2015届高三集训班第3周周练

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应 ．．．．．

位置上． ．．．

1．设复数z满足z(4－3i)＝1，则z的模为 ▲ ．

1 52. 已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲排在乙前面值班的概率为 ▲1 ．

23．一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为

▲ ．0.02 I14．计算：eln3log3810.1253= ▲ ． 15

5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．205

6． 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”，已

黄金圆锥的侧面积为π，则这个圆锥的高为 ▲ ．1

7．设曲线f (x)＝2ax3－ax在点(1，b)处的切线与直线x－2y + 5＝0平行， 则实数a的值为 ▲ ． 1

108．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线

y216x的准线交于A,B两点，AB43，则双曲线C的实轴长为 y 1 ▲ ． 4

9．已知函数f(x)sin(x)的图象如图所示，则fx的单调递减区

O 间为 ▲ ． 18k,78kkZ

3331 2WhileI100II2S2I3EndWhilePrintS知一

（第5题）

1 · 3 x （第9题） 10．关于x的不等式ax2bxc0的解集为1,2，则关于x的不等

2ab 式cbx的解集为 ▲ ．,0

x－

11．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)

－

＝a，则f(x)+ 21x的最小值为________． 2 12．在平面直角坐标系xoy中 ，设圆M的半径为1，圆心在直线2xy40上，若圆M上不存在点N，

112使得NONA，其中A(0,3)，则圆心M的横坐标的取值范围 ▲ ．(,0)(,)

25

13．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量APmABnAF(m,n为实数），则mn的最大值为____________．

14.若实数x4y2xy，则x的取值范围为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出．．．．．．．文字

说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

如图，A是两条平行直线l1，l2之间的一个定点，且点A到l1、l2的距离分别为AM=1，AN =3，设ABAC． ABC的另两个顶点B、C分别在l1、l2上运动，且满足ABAC,cosBcosC（1）试判断ABC的形状，并证明你的结论；

13（2）求的最大值． ABAC数学试卷 第1页

16．(本小题满分14分)

如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中．

（1）若A1A//C1C，求证：B1B//D1D；

（2）若平面B1BCC平面ABCD，平面D1DCC1平面ABCD，

求证：C1C⊥平面ABCD．

C1B1A1D1

D

A证明：（1）因为A1A//C1C ，A1A平面C1CDD1，C1C平面C1CDD1，

CB所以A1A//平面C1CDD1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 又因为A1A平面A1ADD1，平面A1ADD1平面C1CDD1=D1D，所以A1A//D1D． 同理：A1A//B1B，

所以A1A//D1D． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 （2）在平面ABCD内取一点P，过P作PMCD交于M，PNBC交于N． 因为平面C1CDD1平面ABCD，平面C1CDD1平面ABCD=CD，

PMCD，PM平面ABCD，所以PM平面C1CDD1，„„„„„„„„10分 因为C1C平面C1CDD1，所以 PMC1C．

同理 PNC1C，PMPNP，PM,PN平面ABCD，

所以C1C平面ABCD． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

17．(本小题满分14分)

因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50cm（即EF=50cm）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB的眼睛B到地面的距

B E F

), 离x(cm)在区间[140,180]内. 设支架FG高为h(0h90㎝

· 数学试卷 第2页

A G C

第17题

A1 D

AG100㎝, 顾客可视的镜像范围为CD(如图所示), 记CD的长度为y（yGDGC）.

（Ⅰ） 当h40㎝时, 试求y关于x的函数关系式和y的最大值；

（Ⅱ） 当顾客的鞋A在镜中的像A1GD（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看1满足不等关系GCGA到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h的取值范围.

x18．(本小题满分16分) 设等差数列{an}的公差为d，点(an,bn)在函数f(x)2的图象上（nN*）。

（1）若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； （2）若a11，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2a1，求数列{n}的前ln2bnn项和Tn。

解：（1）点(an,bn)在函数f(x)2的图象上，所以bn2n，又等差数列{an}的公差为d

xabn12an1所以an2an1an2d

bn2 因为点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，所以4b72又a12，所以Snna1xa8b8，所以2db84d2 b7n(n1)d2nn2nn23n 2x（2）由f(x)2f(x)2ln2

函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为yb2(22ln2)(xa2) 所以切线在x轴上的截距为a2从而ann，bn2n，

a111，从而a2，故a22 2ln2ln2ln2annn bn2Tn1232322212n1123 T34nn222222n n12所以Tn故Tn2

111123422221n1nn2 11nn1nn1n122222n2 n2x2y219．(本小题满分16分) 已知椭圆C：221（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的

ab一个端点构成正三角形。 （1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。

数学试卷 第3页

（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当

|TF|最小时，求点T的坐标。 |PQ|c22a6解：（1）依条件a3b 2b2a2b2c24x2y2所以椭圆C的标准方程为1

62（2）设T(3,m)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，又设PQ中点为N(x0,y0) （i）因为F(2,0)，所以直线PQ的方程为：xmy2

xmy22(m23)y24my20 xy212616m28(m23)24(m21)04m所以y1y22

m32yy12m232m26y1y22m于是y0，x0my022 222m3m32m3所以N(62mm。因为,)kkON OT22m3m33所以O，N，T三点共线

即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）

24(m21)m21 （ii）|TF|m1，|PQ||y1y2|m12m322|TF|所以|PQ|m2124(m21)m212m3m2324(m21)，令m1x（x1）

2|TF|x22123(x)则（当且仅当x22时取“”） |PQ|26x26x3所以当

|TF|最小时，x22即m1或1，此时点T的坐标为(3,1)或(3,1) |PQ|数学试卷 第4页

20．(本小题满分16分) 已知函数fxx33xa(aR).

