一次函数压轴题练习
1．小明骑自行车从甲地到乙地，图中的折线表示小明行驶的路程s（km）与所用时间t（h）之间的函数关系．试根据函数图象解答下列问题：
（1）小明在途中停留了 2 h，小明在停留之前的速度为 10 km/h； （2）求线段BC的函数表达式；
（3）小明出发1小时后，小华也从甲地沿相同路径匀速向乙地骑行，t＝6h时，两人同时到达乙地，求t为何值时，两人在途中相遇．
解：（1）小明在途中停留了2h，小明在停留之前的速度为10km/h； 故答案为：2；10；
（2）设线段BC的函数表达式为s＝kt+b，
，
解得
，
∴线段BC的函数表达式为s＝15t﹣40；
（3）甲乙两地的距离为：20+15×（6﹣4）＝50（千米）， 小华的速度为：50÷（6﹣1）＝10（km/h）， 10（t﹣1）＝20， 解得t＝3．
答：t为3时，两人在途中相遇．
1
2．某网络公司推出了一系列上网包月业务，其中的一项业务是10M40元包240小时，且其中每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，小刚和小明家正好选择了这项上网业务．
（1）当x≥240时，求y与x之间的函数关系式；
（2）若小刚家10月份上网200小时，则他家应付多少元上网费？
（3）若小明家10月份上网费用为62元，则他家该月的上网时间是多少小时？
解：（1）设当x≥240时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵图象经过（240，50）（300，80）， ∴解得
， ，
∴当x≥240时，y与x之间的函数关系式为：y＝0.5x﹣70；
（2）根据图象可得小刚家10月份上网200小时，应交费50元；
（3）把y＝62代入y＝0.5x﹣70，得0.5x﹣70＝62， 解得x＝264，
答：他家该月的上网时间是264（小时）．
3．甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧道长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为 10 米/小时，乙队的挖掘速度为 15 米/小时．
（2）①当2＜x＜6时，求出y乙与x之间的函数关系式；②开挖几小时后，两工程队挖掘隧道长度相差5米？
2
解答：解：（1）甲队：60÷6＝10米/小时， 乙队：30÷2＝15（米/小时）， 故答案为：10；15；
（2）①当2≤x≤6时，设yz＝kx+b， 则2k+b＝30，6k+b＝50， 解得k＝5，b＝20，
∴当2≤x≤6时，yz＝5x+20；
②易求得：当0≤x≤2时，y乙＝15x，当2≤x≤6时，yz＝5x+20； 当0≤x≤6时，y甲＝10x， 由10x＝（5x+20）解得x＝4，
当0≤x≤2，15x﹣10x＝5，解得：x＝1， 当2＜x≤4，（5x+20）﹣10x＝5，解得：x＝3， 当4＜x≤6，10x﹣（5x+20）＝5，解得：x＝5，
答：挖掘1小时或3小时或5小时后，两工程队相距5米．
4．已知直线AB：y＝kx+b经过点B（1，4）、A（5，0）两点，且与直线y＝2x﹣4交于点C． （1）求直线AB的解析式并求出点C的坐标；
（2）求出直线y＝kx+b、直线y＝2x﹣4及y轴所围成的三角形面积；
（3）现有一点P在直线AB上，过点P作PO∥y轴交直线y＝2x﹣4于点Q，若线段PQ的长为3，求点P的坐标．
3
解：（1）把（1，4），（5，0）分别代入y＝kx+b得解得k＝﹣1，b＝5， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+5 由﹣x+5＝2x﹣4解得x＝3，故y＝2， ∴C点坐标（3，2）；
；
（2）∵直线y＝2x﹣4交y轴于（0，﹣4），直线AB交y轴于（0，5）， ∴直线y＝kx+b、直线y＝2x﹣4及y轴所围成的三角形面积为（3）设P（x，﹣x+5），Q（x，2x﹣4）
当x≤3时，PQ＝﹣x+5﹣（2x﹣4）＝3，解得所以x＝2，P点坐标（2，3） 当x＞3时，PQ＝2x﹣4﹣（﹣x+5）＝3，解得所以x＝4，P点坐标（4，1）， 故点P的坐标为（2，3）或（4，1）．
5．如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△
×3＝
；
ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．
（1）求A、B两点的坐标； （2）求直线AM的表达式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4
解：（1）当x＝0时，y＝8， ∴B（0，8），
当y＝0时，﹣x+8＝0，
x＝6，
∴A（6，0）；
（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8， ∴AB＝10，
由折叠得：AB＝AB'＝10， ∴OB'＝10﹣6＝4，
设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a， 由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，
a＝3，
∴M（0，3）， 设AM：y＝kx+b， 则
，解得：
，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3；
（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，如图
5
∵M（0，3），B′（﹣4，0）， ∴B′M＝5，
当PB′＝B′M时，P1（﹣9，0），P2（1，0）； 当B′M＝PM时，P3（4，0），
当PB′＝PM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交B′M与Q， 易证得△P4B′Q∽△MB′O，则
