恒成立问题

编写：孙宜俊

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)ax2bxc(a0,xR),有

1.一般策略

a0a01）f(x)0对xR恒成立 2）f(x)0对xR恒成立.

00例1．已知函数ylg[x2(a1)xa2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2(a1)xa20对xR恒成立，即有

1(a1)24a20解得a1或a。

31所以实数a的取值范围为(,1)(,)。

3若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 变式：将例1改为值域为R,求实数a的取值范围。

例2．设f(x)x22mx2，当x[1,)时f(x)m恒成立，求实数m的取

值范围。

解：设F(x)x22mx2m，则当x[1,)时，F(x)0恒成立 当4(m1)(m2)0即2m1时，F(x)0显然成立； 当0时，如图，F(x)0恒成立的充要条件为：

0F(1)0解得3m2。 2m12yx -1 O x 综上可得实数m的取值范围为[3,1)。

2 零点分布

2例2 已知f(x)xax3a，若x[2,2],f(x)0恒成立，求a的取

1

值范围.

解析 本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区

00aa22或2或， 2f(2)0f(2)0f(2)0f(2)0间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0

即a的取值范围为[-7，2].

点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1）f(x)a恒成立af(x)min 2）f(x)a恒成立af(x)max

x22xa,x[1,)，若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，例3．函数f(x)x求实数a的取值范围。

解：若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，

x22xa0恒成立， 即对x[1,)，f(x)x考虑到不等式的分母x[1,)，只需x22xa0在x[1,)时恒成立而得 而抛物线g(x)x22xa在x[1,)的最小值gmin(x)g(1)3a0得

a3

注：本题还可将f(x)变形为f(x)x值。

a2，讨论其单调性从而求出f(x)最小x三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(x)max

2

2）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(x)max 实际上，上题就可利用此法解决。

略解：x22xa0在x[1,)时恒成立，只要ax22x在x[1,)时恒成立。而易求得二次函数h(x)x22x在[1,)上的最大值为3，所以

a3。

例4．已知函数f(x)ax4xx2,x(0,4]时f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。

解： 将问题转化为a4xx2对x(0,4]恒成立。 x令g(x)4xx2，则ag(x)min x由g(x)4xx2x41可知g(x)在(0,4]上为减函数，故xg(x)ming(4)0 ∴a0即a的取值范围为(,0)。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例5．对任意a[1,1]，不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x2)ax24x40在a[1,1]上恒成立的问题。

解：令f(a)(x2)ax24x4，则原问题转化为f(a)0恒成立（a[1,1]）。

当x2时，可得f(a)0，不合题意。

f(1)0当x2时，应有解之得x1或x3。

f(1)0故x的取值范围为(,1)(3,)。

注：一般地，一次函数f(x)kxb(k0)在[,]上恒有f(x)0的充

3

f()0要条件为。

f()0四、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方； 2）f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。 例7．设f(x)x24x , g(x)实数a的取值范围.

分析：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x) 的图象 如图所示，f(x)的图象是半圆(x2)2y24(y0) -2 4x1a,若恒有f(x)g(x)成立,求3y g(x)的图象是平行的直线系4x3y33a0。 要使f(x)g(x)恒成立，

则圆心(2,0)到直线4x3y33a0的距离 满足 d833a52

-4 -4 O x 解得a5或a5（舍去) 31例8、若不等式3x2logax0在x0,内恒成立，求实数a的取值范围。

31解：由题意知：3x2logax在x0,内恒成立，

3在同一坐标系内，分别作出函数

y3x2和ylogax

1观察两函数图象，当x0,时，

3若a1函数ylogax的图象显然在函数y3x2图象的下方，所以不成立；

4

11当0a1时，由图可知，ylogax的图象必须过点,或在这个点的上方，

331111 a 1a

2733271综上得：1a

27则，loga五． 消元转化

例6 已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若

m,n[1,1],mn0时f(m)f(n)若f(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]0，

mn恒成立，求实数t的取值范围.

解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则f(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒成立1t22at1对于所有的a[1,1]恒成立，即2tat20对于所有的a[1,1]恒成立，令g(a)2tat2，只要g(1)0，t2或t2或t0．

g(1)0 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.

7.利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,nfa,ga，则fam且gan，不等式的解即为实数a的取值范围。

1例5、当x,3时，logax1恒成立，求实数a的取值范围。

3解：1logax1

a3111（1） 当a1时，xa，则问题转化为,3,a 11 a3

a3aa31a11113ax，0a （2） 当0a1时，则问题转化为,3a,a33a13a

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综上所得：0a1或a3 3x2x例6、已知x,1时，不等式12aa40恒成立，求a的取值范围。

x解：令2t，x,1 t0,2 所以原不等式可化为：aa2t1， t2要使上式在t0,2上恒成立，只须求出ft22t1在t0,2上的最小值即可。 t211t111111ft2 ,

t2tttt24ftminf233132 aa a 4422

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