（１） 若fx在1,1上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a)，求M(a)m(a)； （２） 设bR,若fxb4对x1,1恒成立，求3ab的取值范围

2x33x3a,(xa)3x23,(xa)（I）因为fx3，所以f'x2，

x3x3a,(xa)3x3,(xa)由于1x1，

（i）当a1时，有xa，故fxx33x3a，

此时fx在1,1上是增函数，因此Maf143a，maf143a，

Mama43a43a8

（ii）当1a1时，

若xa,1，fxx3x3a，在a,1上是增函数，

3若x1,a，fxx33x3a，在1,a上是减函数，

所以mamaxf1,f1，mafaa3，由于f1f16a2， 因此，当1a11时，Mamaa33a4，当a1时，Mamaa33a2，

333（iii）当a1时，有xa，故fxx3x3a，此时fx在1,1上是减函数，因此

Maf123a，maf123a，故Mama23a23a4，综上8,a1a33a4,1a13Mama；

a33a2,1a134,a1x33x3ab,(xa)3x23,(xa)（II）令hxfxb，则hx3，h'x2，

x3x3ab,(xa)3x3,(xa)因为fxb4，对x1,1恒成立，即2hx2对x1,1恒成立，

2所以由（I）知，

（i）当a1时，hx在1,1上是增函数，hx在1,1上的最大值是h143ab，最小值是h143ab，则43ab2，且43ab2，矛盾； （ii）当1a13时，hx在1,1上的最大值是h143ab，最小值是haab，所以3数学试卷 第5页

a3b2，43ab2，从而2a33a3ab6a2且0a1，令ta2a33a，3则t'a33a20，ta在0,上是增函数，故tat02，因此23ab0， （iii）当

131a1时，hx在1,1上的最大值是h13ab2，最小值是haa3b，所以3a3b2，3ab22，解得283ab0， 27（iv）当a1时，hx在1,1上的最大值是h13ab2，最小值是h123ab，所以

3ab22，23ab2，解得3ab0，综上3ab的取值范围23ab0.

2015届高三实验班数学周末考试

附加题

21．本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C 两个小题，每小题10分，共20分． 把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B．选修4—2：矩阵与变换

将直线l:2xy10先绕原点顺时针旋转90°，再将所得直线的纵坐标压缩为原来 的一半，横坐标不变，求所得直线l的方程．

10010连续两次变换所对应的变换矩阵M01110221 „„„4分 0设直线l上任意一点P(x,y)在矩阵M作用下的点P的坐标为(x,y)， x0则1y2xy1xx2y，所以 ，即 „„„„„„„„„8分 10yyxyx2将点P(x,y)代入直线l:2xy10，4yx10，

即直线l的方程为x4y10． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

C．选修4—4：极坐标与参数方程

xtCxOy在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），点A1,0,B3,3，

yt若以直角坐标系xOy的O点为极点，x轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系．

（1）求直线AB的极坐标方程；（2）求直线AB与曲线C交点的极坐标. （1）直线AB的直角坐标方程为：3x2y30„„„„„„„„„2分

所以直线AB的极坐标方程为：3cos2sin3 „„„„„„„„„4分

数学试卷 第6页

（2）曲线C的普通方程为：y2xy0 „„„„„„„„„„„„„„6分 1x1333x2y3„„„„„„„8分 由2，得，即交点的直角坐标为,y333yxy≥03从而交点的极坐标为2,π．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 33

22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 如图，直三棱柱点.

A1B1C1ABC中， C1CCBCA2，ACCB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中

（1）求点E到平面ADB的距离； （2）求二面角

EA1DB的平面角的余弦值；

ADB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理

（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面1由.

23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干 张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如 下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选 法种数为2．

（1）若m＝100，直接写出选法种数；

（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为an．当n≥2时，求数 列{an}的通项公式．

（1）m＝100，共有选法种数为12．„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片， 其余数字之和为100(n－1)，有an－1种选法； 若不选含有100的卡片，则有10n＋1种选法．

所以，an＝10n＋1＋an－1 ，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

数学试卷 第7页

从而，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋···＋(a2 －a1)＋a1 ＝10n＋1＋10(n－1)＋1＋···＋10×2＋1＋a1

＝10

(n＋2)(n－1)

＋n－1＋a1 2

＝5n2＋6n＋1

所以，{an}的通项公式是an＝5n2＋6n＋1．„„„„„„„„„„„„„„„10

数学试卷 第8页