log ] (6 - 2x) < 、 3 3 , 1 A. — W a V1 1 B ・ —V a V1 2.函数y= :一 的最小值为多少？ 7x1 2+4 3 -已知函数汁TfP的最大值为了，最小值为一1，求此函数式。 4. 设 0 第三章：不等式 ［提高训练C组］ 一、选择题 1. 若方程十+(〃 + 2)x + % + 5 = 0只有正根，则加的取值范围是( A. m <- 4 或 m > 4 B. —5< 加 <一4 C. — 5 < m < -4 D. — 5 < m < —2 2. 若f(.r) = lg(.r2 -2ax + l + a)在区间(-8,1]上递减，则a范围为( A. [1,2) B. [1,2] C・[1,+co) D. [2,+8) 3.不等式lgx2 ,1) B. (100,+oo) C. (------ , 1) U (100,+co) D. (0,1) U (100,+oo) 4.若不等式x2 -logflx< 0在（0,*）内恒成立，则a的取值范围是（） 16 16 )•) D・ 0 < a < — 16 5.若不等式0 A. 0 C. 4 祇 + avi有唯一解，则a的取值为（ ） B. 2 D. 6 ） 6.不等式组［V'x—的区域面积是（ y<-3\\x\\ + l A. - B.- 2 2 C・— 2 D・1 二、填空题 r+1 1. 不等式 log? (2* — 1) • log2(2-2)<2 的解集 是 已知a >Q,b>O,a + b = l,则 4.设*工0,贝I」函数y = （x +丄尸―1在*= _______ 时，有最小值 5.不等式74-x2 + W>o的解集是 ____________________ 三、解答题 1.若函数 y（x） = logfl（x + --4）（a > 0,且a 工 1）的值 R , 求实数a的取值范围。 2.已知AABC的三边长是a,b,c ,且加为正数, 3. 解不等式：log2(x + —+ 6)<3 兀 4. 已知求函数/(x) = (ex-a)2 + (e~x-a)2(0 X +1 的值域为[-1,4],求a\"的值。 参 第一章［基础训练A组］ 一、 选择题 1. C — = tan 30°, Z? = a tan 30° = 2 羽,c = 2b = 4A/?,C-b = 2^/3 a 2. A 0 < A < ^-,sin A > 0 TT TT TT TT TT 3. C cosA = sin(— — A) > sin B, — — 4, B 都是锐角，则一—A> B,A +B <-,C >- 2 ' 2 2 2' 2 4. D作出图形 5. D b = 2a sin B, sin B = 2 sin 4 sin B, sin 4 = —, A = 30° 或 150° 52 _i_ 22 _ 72 ］ B 设中间角为〃，则cosy= — =上，& = 60°,180°—60° =120°为所求 6. 2x5x8 2 二、 填空题 1 •丄 sin A sin B = sin Acos A = —sin 2A< — 2 2 2 2.120° cos A = b'+c'~a' = _1, A = no0 2bc 2 3. V6-V2 A = 15\\—,a = Z?SmA =4sinA = 4sinl5° =4x^~2 sin A sin B sin 4. 120° a ： b : c = sin A : sin 5 : sin C = 7 ： 8 ： 13, 4 7. 1 令a = 7£,b = 8k,c = 13k cos C = ------------- = —,C = 120° lab 2 5. 4 4 AC BC AB Q2 Z_2 _ AC + BC AB 人厂厂厂 ------- = ----- =-------- , --------------- = ------- , AC + BC sinB sin A sinC sin 5 + sin A sinC =2(A/6 - V2)(sin A + sin B) = 4(亦 _ 近)sin 申;卑 cos 人? = 4cos^<4,(AC + BC)max=4 A—f} 三、解答题 1. 解：a cos A + b cos B = c cos C, sin A cos A + sin B cos B = sin C cos C sin 2A + sin 2B = sin 2C, 2 sin(A + B) cos(A -B) = 2sinC cos C cos(A-B) = - cos(A + B), 2 cos A cos B = 0 cos A = 0 或 cos B = 0,得?1 =―或 B =— 2 2 所以AABC是直角三角形。 2,2 7T 77 7 2 lac 7 2 J 2 , J 2 , 2 2 、十r»n .z, __ d + c — b . b + c —a 讣、，、」 2. 证明： 将cosB = ---------------- , cos A = ---------------- 代入右边 2bc 2 , 2 2 2 得右妇f +c 土 -5labc 芒)= 2Q2—2 戻 labc lab a -b2 ab .a b _ cosB • • — C\\ b a b 纟厶左边, b a cos A 'll 'If ') L 3.