第三届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷

1.已知一数列的前3项依次为2、4、16.根据你的观察，请写出数列的第四项，并写出你的判断理由（至少写出三种可能的结果）。 参：

（1）128；规律为2,2²，2，2=128，其2的次幂依次多1，多2，多3等等； （2）256；规律为2,2²，2，2=256，其2的次幂依次翻倍，依次为1,2,4,8等等； （3）96；规律为：后项依次为前项乘以2、4、6、8等等，其各项依次为2、2x2=4,4x4=16,16x6=96,96x8=768，等等。

（4）36：规律为：2=1+1x1,4=1+1x3,16=1+3x5,36=1+1x3x5x7,等等； （5）106：规律为：2=1+1x1,4=1+1x3,16=1+1x3x5,36=1+1x3x5x7,等等； 评分标准：本题为结论开放题，答案不唯一。

4

8

4

7

2.观察下列试子： 1x3x5x7+16=11²， 2x4x6x8+16=20² 3x5x7x9+16=31²，……

（1）根据你发现的规律写出接下来的一个等式：___________________________; （2）你能用含自然数n的代数式写出一个一般性的等式吗？ 答：_______________________________________;

请你根据写出的一般等式计算：2006x2008x2010x2012+16=__________________. 参：

规律：等式左端是一个连续奇数或连续偶数相乘；右端是一个完全平方数，其基数是中间两数相乘减4，或者两端两数相乘加4，或者中间两数的算术平方减5.答案为：（1）4x6x8x10+16=(7-5)=44

2

2

2

（2）（n-3）(n-1)(n+1) (n+3)+16=(n-5), 或n（n+2）(n+4)(n+6)+16=(n+6n+4)

2

2

22

或n（n-2）(n-4)(n-6)+16=(n-6n+4)等 2006x2008x2010+16=(2009-5)

2

2

22

评分标准：第一问占4分；第二问第一式占4分，第二式占2分。

3.本题分两部分，每部分5分。

（1）2008年冬季湖南省遭受雪灾，在其境内一段笔直的高速公路上依次停留100辆受阻的汽车，救援要设置一个临时食品供应站P，使这100辆汽车到供应站P的距离总和最小，供应站P应该设在何处？（写出答案过程）

（2）利用上述问题的解题规律计算式子：︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+………+︱x-19︱+︱x-20︱的最小值？（写出解答过程）

参：（1）通过2辆车、3辆车、4辆车试验可以发现；

当车辆为偶数n时，P应设在车辆与 +1车辆之间的任何地方都行，此时，这n辆车到供应站P的距离总合最小；当车辆为奇数n时，P应设在正中间的第辆车处，此时，这n辆车到供应站P的距离总合最小；故当车辆数为100时，P应设在50至51之间任何地方都行。

（2）︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-19︱+︱x-20︱可以看成X所对应的点到1至20这20个点的距离之和。所以当10＜X＜11时，比如X=10.5时，︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-19︱+︱x-20︱取最小值为9.5+8.5+7.5+…+0.5+0.5+1.5+…7.5+8.5+9.5+100. 评分标准：

第一问占5分，从特殊到一般，说出结论，简单解释即可；

第二问占5分，能够正确联想到第一个问题可得3分，得出结果得2分。

4.将数字-2、-3、-5、8、9、11书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子。分别取三枚同样地这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，问柱体A和B的表面（不含地面）点数之和分别是多少？说明你的理由。

参：要点是通过局部信息、片段信息 发现整体 信息，关键要找出每个数的对面是什么数，依据是观察图A和B所示的两个柱体可知： （1） 因为与数字-2相邻的四个面上的数字 分别是-3、-5、8、9.所示数字-2对面上的数字是11

（2）因为与数字8相邻的四个面上的数字分别是-3、-2、11、9.所以数字8对面上的数字是-5.根据（1）、（2）可知；-3对面的数字是9.所以， A柱体表面（不含底面）点数之和