＝
，即
＝
，
∴P4B′＝∴OP4＝4﹣
， ＝，
∴P4（﹣，0），
综上，P点的坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．
6．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x+1|的图象和性质，并解决问题．
（1）按照下列步骤，画出函数y＝|x+1|的图象； ①列表；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 y …
②描点； ③连线．
3
2
1
0
0 1
1 2
2 3
3 4
… …
（友情提醒：画图结果确定后请用黑色签字笔加黑） （2）观察图象，填空；
6
①当x ＜﹣1 时，y随x的增大而减小；x ＞0 时，y随x的增大而增大； ②此函数有最 小 值（填“大”或“小”），其值是 0 ； （3）根据图象，不等式|x+1|＞x+的解集为 x＜﹣3或x＞5 ．
解：（1）
按照画图步骤，如图所示即为函数y＝|x+1|的图象；
（2）①当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大； ②此函数有最小值（填“大”或“小”），其值是0； 故答案为：＜﹣1，＞0，小，0；
（3）根据图象，不等式|x+1|＞x+的解集为：x＜﹣3或x＞5． 故答案为：x＜﹣3或x＞5．
7．快车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，慢车从N地出发沿同一条公路匀速前往M地，
7
已知快车比慢车晚出发0.5小时，快车先到达目的地．设慢车行驶的时间为t（h），快慢车辆车之间的距离为s（km），s与t的函数关系如图1所示．
（1）求图1中线段BC的函数表达式；
（2）点D的坐标为 （，90） ，并解释它的实际意义；
（3）设快车与N地的距离为y（km），请在图2中画出y关于慢车行驶时间t的函数图象．（标明相关数据）
解：（1）设线段BC的函数表达式为y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）
∴
解得，
∴线段BC的函数表达式为y＝﹣120x+180； （2）由图象可得两车的速度和＝
＝120千米，
∴小时后两车相距＝120×（）＝90千米，
∴点D（，90），表示慢车行驶了小时后，两车相距90千米； （3）如图所示：
8
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）． （1）求k的值；
（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，求点Q的坐标．
解：（1）∵点A（2，0）在一次函数y＝kx+3上， ∴0＝2k+3，得k＝﹣1.5， 即k的值是﹣1.5； （2）∵k＝﹣1.5，
∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3， ∴当x＝0时，y＝3， 即点B的坐标为（2，0）， ∴OB＝3， ∵点A（2，0）， ∴OA＝2， ∴△AOB的面积是
＝
＝3，
又∵△AOB的面积是△AOQ面积的2倍， ∴△AOQ的面积是1.5， 设点Q的坐标为（a，﹣a）， ∴1.5＝
，得a＝1.5，
∴点Q的坐标为（1.5，﹣1.5）．
9．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD9
⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）
【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；
（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．
解：（1）由已知可得△BEO≌△AOD， ∴OE＝AD， ∵k＝﹣1， ∴y＝﹣x+4， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， ∵BE＝3， ∴OE＝∴AD＝
， ；
（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4， ∴A（3，0），
10
①当BM⊥AB，且BM＝AB时， 过点M作MN⊥y轴， ∴△BMN≌△ABO（SSA）， ∴MN＝OB，BN＝OA， ∴MN＝4，BN＝3， ∴M（4，7）；
②当AB⊥AM，且AM＝AB时， 过点M作x轴垂线MK， ∴△ABO≌△AMK（AAS）， ∴OB＝AK，OA＝MK， ∴AK＝4，MK＝3， ∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时， 过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴， ∴△BMG≌△AHM（AAS）， ∴BG＝AH，GM＝MH， ∴GM＝MH， ∴4﹣MH＝MH﹣3， ∴MH＝， ∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）； （3）当k＞0时，AO＝， 过点Q作QS⊥y轴， ∴△ABO≌△BQS（AAS）， ∴BS＝OA，SQ＝OB， ∴Q（4，4﹣），
∴OQ＝，
11
∴当k＝1时，QO最小值为4； 当k＜0时，Q（4，4+），
∴OQ＝，
∴当k＝﹣1时，QO最小值为4； ∴OQ的最小值为4．
12
10．如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点
D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上．
