大学物理第一章质点力学练习题

直角坐标运动学1、一辆轿车沿x轴正方向运动，其速度满足以下关系vx60m/s(0.5m/s3)t2

（2）求该车在t1.0s至t3.0s内的平（1）求该车在t1.0s至t3.0s内的速度变化；均加速度；（3）求t1.0s之后的Vt内的平均加速度。Vt分别取0.1s，0.01s,0.001s。（4）求瞬时加速度随时间的函数式，并求出t1.0s时的瞬时加速度。解：（1）xx(t2)x(t1)x(3)x(1)(600.532)(600.512)4 m/s（2）axx4 m/s2 m/s2t2 s（3）xx(tt)x(t)[600.5(tt)2](600.5t2)ax(t,t)ttttt0.5t2t0.5tt ax(1,0.1)10.50.11.05 m/s2 ax(1,0.01)10.50.011.005 m/s2 ax(1,0.001)10.50.0011.0005 m/s2dx0.52t1.0t，ax(1)1.0 m/sdt（4）ax(t)由（3）、（4）可见，当t0时，平均加速趋于瞬时加速度，即ax(t,t0)ax(t)。2、Sally开着她的Mustang汽车在高速公路上直线行驶，其加速度表达式为ax2.0m/s2(0.10m/s3)t，设初始时她的速度为10m/s，位置坐标为50m。求她的速度和位置坐标随时间的函数。解：根据加速度定义ax(t)dx得无限小速度增量dtdxax(t)dt(2.00.10t)dt将上式作定积分可得速度表达式xx0dx

t0ax(t)dt

t0(2.00.10t)dtxx02.0t10.10t22由速度定义x(t)dx得无限小位置增量dtdxx(t)dt(x02.0t10.10t2)dt2将上式作定积分可得位置表达式

xx0dxx(t)dt0

t

t0(x02.0t110.10t2)dtxx0x0t1.0t20.10t326本题中x010 m/s,x050 m。将这个初始条件代入速度和位置表达式中得x102.0t0.05t2x50x0t1.0t213t60以上是求解运动学问题的一般方法。可见，中学里所学的“匀速运动”、“匀加速运动”仅是这里的特例。以后处理运动学问题时，按上述程序做，不能随意套用中学里所学的公式。二维运动学3、火星探测器“漫游者”在火星表面上探索，以着陆舱为坐标原点，在火星表面上建立22

oxy坐标系，将“漫游者”看做质点，若其运动方程为x2.0m(0.25m/s)t

33

y(1.0m/s)t(0.025m/s)t

“漫游者”离着陆舱的距离；（2）求02.0s内的位移矢量、平均速度（1）求t2.0s时，矢量；（3）求“漫游者”的瞬时速度矢量和瞬时加速度矢量。解：（1）x(2)2.00.25221.0 my(2)1.020.025231.8 mr(2)r(2)x2y21.021.822.06 m（2）位置矢量为rxiyj(2.00.25t2)i(1.0t0.025t3)j位移矢量rr(2)r(0)[x(2)x(0)]i[y(2)y(0)]j(i1.8j) mri1.8j(0.5i0.9j) m/s平均速度t20dr（3）速度矢量[0.5ti(1.00.075t2)j] m/sdt加速度矢量da(0.5i0.15tj) m/s2dt圆周运动4、一辆AstonMartinV8跑车具有0.96g（即0.969.8m/s29.4m/s2）的横向加速度，它是该车做圆周运动时能够承受的最大向心加速度，超过该加速度就会失去控制。如果这辆车以40m/s做匀速圆周运动，它能够成功越过的最小圆周的半径为多少？解：。故最小圆周半径为170m.22402 9.4, R170 mR9.49.45、（1）伽利略是一位非常伟大的科学家，他坚定地支持哥白尼的日心说，并且研究了自由落体和斜面运动，第一次发现了匀加速运动。那么请问什么是加速度？。（2）在直角坐标系中，加速度可以写成哪些分量？。（3）在自然坐标系中，加速度可以写成哪些分量？。（4）在一个骑行嘉年华活动中，游客在半径为5.0m的圆形轨道上匀速骑行，它们骑行一周所花的时间为4.0s，则他们的加速度大小为多少?解：（1）加速度是单位时间间隔的速度矢量的增量。它是描述速度矢量变化快慢的物理量。（2）在直角坐标系中，加速度可以分解为x分量、y分量和z分量，它们的定义分别为dyd2ydxd2xdzd2zaxdtdt2,aydtdt2,azdtdt2（3）在自然坐标系中，加速度可分解为切向分量和法向分量，其定义分别为d2a,andt2πr23.145.027.852（4）7.85 m/s，an12.32 m/s2t4.0R5.0牛顿运动定律6、（1）是使物体加速的原因。（2）惯性定律是牛顿物理学的基石。历史学家H.Butterfield在TheOriginsofModernScience中谈到惯性定律时说：“在以往1500多年里人类心智所面对和克服的所有智力困难中，我觉得最令人惊奇、影响范围最大的就是运动问题。”请你查阅资料说说惯性定律是如何被发现的？解：（1）力是使物体加速的原因。（2）查资料。7、一块质量为m3.00kg的石块静止落入到一种粘性介质中。设石块受到的重力和粘性介质的浮力的合力向下，且恒为18.0N，同时石块受到的粘性流体的阻力fkv，其中v是石块的速率，k2.20Ns/m。（1）求石块的初始加速度a；求石块速率达到3.00m/s0（2）时的加速度；（3）求加速度达到0.1a时石块的速率；（4）求石块的终极速率vt；（5）求石0