证明：VAABC是锐角三角形，:.A + B>—,即一〉A〉一 — B>0 2 2 2 sin A > sin(— -B),即 sin A > cos B ；同理 sinB > cos C ； sinC > cos A :.sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C 4 •解: a + c = 2b, :. sin A + sin C = 2 sin B , 即 2 sin ---- cos 2 A-C = 4sin^cos^, 2 2 2 4 .B 1 A-C sin — = — cos ---- 2 2 2 sinB = 2sin^cos^ = 2x^x^=^ 2 2 4 匹而0<色二.•.cosJ亟, 4 2 2' 2 8 4 第一章［综合训练B组］ 选择题 l.C A=B=c=a:z?:c=sinA:sinB:sinC=::1::2 2. A + B <7i,A<7T-B 9 且 4,兀一 B 都是锐角，sin A < sin(7r -B) = sin A B 3.D sin A = sin2B = 2 sin B cos B,a = 2b cos B lg —巴— = lg 2,—涇彳一= 2,sinA = 2 cos B sin C cos B 4.D sin C cos B sin C sin(B + C) = 2 cos B sin C, sin B cos C 一 cos B sin C = 0, sin(fi-C) = 0,fi = C,等腰三角形 5.B (Q + b + C)@ + C — Q)= 3b ,0 + C)2- Q2=3b ,c b2^c2-a2= 3bc, cos A = \" +° 一° =-,A = 60° … 2 2bc rrrlTr^ 6.C c2 = a? + b? — 2ab cos C = 9, c = 3, B 为最大角，cos B ~ — 7 c A+B . A-B A-B tan - j •人 • D 2 cos ---------------- sin ------- 2 7.D a—b sin A - sm n 2 2 a + b sin A + sinB o . A + B A-B 2 sm ------ cos ------- 2 2 A-B A-B tan - tanp— A-B _ „ A + B . 2 -- ，“，tan ---- = 0,或tan ---------- = 1 A + B 2 2 tan ------- 2 TT 所以A = B或A + B = — 2 填空题 S^BC = ^bc sin A = 1 —ex—=羽,c = 4,= 13, a = V13 — 2 2 a V13 2A/39 sin A + sin S + sin C sin A 2.〉 A + B>-,A>--B,即 tanA>tan(--B) = 7/ 7/ V/ sin(j-B) cos(f _B) cos 5 1 . 1 . „ 1 = ------ = ------- ,tan A > --------- , tan A tan B > l sin B tan B tan B c 厂 sin B sin C 3. - 2 tan B + tan C = ------------1 ------ cosB cosC sin B cos C + cos B + sin C sin(B + C) 2 sin A cosBcosC sin A 2SinA 4. 锐角三角形 C为最大角，cosC>0,C为锐角 。丄8+4舲. V3+1 4 Ano 4 b +c -a 5. 60 cos A ---- ---------- 一 -2------ y^xV6 + V2 ~ V2xV2x(V3+l) 2bc a2 +b2 >c2 a2 13 >c2 6. (V5,V13) +c2 >b2 ,< c2 4 + c2 >9,5 三、解答题 1•解:SMBC=^bcsinA = 43,bc = 4, a2 =b2 +c2 -2/?ccos A,/? + c = 5 ,而 c〉b 所以 b = l,c = 4 2.证明：•••△ABC 是锐角三角形，.•. A + B〉一，即一〉4〉一 — B>0 2' 2 2 :.sin A > sin(— -5),即 sin A > cos B ；同理 sinB > cos C ； sin C > cos A /. sin A sin 5 sin C > cos A cos B cos C, 血\"血\"血 ° > 1 cos A cos B cos C :.tan A - tan B • tan C > 1 A + B A — B 3. 证明： V sin A + sin B + sin C = 2sin ---- cos ------- sin(A + B) 2 2 c . A+B A-B c . A+5 A+B =2 sin ------- cos -------- F 2 sin ----- cos ------- 2 2 2 2 .A + 5 A — B A + 5 =2 sin ------- (cos ------- + cos ------ ) 2 2 2 =2 cos — - 2 cos—cos — 2 2 2 , ABC =4cos—cos—cos — 2 2 2 JT J / Jr ) L :.sin A + sin 5 + sin C = 4 cos 一 cos 一 cos — 2 2 2 4.