=（-3+8-5+11-2）+（-2+9-3+11）+（8-5+11-2）=36 B柱体表面（不含底面）点数之和

=（-2+8+9-3-5）+（11-3-2+9）+（8-3-5+9）=31 评分标准：

思路正确得4分；两个结论正确各得3分。

5.在一张正五边形的纸片内有2007个点，加上5个顶点共有2012个点。

（1）如果这些点中任意3个点都不在同一条直线上，现在以这2007个点为顶点，把纸片剪开，最多剪出_____个三角形（任意两个三角形没有重叠），写出过程；

（2）如果这2012个点中，有三个或三个以上的点共线，你能确定最多剪出的三角形个数吗？说明你的结论和理由。 参：

（1）4017；（2）可以确定，结论不变。 如图，从简单的数字入手寻找规律； 当正五边形内有2个点时，可以剪出7个 三角形；当正五边形内有3个点时，可以剪出

9个三角形；当正五边形内有4个点时，可以剪出11个

三角形；……

当正五边形内有n个点时，可以剪出（3+2n）个三角形 当n=2007时，可以剪出4017个三角形。

原因是：任意3个点都不在同一条直线上，这说明，每增加一个点，这个点必落在某一个三角内，这样原来的1个三角形就可以一分为三，多出两个。

（2）如果这2012个点中，有三个或者三个以上的点共线，仍然可以 剪出4017个三角形。原因是，每增加一个点，这个店或者落在某一个三角内，或者落在某一个三角的边上，前者当然增加两个三角形，而后者会将共用该边的两个三角形各拆分为2，仍然会增加两个三角形，因此结论变。 评分标准：

两小题各为5分。每小题答案正确得2分，说明理由得3分

6.某考场由10道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得10分，判断错误不得分。请根据如下甲、乙、丙3名考成的判断及得分结果，算出考生丁的得分，写出你的分析过程。 第 第 第 第 第 第 第 第 第 第 分数 1 题 2 3 题 4 题 5 题 6 题 7 8 题 9题 10 题 题 题 60 80 60 ？ 甲 × × √ × × √ × √ √ √ 乙 √ × √ √ √ × × × × √ 丙 √ √ × × √ × √ × √ × 丁 √ × × × √ × × × √ √ 丁得了_______________分。 参：90

因为甲、乙共得140分，所以甲、乙共错6题。而甲、乙有6道题的答案不一致，所以错得6题就在这6题中，两人答案一致的2、3、7、10题都答对了，丙得60分，错4题。对照2、3、7、10题的正确答案，丙全错了，所以丙的其余题都答对了，丁除了第3题外都答对了，应得90分。 评分标准：

通过甲乙的得分判断出甲的2、3、7、10题正确得4分，根据丙的得分并与甲乙对比，判断出全部正确答案再得4分；给出丁的正确得分再得2分。

7.将数字2、3、5、8、9、11书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子。分别取三枚同样地这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，问柱体A和柱体B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？说明你的理由。

参：

要点是通过局部信息、片段信息发现整体信息，关键要找出每个数的对面是什么数，依据是排除其相邻的数字，再综合使用其他信息。观察A和B所示的两个柱体可知；

（1）因为与数字2相邻的四个面上的数字分贝是3、5、8、9.所以数字2对面上的数字是11.

（2）因为与数字8相邻的四个面上的数字分别是3、2、11、9。所以数字8对面上的数字是5。

根据（1）、（2）可知：3对面的数字是9. 所以，A柱体表面（不含底面）点数之和

=（3+2+11+5+8）+（2+9+11+3）+（8+11+5+2）=80 B柱体表面（不含底面）点数之和

=（2+8+9+5+3）+（11+3+2+9）+（8+3+5+9）=77 评分标准：

思路正确得4分，两个结论正确各得3分。

8.用相同大小的正六边形瓷砖来铺广场，按如图所示的方式来铺设，中间的正六边形瓷砖记为A，定义它为第一层；在它的周围扑上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二层；在第二层的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三层，……，按这种方式铺下去，当铺第15层时，用了_____块瓷砖。写出你的规律。

参：631

从第二层起，各层都是正六边形，其边长依次加1 故各层小正六边形个数依次为 1,6x2-6=6,6x3-6=12,6x4-6=18,…… 第15层的数字为6x14，总数为

1+6+6x2+6x3+……+6x14=1+6(1+2+…+4)=631 评分标准：

思路正确得4分；结论正确再得6分。只写出正确结论给5分。

9. 将下表的方格中的7个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的3个数字之和都相等，则表中左上角的数字是多少？写出推算过程。

参：1

如图所示，设表中左上角的数字是X，相应的方格中的数字记为a,b,c,d.

依题意有：

x+a+b=x+c+d=a+c-2010=b+2012+d 于是2x+a+b+c+d=a+b+c+d+2012-2010 即2x=2,x=1 评分标准：

能够恰当应用问题给出的关系，列出正确式子得5分；得到正确答案再得5分

10.棱长为n厘米（n为正整数）的正方体，表面涂成红色。现在将该正方体分割成棱长为1厘米的小正方体，将这些大小、形状相同的小正方体放在一个箱子中，为混合均匀，然后从巷子中随机摸的一个小正方体。记摸出的小正方体表面有一面是红色的概率为P1，摸出的小正方体表面有两面是红色的概率为P2，已知P1=3P2. (1) 有多少块四面都没有涂上红色小正方体？