块在2.0s时的速率。解：设重力与浮力的合力大小为F，加速度大小为a。因为所有力和运动均在铅直线上，所以坐标轴沿铅直线取，方向向下（沿运动方向）。则运动方程为Fkmamddt（1）初始时刻0，所以a0（2）当3 m/s时，a（3）当a0.1a0时，F18.06.00 m/s2m3.00Fk18.02.203.003.80 m/s2m3.00Fma18.03.000.16.007.36 m/sk2.20dkdtF/km（4）将运动微分分离变量得对上式两边积分

0dF/k

t0tkFkkFdtlnt(1em)mFmkk当t时，获终极速率为F18.08.18 m/s。k2.20k2F（5）当t2 s时，(1em)6.29 m/sk动量定理与动量守恒8、（1）一个质量为0.40kg的足球以20m/s的速度向左运动，这时运动员一脚踢中，该球以30m/s的速度朝右上45°飞出。求该过程中合力的冲量及平均冲力。设作用时间为Vt0.010s。（2）动量守恒定律是关于自然界的基本定律。当研究一现象按原来观点看似与动量守恒定律相悖时，并非意味动量守恒定律失效，确意味着有新的发现。典型的例子有：1930年泡利为维护动量守恒定律而提出的假设，后来莱茵斯于1950年策划实验证实了它的存在。1932年查德威克运用守恒定律研究实验结果而发现了。解：（1）在图中的坐标系下，始、末速度可表示为120 m/si，230 m/scos45i30 m/ssin45j152 m/s(ij)根据动量定理得该过程的冲量为Im2m1(628)i62j(16.50i8.48j) Ns冲量的大小为I22IxIy16.5028.482 18.56 Ns方向（与x轴的夹角）Ittan1IyIxtan18.4827.216.50平均冲力F18.561860 N，方向沿I的方向。0.010（2）中微子；中子。功和能9、（1）请写出元功的定义式并用文字描述它？讨论什么情况下做正功和什么情况下做负功？（2）若力F只随x变化即FF(x)，则物体从x移动到x该力做功可表示为12

（3）考虑到弹簧并不是完全服从胡克定律。若弹簧一端固定，一端自由，它受的弹力可以23

表示为Fxkxbx2cx3，其中k100N/m，b700N/m，c12000N/m，x表示弹簧的形变量，当弹簧被拉伸时x0，被压缩时x0。求1）外界要做多少功才能使该弹簧被拉伸0.050m；2）外界要做多少功才能使该弹簧压缩0.050m。解：（1）一个无限小过程中力所做的功称为元功，其定义为力矢量与无限小位移矢量的标量积（或数量积、点积）。即dWFdrFcosdrFcosds由定义式可知，当力与位移之间的夹角为锐角时，力做正功；当力与位移之间的夹角为钝角时，力做负功。（2）W

x2x1F(x)dxi

x2x1F(x)cosdx

x2x1Fx(x)dx。θ为力与x轴正向的角。（3）设平衡位置为坐标原点。则W

x2x1Fx(x)dxW

x0(kxbx2cx3)dx121314kxbxcx2341）当x0.05 m时，121314kxbxcx2341111000.0527000.053120000.0540.115 J2342）当x0.05 m时，W1kx21bx31cx4234111100(0.05)2700(0.05)312000(0.05)42340.173 J10、如图所示，一个质量为5.00kg的滑块在光滑的水平面上朝着一根弹簧运动，速度为v06.00m/s，弹簧的劲度系数k500N/m，弹簧质量不计。求（1）弹簧被压缩的最大距离；（2）如果弹簧的压缩量不能大于0.150m，则滑块的速度v最大不能超过多少？0

解：（1）解法1用动能定理解。选滑块为研究对象。根据动能定理有W2m0k

xm0kxdx1212kxm0m022解之得xm5.006.0020.6 m。500解法2用功能原理解。将弹簧和滑块组成系统，设弹簧自然状态势能为零。因为不存在非保守力，且外力不做功。所以W外力W非保力0。于是有W外力W非保力01212kxmm022解之得xm0.6 m。解法3用机械能守恒定律解。将弹簧和滑块组成系统，设弹簧自然状态势能为零。由于不存在非保守力，且外力不做功。所以机械能守恒。根据机械能守恒有1212kxmm022解之得xm0.6 m。（2）由11212m0kxm5000.1502得01.5 m/s。最大速度为01.5 m/s。222rr

11、在实验中，作用在一个质子上的力可以表示为Fx2i，其中12N/m2。问（1）质子沿直线从坐标（0.10m,0）移动至（0.10m,0.40m）过程中该力做的功；（2）质子沿直线从坐标（0.10m,0）移动至（0.30m,0）过程中该力做的功；（3）质子沿直线从坐标（0.30m,0）移动至（0.10m,0）过程中该力做的功；（4）该力是保守力吗？为什么？如果它是保守力，请写出它对应的势能表达式，取x=0为势能零点。解：根据功的定义可得功在直角坐标系中的表示W

BAFdr

(xB,yB)(xA,yA)(FxiFyj)(dxidyj)

xBxAFxdx

yByAFydy对本题Fy0，所以上式为W（1）WxB

xBxAFxdx。xAxBFxdx

0.100.100.30x2dx020.301（2）WFxdxxdxx3xA0.1031（3）WFxdxxdxx3xA0.303xB0.1020.104 J0.100.10

0.104 J0.30（4）因为力仅与坐标有关，与速度大小和方向无关，所以是保守力。根据势能定义有Ep(x)

参考点xFxdx

1x2dxx34x3x30