数学试卷
考试时间：120分钟；满分：150分 题号 得分 一 二 三 总分 注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：共12题每题5分共60分
1．设集合
，，则等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查集合的交集运算.解答本题时要利用二次不等式的解法以及对数不等式解法得到两个集合的元素情况，然后求交集.由
，由
解得
，故
，所以
解得
，故，故选B.
2．下列图形中，不可作为函数
图象的是
y y y y
O x A
【答案】C
O x B
O x C
O x D
【解析】本题主要考查函数的基本概念.解答本题时要结合函数的基本概念，对比图象，进行确认.由题，根据函数的概念，一个x只能对应一个y，而C选项中是一个x对应了两个y，不符合函数概念，故C选项是错误.故选C.
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3．已知实数变量满足且目标函数的最大值为4，则实数的
值为 A.-2 【答案】D
【解析】本题主要考查简单的线性规划.如图所示，先画出可行域：当
在
点取得最大值，代入
，所以
时，目标函数；当
B.-1
C.2
D.1
时，目标函数在处取得最大值，即，解之得
(舍).故选D.
4．过抛物线
的焦点F的直线 交抛物线于A，B，交其准线于点C，若 ，则抛物线的方程为 B.
C.
D.
，
A.
【答案】A
【解析】本题考查抛物线的概念与几何性质.如图所示，A,B两点到准线的距离分别为AD,BG；BG=BF=BC/2；OF与准线的交点为E，ΔCBG由抛物线的几何意义可得AD=AF=3，3=6，∴FC=6-3=3；而ΔCBG∽ΔCFE，∴∽ΔCAD，∴BC/AC=BG/AD，∴AC=2×
BC/FC=BG/EF，∴EF=BG/BC×FC=(1/2)×3=3/2 ∴p=3/2；∴抛物线方程为
.选A.
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5．已知三棱锥的俯视图与侧视图如下图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有
一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为
【答案】C
【解析】本题主要考查三视图的识别.解答本题时注意根据三视图的其中两个图识别可能满足条件的空间几何体情况，并根据这些几何体判断另一个图的情况.通过对比选项可知，对于选项A,D，则俯视图应有一条中线，故排除A,D；从俯视图可以观察得到该几何体的一条侧棱在正视图中应该看不见，为虚线，故排除B.所以选C.
6．当
时，不等式
B.
恒成立，则实数的取值范围为 C.
D.
A.
【答案】C
【解析】本题主要考查一元二次不等式.设
，解得
，故选C.
，由题知
7．公比为2的等比数列
的各项都是正数，且，则
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A.4 【答案】B
B.5 C. D.
【解析】本题主要考查等比数列.因为
，所以
8．已知△
，所以
，故选B.
，所以
中，内角的对边分别为,，，则△
的面积为 A.-1 【答案】C
【解析】本题考查正余弦定理，三角形的面积公式.因为余弦定理得
；可得
，所以
，
，所以由
B.1
C.
D.2
.选C.
9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距
离为
A.a B.a C.a D.a
【答案】A
【解析】本题主要考查空间距离问题.解答本题时要注意能够从体积相等的角度进行转化求解.如图，要求点到平面
的距离，可以使用体积转化的方法.
，所以
，解得.
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10．已知函数
的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个
单位后得到的函数为奇函数，则函数A.关于点
对称
的图象 B.关于直线
对称
C.关于点对称 D.关于直线对称
【答案】D
【解析】本题考查三角函数的图像与性质.因为函数的最小正周期是，所以
，其图象向右平移个单位后可得
；此时
，其为奇函数，所
以 ；所以 ；当 时，排除A；当 时，
，排除B；当 时， ，排除C；当 时， ，所以函
数 的图象关于直线 对称.选D.
11.．已知△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为eq \\f(1,3)，则其外接圆的半径为 A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题主要考查解三角形应用.解答本题时要注意利用余弦定理计算得到第三边，再利用直线定理计算得到三角形外接圆的半径.由题可得，设第三边为m，则
，所以
，其对角的正弦值为
.由正弦定理可知：
，所以.故选C.
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12．若，则向量
B.
与的夹角为 C.
D.
A.
【答案】D
【解析】本题主要考查向量的线性运算. 由则向量
可知与的夹角满足
，又由
可知
,所以
， ，故选D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：共4题每题4分共20分
13．若点SKIPIF 1<0 M(-2,8)在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为 . 【答案】
【解析】本题主要考查抛物线的定义.解答本题时要注意利用抛物线准线方程确定实数p的值.由题，该抛物线的准线方程为
，所以
，解得
.
14．设函数
，则
. 【答案】
【解析】本题主要考查函数求值问题.解答本题时要注意复合函数分布求值的方式.由题，
，故
15．曲线
.
与直线 所围成的曲边图形的面积为，则= 【答案】2
【解析】本题主要考查了定积分的几何意义，微积分基本定理等知识的理解和应用. 根据题意，由
或
，由定积分的几何意义，
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可得：，即，所以.
