第二章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是(A ) 11
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.2＋－2＝0
xxC．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1 2．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是(D )
A．x＝2 B．x＝－3 C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3 3．用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方程变形正确的是(B ) A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝4 C．(x－1)2＝1 D．(x－1)2＝7 4．下列一元二次方程中，没有实数根的是(B )
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
3
5．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为(C )
2A．－1或4 B．－1或－4 C．1或－4 D．1或4 6．解方程(x＋1)(x＋3)＝5较为合适的方法是(C ) A．直接开平方法B．配方法 C．公式法或配方法D．分解因式法
7．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12－x1＋x2的值为(D ) A．－1 B．0 C．2 D．3
8．(2018·乌鲁木齐)宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有(B)
x－180x
A．(180＋x－20)(50－)＝10 890 B．(x－20)(50－)＝10 890
1010x－180x
C．x(50－)－50×20＝10 890 D．(x＋180)(50－)－50×20＝10 890
1010
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9．已知菱形ABCD的边长是5，两条对角线AC，BD相交于点O，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为(A)
A．－3 B．5 C．5或3 D．－5或3
10．有一块长32 cm，宽24 cm的长方形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是(C )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 二、填空题(每小题3分，共24分)
11．一元二次方程2x2＋6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项的和为__－1__． 12．方程(x＋2)2＝x＋2的解是__x1＝－2，x2＝－1__．
213．若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是__1或－__．
314．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是3，则它的另一个根是1.
15．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．则这种药品的成本的年平均下降率为__10%__．
16．(2018·威海)关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是m＝4.
17．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x12＋x22＋3x1x2＝－1.
18．在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为2.
三、解答题(共66分) 19．(6分)解方程：
(1)x2＋4x－1＝0; (2)x2＋3x＋2＝0.
解：x1＝－2＋5，x2＝－2－5.解：x1＝－1，x2＝－2.
1
20．(6分)已知关于x的方程(k－1)x2－(k－1)x＋＝0有两个相等的实数根，求k的值．
4
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1
解：由题意得Δ＝[－(k－1)]2－4(k－1)×＝0，且k－1≠0，解得k＝2.
4
59
21．(8分)一元二次方程x2－2x－＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0
44
的根，求k的值．
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解：由x2－2x－＝0得(x－1)2＝，解得x1＝，x2＝－.当x＝时，()2－(k＋2)＋＝
44222224
71119
0，∴k＝；当x＝－时，(－)2＋(k＋2)＋＝0，∴k＝－7.
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22．(10分)如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2－3x，求x的值．
解：由已知，点O是AB的中点，点B对应的数是x，∴点A对应的实数为－x.∵点B是AC的中点，点C对应的数是x2－3x，∴(x2－3x)－x＝x－(－x)．整理，得x2－6x＝0，解得x1＝0，x2＝6.∵点B异于原点，故x＝0舍去，∴x的值为6.
23．(10分)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
解：(1)10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100
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－m)件，第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60元/件，第二次降价后单价利润为：324－300＝24元/件，依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2400≥3210，解得m≥22.5，即m≥23.
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该商品23件
24．(12分)关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝5？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11＞0，11解得k＞.
4
(2)存在，理由如下：∵x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，∴将|x1|－|x2|＝5两边平方可得x12－2x1x2＋x22＝5，即(x1＋x2)2－4x1x2＝5，∴(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5，整理，得4k－11＝5，解得k＝4.
25．(14分)请阅读下列材料：
问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．
1111
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y.把x＝y代入已知方程，得y2＋y－
2242
1＝0，
化简，得y2＋2y－4＝0. 故所求方程为y2＋2y－4＝0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：__y2－y－2＝0__；
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(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
111
解：(2)设所求方程的根为y，则y＝(x≠0)，于是x＝(y≠0)，把x＝代入方程ax2＋
xyy
11
bx＋c＝0，得a()2＋b·＋c＝0，去分母，得a＋by＋cy2＝0.若c＝0，原方程为ax2＋bx＝
yy
0，于是方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意，∴c≠0，故所求方程为cy2＋by＋a＝0(c≠0)．
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