（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是 A ，OP所在的直线是 y轴 ，当点P在C点时，A′点的位置关系是 B ，OP所在的直线表达式是 y＝x ． （2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式．
（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使△DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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解：（1）由轴对称的性质可得，若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是点A，
OP所在的直线是y轴；
当点P在C点时， ∵∠AOC＝∠BOC＝45°， ∴A′点的位置关系是点B，
OP所在的直线表达式是y＝x．
故答案为：A，y轴；B，y＝x． （2）连接OD，
∵正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点， ∴
＝
＝
．
由折叠的性质可知，OA′＝OA＝2，∠OA′D＝90°． ∴A′D＝1．
设点P（x，2），PA′＝x，PC＝2﹣x，CD＝1． ∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12． 解得x＝． 所以P（，2），
∴OP所在直线的表达式是y＝3x． （3）存在．若△DPQ的周长为最小，
14
即是要PQ+DQ为最小．
∵点D关于x轴的对称点是D′（2，﹣1）， ∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线PD′的函数表达式为y＝﹣x+． 当y＝0时，x＝∴点Q（
．
，0）．
11．【基础模型】
已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作
AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于 E．
（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：△ACD≌△CBE 【模型应用】
在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点 B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．
（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为 （﹣6，﹣2） ． （3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接
CD交y轴于点E，则EB的长度为 2 ．
（4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k）
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解：【基础模型】： ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠ECB＝90°， ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵CA＝CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠ECB＝90°， ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵CA＝CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
【模型应用】：
（2）如图1，过点C作CE⊥y轴于4， ∵直线l：y＝kx﹣4k经过点（2，﹣3）， ∴2k﹣4k＝﹣3，
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∴k＝，
∴直线l的解析式为y＝x﹣6， 令x＝0，则y＝﹣6， ∴B（0，﹣6）， ∴OB＝6，
令y＝0，则0＝x﹣6， ∴x＝4， ∴A（4，0）， ∴OA＝4，
同（1）的方法得，△OAB≌△EBC（AAS）， ∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝4， ∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2， ∵点C在第三象限， ∴C（﹣6，﹣2）， 故答案为（﹣6，﹣2）；
（3）如图2，
针对于直线l：y＝kx﹣4k， 令x＝0，则y＝﹣4k， ∴B（0，﹣4k）， ∴OB＝4k，
令y＝0，则kx﹣4k＝0， ∴x＝4， ∴A（4，0）， ∴OA＝4，
过点C作CF⊥y轴于F，
同【基础模型】的方法得，△OAB≌△FBC（AAS）， ∴BF＝OA＝4，CF＝OB＝4k， ∴OF＝OB+BF＝4k+4，
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∵点C在第四象限， ∴C（4k，4k+4）， ∵B（0，﹣4k），
∵BD∥x轴，且D在y＝x上， ∴D（﹣4k，﹣4k）， ∴BD＝4k＝CF， ∵CF⊥y轴于F， ∴∠CFE＝90°， ∵BD∥x轴，
∴∠DBE＝90°＝∠CFE， ∵∠BED＝∠FEC， ∴△BED≌△FEC（AAS）， ∴BE＝EF＝BF＝2， 故答案为2；