（2） 求随机摸到有3个面是红色的小正方体的概率是多少？ 参：（1） 216 （2） 3/256

通过实验观察可知：小正方体一共有n块，其中有一面是红色的只能分布在原正方体的6个表面非边沿处，一共有6（n-2）个；有2个面是红色的只能分布之原正方体的12条棱而不在角的部分，一共有12（n-2）个，依题意P1=3P2有= ，化简得：n-2=6，n=8于是 （1） 四面都没有涂上红色的小正方体的个数=（n-2）=6=216（块）。

（2） 小正方体一共有512块，其中有3个面是红色的只有6块，故随机摸到的小正方体有3个面是红色的概率是3/256

3

3

2

3

评分标准：能够正确给出有一面红色，两面红色的小正方体数量得3分，通过题意解出n得1分；算出四面都没有图上红色的小正方体的个数得3分；算出概率再得3分。

11. 操作题

（1） 如图1在正方形ABCD内，与线段PQ长度相等且端点在正方形边上的线段有多少类？每类分别在图1样板图中画出一条线段作代表，并说明它的特点。

（2） 如果一个正方形的四条边被擦去，只在每条边上留下了一个点（不在顶点，如图2），请你重新画出这个正方形，说明你的做法。 参：（1） 分如下两大类，八小类

一、与线段PQ长度相等且端点在正方形的对边上的线段横向、纵向个两类（平行与交叉） 二、与线段PQ长度相等且端点在正方形的两条领边上的线段，底边Q左右两侧，四边点左右两侧各两类。 具体作图方法如下：

（1）以点P为圆心，PQ长为半径画圆，与正方形的另外三边相交，可以画3条符合题意的线段。

（2）以点Q为圆心，PQ长为半径画圆，与正方形的另外两边相交，可以画1条符合题意的线段。

（3）在AB边上任意取一点R为圆心，PQ长为半径画圆，与正方形的另外两边相交，可以画2条符合题意的线段。

（4）在CD边上任意取一点R为圆心，PQ长为半径画圆，与正方体的另外两边相交，可以画2条符合题意的线段。 （5）与线段PQ平行且相等。

（6）与线段PQ垂直且相等。

（2）画正方形的方法（如图：答案不唯一，仅供参考）

（1）依次连接点E,H,E,Q,记线段FH,HE,EG,GF的中点分别为P,Q,R,S

12. 国庆期间，天虹商场采取“买200送100连环送”的酬宾活动，规则如下：

（一）顾客在商场内消费每满200元就送100元购物券，多买多送（满400送200依此类推），消费不足200元的部分不赠送。

（二）购物券不能兑换现金同等使用，用购物券购物同样享受满200送100. 问题：

（1） 如果你有1000元，最多能够买价值多少钱的商品？说明你的购买策略。 （2） 如果某顾客计划在该店购买的商品及价格如下表所示：

商品名 价格 旅游鞋 338 羊毛衫 798 T恤 浴巾 拉杆箱 458 148 205 皮带 红酒 食油 合计 256 200 70 约2470 该顾客要至少需要支付多少现金？说明你的购买策略

参：（1）最多可购买2000元货物；（2）至少支付1265元左右

基本思想：每次尽量购买200的倍数的物品已获取最大赠送量，最后剩余100而得不到赠送时可以采取借用后再还的方式。

（1） 参考方案：最多能够买2000元钱的货物 第一步：先买1000元物品，获得500元奖券。 第二步：再买400元物品，获得500元奖券。

第三步：再买200元物品，获得100元奖券，加上第一次剩下的100元。 第四步：再买200元物品，获得100元奖券，向别人暂借100元奖券。 第五步：再买200元物品，获得100元奖券归还借的人。 （2） 大约需要支付1265元。 基本思想：

① 尽量一次性地超出200的倍数，并使超出的数尽可能地小，以便获得较多的赠送。 ② 后面购买商品尽可能使用赠券，以便尽量节省现金。 ③ 将商品分组，每一组以倍数缩减。

因此，大数额的先购，以便取得赠送购买较小数额的产品。 购买策略：

① 先购买羊毛衫和拉杆箱，合计人民币1003元，获得赠送券500元。 ② 在购买T恤与浴巾，合计106元及赠券500元，获得赠券300元。

③ 再够旅游鞋与食油，合计338+约70=400元余元，用人民币100余元及赠券300元，获得赠券200元。

④ 再够买皮鞋256元，用人民币56元及赠券200元，获得赠券100元。

⑤ 用赠券100元，再向别人暂借100元奖券购买红酒，获得赠券100元券归还借的人。 评分标准： 两问各5分

第一问，能够购买的物品达到2000元得5分；1900元得4分，1880元得3分；1860元得2分，1850元得1分；少于1850元不得分。

第二问，最少支付1280元以内得5分；1271-1290元得4分