证明：要证丄+丄=1,只要证八\"+宀 b + c a + c 即 a2-^b2-c2=ab 而・・・A + B = 120°,・・・C = 60° ab + bc + ac + c cosC = —— ,a2 +b2 -c2 = lab cos 60° = ab lab ・•・原式成立。 民'-rnn・・ 2 C 2人_ 3〃 5. 证明：・ Q cos — c cos ——— 2 2 2 .4 1 + cos C . 厂 1 + cos A 3 sin 5 ..sin A -------------- sinC ------------- - ------- 2 2 2 即 sin A + sin A cos C + sin C + sin C cos A = 3sinB :.sin A + sin C + sin(A + C) = 3 sin B 即 sin A + sinC = 2sinB ,・\\ a-\\-c~ 2b 第一章［提高训练c组］ 选择题 、 l.C 1 2.B sin A + cos A = ^2 sin(A + 彳)， -2— C 4 兀 入 兀、兀 • / A 兀、/、 W0 2 2 2 cos A = —, A = 60°, S AM — ―be sin A = 6^3 2 ABC 2 4 3.D 4.D A + B - 90° 则 sin A - cos B, sin B = cos A , 0° < A < 45°, sin A < cos A , 45° cosB 5.C a2 -c2 =b2 +bc.b2 +C1 - a1 = -be,cos A = A = 120° 6.B sin A cos B sin2 A cos B sin 4 . * . . n n = 二 ——-一， = ------- ,sin A cos A = sin 5 cos A sin B B 2B 或 2A + 2B = 7r sin 2Acos = sin 2B.2A = 二、填空题 a h 对 sin A > sin 5 则—— > ———a>b — A> B 2R 2R 2. 直角三角形—(1 + cos 2A + 1 + cos 2B) + cos2 (A+ 5) = 1, + (cos 2A + cos 2B) + cos2 (A + B) = 0, cos(A + B) cos(A 一 B) + cos2 (A + B) = 0 cos A cos B cos C = 0 71 71 3. x ..厂 c •” c • 4 + C A — C . . A + C A + C 4. 1 ------------------------------------- sin A + sin C = 2sin n, 2sin ------- cos = 4sin cos --------------------------------- 2 2 2 2 A — C 小 A + C A C . A . C cos ------- = 2 cos ------ , cos — cos 一 = 3 sin—sin 一 2 2 2 2 2 2 贝!)—sin Asin C = 4sin2 —sin2 — 3 2 2 cos A + cos C - cos A cos C +—sin A sin C 3 =-(1 一 cos A)(l 一 cos C) + 1 + 4 sin2 ^-sin2 =-2sin2 —-2sin2 —+ 4sin2 —sin2 —+ 1 = 1 2 2 2 2 ft) tan2 B^tanA tan C, tanB^-tan(A + C)二血人 + 騷° 3 2 tanAtanC-1 tanA + tanC tanB^-tan(A 2+ C)^ tanB-l 3 tan B 一 tan B = tan A + tan C > 2^]tan A tan C = 2 tan B tan3 B > 3 tan B, tan B〉0 n tan B > A/3 B > — 3 6・ 1 b2 = 6zc,sin2 B = sin Asin C, cos(A -C) + cosB + cos 2B =cos A cos C + sin A sin C + cos B + l-2sin2 B =cos A cos C + sin A sin C + cos B +1 - 2 sin A sin C =cos A cos C - sin A sin C + cos B + l 二 cos(A + C) + cos B +1 = 1 三、解答题 1 解 a2 -^-b2 _ sin(A + B) a2 _ sin A cos 5 _ sin2 A a1 -b1 sin(A-B)9 b2 cos A sin 5 sin2 B ・•・等腰或直角三角形 £2^ = smA , sin 2A = sin 2B,2A = 2B 或 24 + 2B = TT cos A sin B 2. 解：2R sin A • sin A - 21? sin C • sin C = (42a-b) sinB, 6/ sin A - c sin C = (42a-b)sinB,a2 -c2 = sj2ab-b2, a2 +b2 —c2 = y[lab. cos C = ° \"—— = 2ab - Q — 45° 2 —= 2R,c = 2R sin C = y/2R,a2 +b2-2R2=近ab, sinC 2R2 + yjlab = a2 +b2 > lab.ab < ?