第15章作业分析2008

第15章作业分析（2008\\11\\4）

设某一时刻的横波波形曲线如图所示，水平箭头表示该波的传播方向，试分别用矢号表明图中A、B、C、D、E、F、G、I等质点在该时刻的运动方向，并画出经过1/4T后的波形曲线。

解：

u x 各质点运动方向 u x T/4后波形 分析：此题有个别同学做错！

15.4 (1) 试计算在27℃时氦和氢中的声速各为多少，并与同温度时在空气中的声速比较(空气的平均摩尔质量为29103kg/mol)。(2) 在标准状态下，声音在空气中的速率为

331m/s，空气的比热容比是多少？(3) 在钢棒中纵波的声速为5100m/s，求钢的杨氏模量(钢的密度7.8103kg/m3)。

解：(1) 对于氦

urRT1.678.313001.02103ms-1Mmol0.004

1

对于氢

u1.48.31300347ms-10.029

(2) 按

uRTMmol， 故

Mmolu21.4RT

(3) 由于

uE， 故

Eu22.031011Nm-2 注：此题做的很好！

15.6 图15.36(a)、(b)是在各相同性介质中的简谐波的波阵面的示意图，图中已标明了各波阵面的相位，请在图中作出波射线的示意图。

2 =2 0 –2 0 =–2

解：波线如图所示：

2 2 0 2 20 u u 2

注：此题基本上也还可以！

15.10一平面简谐波沿着x轴正向传播，波的周期为T，波长为λ。(1)若t=0时的波形如图15-39(a)所示，试在图中画出t=T/4时的波形图；(2)若x=0处质点的振动曲线如图15-39(b)所示，试在图中画出x=λ/4处质点的振动曲线。

解：(1) t=T/4对波形向右平移/4

y t=T/4 x

(2)

x/4处质点振动比

x=0处质点时间上落后T/4

y x=/4 t 注：这两个图有同学画反了，还有同学第二个图没画对！

15.12 一平面简谐纵波沿线圈弹簧传播。设波沿着x轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为2.5Hz，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm。当t=0时，在x=0处质元的位移为零并向x轴正向运动。试写出该波的波动方程。

2故

解：按题意A0.03m，v=2.5Hz，0.24m

x=0处质元振动为

3

y0Acos(2vt)0.03cos(5t2)m

25x)m32

波方程为

yAcos(2vt2x)0.03cos(5t注：此题少部分同学没做对！大部分同学最后结果都没有写单位啊！

15.15 一平面波以速度u=20m/s沿x轴负方向传播，已知a点的振动表式为

ya0.03cos4t，t的单位为s，y的单位为m。(1) 以a为坐标原点写出波动方程。(2) 以距a

点5m处的b点为坐标原点，写出波动方程。

x)m20

解：(1) 以a为原点，波方程为

y0.03cos4(t (2) 以b为原点，波方程为

y0.03cos4(tx5x)0.03cos[4(t)]m2020

15.17 一平面简谐波在t=0时的波形曲线如图所示，波速u=0.08m/s。

T8(1) 写出该波的波动方程；(2) 画出

t时的波形曲线。

解：(1) 波的频率

vu0.2x2 角频率 2v0.4 原点初相

；

原点振动为

y00.04cos(0.4t2)

波方程为

y0.04cos(0.4t2x)0.04cos(0.4t5x)m0.422

4

15.19 一列沿x正向传播的简谐波，t1=0和t2=2s时的波形曲线如图(1)、(2)所示。已知波的振幅为2cm，周期大于2s，试求(1) 原点的振动方程；(2) 此波的波动方程；

解：(1) 按题意 t1~t2过程中波传播的波程小于波长，如图为l=0.5m。

l0.51u1m/sHzt2482，波的频率 ，原点的初相如图所示为

故波速

u

故原点振动为

y0Acos(2t)0.02cos(t)m42

(2) 波方程为

xy00.02cos(t2)0.02cos(tx)m42242

注：以上3题少数同学错了！

15.20 一横波沿绳子传播时的波动方程为 y0.05cos(10t4x) x、y的单位为m，t的单位为s。(1) 求此波的振幅、波速、频率和波长。(2) 求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。(3) 求x=0.2m处的质点在t=1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？

(4) 分别画出t=1s、1.25s、1.50s各时刻的波形。

解：(1) 由波方程可知，波的振幅 A=0.05m，角频率10，频率/25Hz，

5

由于

4x2x-1u2.5ms0.5m，波长，波速；

1222vA0.5msaA5msmm (2) 振动最大速度；最大加速度 ；

(3) x0.2m处 t=1s时的相位 10140.29.2 原点相位为 010t，

令 10t9.2，得原点相位为9.2的时间，t=0.92s。

15.22 一平面简谐声波的频率为500Hz，在空气中以速度u340m/s传播。到达人耳时，振幅A1043cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度(空气的密度1.29kg/m)。

解：平均能量密度

112A2(2v)2A26.36106Jm-322

声强

In2.16103wm-2 注：此题做的很好！

15.26 P、Q为两个相干波源，间距离5(为波长)，它们发出的波在P、Q的连线上相向传播，O为PQ连线的中点。 (1) 若P、Q的相位相同，PQ连线上离O点最近的一个干涉极大点到O点的距离为________；(2) 若P、Q的相位相反，PQ连线上离O点最近的一个干涉极大点到O点的距离为__________。解：(1) 0；(2) /4 注：此题基本上正确