16．设定义域为
的函数的图像的为C。图像的两个端点分别为A、B，点O
，
，
。现定义函数
恒成立，其中
，为常数。给
，且
为坐标原点，点M是C上任意一点，向量满足
在
出下列结论：
(1)A、B、N三点共线； (2)直线MN的方向向量可以为(3)函数(4)若函数
在
在
； ，又设向量
上“可在标准下线性近似”是指
上“可在标准1下线性近似”；
上“可在标准下线性近似”，则
.
其中所有正确结论的序号是 。 【答案】(1)(2)(4)
【解析】本题考查函数的性质，平面向量的数量积. (1)由题意得(2)由题意得
,即
的横坐标都可以为
,即A、B、N三点共线，(1)正确；
，所以MN的方向向量可以为
，(2)正确；
(3)
在
上可得A(0,0),B(1,5),可得
，不满足“可在标准1下线性近
似”的条件，(3)错误； (4)
在
上可得A(1,0),B(2,),可得
，若满足“可在标准下线性近似”，
则恒成立，只需，所以(4)正确；
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其中所有正确结论的序号是(1)(2)(4).
三、解答题：共6题 共74分
17．在
中，记。
(角的单位是弧度制)，的面积为S，且，
(1)求的取值范围； (2)根据(1)中的取值范围，求
的最大值和最小值。
【答案】解：(1)因为又
，所以
，;
，所以;
又，所以
；
;
所以的取值范围是：
(2)
因为，即，，
所以，。
【解析】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质与最值，三角形的面积公式，平面向量的数量积.
18．设函数
.
(1)若在时有极值，求实数的值和的极大值；
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(2)若
在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.
在∴
时有极值，∴
，∴
.
【答案】(1)∵又
∴,
由得，
又∴由得或,由得
∴在区间和上递增，在区间上递减
∴的极大值为
(2)若在定义域上是增函数，则
，需
时
在时恒成立
恒成立，
化为恒成立， ，为所求.
【解析】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题. (1)由在时有极值得
. 从而由导数的正负确定函数的极大值；(2)已知单调区间求参数的取值范
围，转化为
19．如图，在直四棱柱
在时恒成立.把a孤立出来求另一个函数的最值即可.
中，底面是边长为的正方形，，点E在
棱上运动
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(Ⅰ)证明：(Ⅱ)若三棱锥
；
的体积为时，求
是正方形，是直棱柱，
与
所成的角. .
平面ABCD.
【答案】(Ⅰ)连接BD.四棱柱
平面ABCD，平面
(Ⅱ)
，
，.
.. 平面
平面.
，
，..
，
在在
中，求得中，求得
为异面直线
.
，所成的角.
，
.
.
平面，
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所以，异面直线，所成的角为
【解析】本题主要考查空间直线与直线的垂直的证明，以及求两条异面直线所成角的大小.解答本题时要注意能够根据条件，利用直线与平面垂直的判定及定义，得到直线与直线垂直.能够通过利用平移的方式得到异面直线所成角的大小的表示，然后利用三角形进行计算. 高考对空间几何考查的内容有：空间直线、平面平行的证明；直线、平面垂直的证明；空间直线与直线所成的角；直线与平面所成的角；平面与平面所成的角、空间几何体的体积等.高考考题分为以下几类：①与平行、垂直有关的证明的问题；②平行的证明、线面角的求解；③平行的证明、二面角的求解；④垂直的证明、线面角的求解；⑤垂直的证明、二面角的求解；⑥平行、垂直的证明、体积的计算等.
20．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气
质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天。
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)。 【答案】解：设表示事件“此人于3月日到达该市”(根据题意
，且与互斥，
，
。
)，
(1)设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则所以
;
(2)由题意可知的所有可能取值为，
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所以的分布列为： 故的期望。
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。
【解析】本题考查互斥事件的概率，随机变量的分布列与数学期望.
21．如图，
分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦
平行于轴，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若点是椭圆上异于点的斜率分别为
，求
的任意一点，且直线的取值范围. ，所以
，又因为
.
，所以
.
分别与轴交于点
，若
【答案】（Ⅰ）因为焦距为由椭圆的对称性及已知得因此
.
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于是，因此椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线
的方程为
，则 ，令
，
得，故.同理可得.
所以，.
因此.
因为在椭圆上，所以.
故.
所以又因为当因此
时
重合，即
.
重合，这与条件不符，所以
.
平
.
的取值范围是
【解析】本题主要考查的是椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系.(Ⅰ)根据直线行于轴，可得点，写出直线
的对称关系，再结合椭圆的定义以及焦距来求标准方程；(Ⅱ)设出两个点和的方程，求出和两点，然后求出斜率，最后结合韦达定理来求斜率和的
关系,再借助基本不等式进行求解.
22．已知数列
满足, ， .
(1)求证：是等差数列；
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(2)证明：.
【答案】(1)
是以3为首项，2为公差的等差数列.
(2)由(1)知：,;
，
【解析】本题考查等差数列的证明，数列的通项与求和.
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