人「 2-V2 S十b sin C冲沁孚抚心 另法: S 十 bsinC 斗妒乎 x2RsinAx2RsinB =学2阴“2阴唇忌si^sinB =41R1 x|x [cos(A — B) — cos(A + B)] =^2R2 x|x[cos(A-B) + f ] 血2 ——xd + 丁) …^max 逅 至乜A?此时A = B取得等号 3. 解：sin A + sin C = 2 sin B, 2 sin cos = 4 sin cos 2 2 2 2 sin^ = lcosAz£=Vl,cos^=VH,sinB = 2sin^cos^=VZ 2 2 2 4 2 4 A-C=-,A + C = 71-B,A = — - — ,C = - 2' 4 2 4 A/7+1 2 2 4 sin A = sin(— - B) = sin—cos B - cos — sin B = 4 4 4 sinC = sin(^-5) = sin^cosB-cos^sin5=^ a : b: c = sin A: sin B : sin C = (7 + V7): 7 : (7 - “) 4 4. 解：(a + b + c)(a-/? + c) =3Q ,c2 +c2 -/?2 = <2 ,cosB = ^,B = 60° tan(A + C)=騷人+阪C品=3+羽 1 - tan A tan C 1-tan A tan C tan A tan C = 2 + 巧，联合 tan A + tan C = 3 + ^3 tan4 = 2 +能或 < tan A = 1 4 = 45° 5或］ C = 45° tan C = 1 tan C = 2 + V3 C = 75° 当 A = 75°,C = 45° 时，5 =出3 = 4(3血—亦),c = 8(巧—l),a = 8 sin A 当 A = 45,),C = 75,)时，Z? = ^^ = 4V6,c = 4(V3+l),a=8 sin A .•.当 A = 75°,B = 60°,C = 45(l 时，a=&Z? = 4(3^2-V6),c = 8(^3-1), 当 A = 45°,B = 60°,C = 75°时，a=&b = 4亦,c = 4(胎+ 1)。 第二章［基础训练A组］ _、选择题 1・C aH+all+l =an+2 2. B a】+ 偽 + 坷=39, a3+ a6+ a9 = 27,3a4 = 39,3a6 = 27,偽=13,a6 = 9 9 9 9 59 — — (% + Q9) — — (。4 + 兔)——(13 + 9) — 99 3. B — = 27 = g?, g = 3, % = — = 3, = ―= 120 a2 q 1-3 4. C X2=(A/2 +1)(72 _ 1) = 1,兀=±1 5. B x(3x + 3) — (2x + 2), x — ——4， x —1 1 z3 n_! q = ----- = — ,一13 — = -4 x (―)，兀=4 2x + 2 2 2 2 6. C Q](l + g3) = 18,Q](g +『)=12,§ = —，^ =丄或g = 2, g + g 2 2 而 qwZ,q = 2,5=2^8 = 填空题 x — —4 3x + 3 3 1 — 2 249 2 = 2—2 = 510 导卞 2 三、解答题 - $7冷⑷+吗)\"。严49 65 9 + 3 12 a5_2a5_al+a9_l^+a^ _S9 _ 7x9 + 2 75^3 4. ±5. -2 6. 1_ q6 = 25, q = ±A/5, aw = a9-q = ±75亦 F ) 2 1. 解：设四数为 a — 3d,Q — d,a + d,a + 3d ,贝！14a = 26,a? — d? = 40 13 3 3 即。=—,d =—或—， 2 2 2 3 当〃=—时，四数为2,5,&11 2 3 当d = --时，四数为11,8,5,2 2 2. 解：％8 +%9 +。20 +。21 +。22 =5。20，°12 一％ = 7〃 = 2.&〃 = 0.4 。20 =坷2 + 8d = 3.1 + 3.2 = 6.3 • •。冷 +。19 +。20 +。21 +。22 = 5。20 = 6.3x5 = 31.5 3.解：原式=(Q + Q? + …+ Q\" ) — (1 + 2 + ... + 〃) a(l-an) n(n + l) 1-a 2 zi(n + l) 2 (a 丰 1) 4. 解：显然 gHl,若q = l则 S3 + S6 =9ap TO 2S9 =18^, S3 + S6 = 2S9 矛盾 由 s, + s6= 2S9 =空二心+空二Ql =绍(1-Q 3 6 9 1-q 1-q 1-q 2才-q6 -q3 = 0,2(g?)2 一辭—1 = 0,得或=一*, q3 =1, 而1・_百 IfOgHl,・・ q = —Q- 第二章［综合训练B组］ _、选择题 1. B %°4 =他2, (。2 — 2)(。2 + 4) = (。2 + 2)2,2°2 = —12, 0,2 — —6 2. A titii ==x=1 3 D lg2 + lg(2\" +3) = 21g(2v-l),2(2Y +3) = (2A -1)2 4.D (2* 尸—4 • 2* - 5 = 0,2'v = 5, x = log 2 5 a+aq> aq
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