，S1的相位比S2的相位超前215.28 设S1和S2为两个相干波源，它们相距

14。若两波

在S1、S2连线方向上的强度相同均为I0，且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何？

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解：S1外侧任一点，两列波的相差

x s1 s2 x

212r2r122/4 故合成波振幅 A=0，波强I=0

2/4S2外侧任一点，

212r2r120

合成波振幅A=2A0。波强I=4I0

s1 s2 x x

注：这道题有个别同学做错！

15.30 有一平面波

y2cos600(tx)330(SI)，传到隔板上的两个小孔

A、B上，A、B相距

1m，CAAB，如图所示。若从A、B传出的子波到达C点时恰好相消，在A和C之间没有其它的相消点，求C点到A点的距离。

u3301.1m300

解：波长

 设AC=x，两列子波长C点的波程差

2x2AB2xx21x

按题意

x21x0.5s 解之得 x0.634m

15.32 图为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为扬声器。D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。干涉仪内有空气，且知声音

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强度在B的第一位置时为极小值100单位。而渐增至B距第一位置为1.6510m的第二位

2置时，有极大值900单位。求：(1) 声源发出的声波频率，(2) 抵达探测器的两波的相对振幅。(设声波在传播过程中振幅不变，声速u=330m/s)。

u5103Hz解：按题意，波长

1.6510246.60102m (1) 频率



(2) 按题意

2ImaxAmaxImax29IminAminImin 由于

， 故

Amax3Amin1

由于AmaxA1A2，AminA1A2， 故

A12A21

15.34 两个波在一很长的弦线上传播。设其波动方程为

2y10.06cos2(0.020x8.0t) (SI)

y20.06cos(0.020x8.0t) (SI) 求各波的频率、波长、波速；求驻波方程；

求所有波腹和波节的位置。

解：(1) 两列波的频率、波长、波速相同。 把y1记作y10.06cos(4t0.01x) (SI)

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对比

yAcos(2t2x)-1u400ms2Hz200m 可知 ，，

(2) 驻波方程

yy1y20.12cos0.01xcos4

(3) 波腹位置满足 0.01xk， 即 x100k(SI) k=0、1、2…

波节位置满足

0.01xk2， 即 x50100k(SI) k=0、1、2…

注：前面三道题都做的很好！

15.36 在弦线上有一列沿x轴正方向传播的简谐波，其频率50Hz，振幅A=0.04m，波速u100m/s。已知弦线上坐标为x10.5m处的质点在t=0时刻的位移为

A2，且沿y轴负

方向运动。当波传播到x210m处一固定端时，被全部反射。试写出：(1) 入射波方程；

(2) 反射波方程(3) 入射波与反射波叠加的合成波在0x10区间内的波腹和波节的坐标。

3解：(1) 按题意波长u/2m，x1处质点初相

xx1，入射波方程

yAcos(2t25)m0.04cos(100t-x) m36

(2) 任一x处的入射振动到x2处再返回x处波程为2(x2-x)，考虑到半波损失，

2, 反射波方程为

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为

2(x2x)

y0.04cos(100tx22(x2x)25)0.04cos(100tx11)m66

(3) x2处为一波节， 故全部波节是

x节x0k210k k=0、1、2…

按题意在0x10区间取 x节=0、1、2、…10 m

波腹位置为 x腹=0.5、1.5、2.5……9.5 m

注：这道题第二，三问有同学没做对！

tx2)T，波在

15.37 有一列在x轴上传播的简谐波，波动方程为

yAcos(2x轴上

与第二列简谐波干涉形成驻波，x=0处为一个波节。试写出：(1) 第二列简谐波的波动方程；

(2) x轴上所有波腹和波节的坐标。

解：(1) 第二列波传播方向逆着x轴，在x=0处与第一列波振动相位相反，故为

tx2)T

yAcos(2(2) x=0处为波节，则所有波节位置为

4x节k2 k=0、1、2…，相邻波腹、波节距离4，

故波腹在

x腹k2 k=0、1、2…

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15.39 一弦上驻波的方程为 y0.02cosxcos100t (SI)

(1) 组成此驻波的两列行波的波幅及波速为多少？(2) 节点间的距离为多大？

(3) t2.5103s时，位于x=1.0m处的质点速度为多少？

xtT解：(1) 对比驻波方程

y2acos2cos2 可知 波的振幅a=0.01m，波长2m，

周期T=0.02S，波速u/T100 m·s-1

(2) 节点间距离为

21m

(3)

vycosxsin100tt 在

x=1m处，t=2.5×10-3s时 v=4.44 m·s-1

15.43 两列火车在两条平行的轨道上沿相反的方向同时经过p点，第一列车的速度为v1，其汽笛的频率为1，第二列车的速度为v2，其喇叭的频率为2，空气中的声速为u。

(1) 在到达p点之前，第一列车的司机听到第二列车的汽笛声的频率为 ；

(2) 在到达p点之后，第一列车的司机听到第二列车的汽笛声的频率为 。

解：(1)

uv1uv122uv2； (2) uv2 注：有少数同学做反了！

15.45 一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速率向右运动。在其右方有一

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反射面相对于地以65m/s的速率向左运动。空气中的声速为331m/s。求(1) 反射面接收到的频率；(2) 声源接收到的反射波的频率。

解：(1) 反射面接收频率

v1uvRuvv33165010801421Hzs33130

(2) 声源接收反射波的频率

v2uvRuvv33130114211928Hzs33165

注：这道题做的很不错，几乎都做对了！

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