（4）当点C在第四象限时，由（3）知，C（4k，4k+4）， ∵C（a，b）， ∴a＝4k，b＝4k+4， ∴b＝4k+4，
当点C在第三象限时，由（3）知，B（0，﹣4k），A（4，0）， ∴OB＝4k，OA＝4，
如图1，由（2）知，△OAB≌△FBC（AAS）， ∴CE＝OB＝4k，BE＝OA＝4， ∴OE＝OB﹣BE＝4k﹣4， ∴C（﹣4k，4k﹣4）， ∵C（a，b），
∴a＝﹣4k，b＝4k﹣4， ∴b＝﹣a﹣4，
即：b＝a+4或b＝﹣a﹣4．
18
12．目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如表：
甲型 乙型
进价（元/只）
25 45
售价（元/只）
30 60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）设商场购进甲种节能灯x只，求出商场销售完节能灯时总利润w与购进甲种节能灯
x之间的函数关系式；
（3）如何进货，商场销售完节能灯时恰好获利30%，此时利润为多少元？ 解：（1）设商场应购进甲型节能灯x只，则乙型节能灯为（1200﹣x）只． 根据题意得，25x+45（1200﹣x）＝46000， 解得 x＝400，
所以乙型节能灯为：1200﹣400＝800，
答：购进甲型节能灯400只，乙型节能灯800只时，进货款恰好为46000元；
19
（2）设商场应购进甲型节能灯x只，商场销售完这批节能灯可获利w元． 根据题意得，w＝（30﹣25）x+（60﹣45）（1200﹣x） ＝5x+18000﹣15x ＝﹣10x+18000
所以w＝﹣10x+18000；
（3）∵商场销售完节能灯时恰好获利30%， ∴﹣10x+18000＝[25x+45（1200﹣x）]×30%， ∴解得：x＝450．
购进乙型节能灯1200﹣x＝750（只）， ∵y＝﹣10x+18000，k＝﹣10＜0， ∴y随a的增大而减小， ∴a＝450时，y最大＝13500元．
∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元． 13．在同一直线上有甲乙两地，小明，小红同学分别从甲乙两地同时出发，相向而行，当他们相遇后小明立即以原速返回，且他先达到甲地，小红继续前行到甲地．在整个行进过程中，他们之间的距离y（m）与行进的时间x（min）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题．
（1）a＝ 20 ，小明速度为 60 m/min，小红速度为 40 m/min；
（2）求小明与小红从第一次相遇到小明到达甲地时，y与x之间的函数表达式； （3）他们第一次相遇后再过多长时间相距200m．
解：（1）小红速度为：2000÷50＝40（m/min），小明速度为：40×（50﹣20）÷20＝60（m/min），
a＝2000÷（60+40）＝20．
20
故答案为：20；60；40；
（2）当x＝40时，y＝2000﹣40×40＝400， ∴点C的坐标为（40，400），
设线段BC的函数表达式为y＝k1+b1，把B（20，0），C（40，400）代入， 得
，
解得，
∴小明与小红从第一次相遇到小明到达甲地时，y与x之间的函数表达式为：y＝﹣20x﹣400（20≤x≤40）；
（3）设线段CD的函数表达式为y＝k2+b2，把C（40，400），D（50，0）代入， 得
，
解得，
∴线段CD的函数表达式为：y＝﹣40x+2000（40＜x≤50）， 把y＝200代入y＝20x﹣400，得x＝30，30﹣20＝10； 把y＝200代入y＝﹣40x+2000，得x＝45，45﹣20＝25． 答：他们第一次相遇后再过10min或25min后相距200m．
14．如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2
＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3． （1）求b的值；
（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当
PQ＝OC时，求点P的坐标．
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解：（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x， 可得C（﹣3，4）， 再将C点代入y1＝x+b， ∴b＝7；
（2）﹣7＜x＜﹣3；
（3）∵点P为直线y2＝﹣x上一动点， 设P（a，﹣a）， ∵PQ∥x轴，
∴Q（﹣a﹣7，﹣a）， ∴PQ＝|a+7|， ∵C（﹣3， 4）， ∴OC＝5， ∴PQ＝
OC＝14，
∴|a+7|＝14， ∴a＝3或a＝﹣9，
∴P（3，﹣4）或P（﹣9，12）．
15．已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．
22
（1）写出一点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；
（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．
解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8）， ∴OA＝6，OB＝8， ∵∠AOB＝90°， ∴AB＝10，
∵B与B'关于直线AC对称， ∴AC垂直平分BB'， ∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10， ∴B'（﹣4，0）， 设点C（0，m）， ∴OC＝m， ∴CB'＝CB＝8﹣m，
∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°， ∴m2+16＝（8﹣m）2，
23
∴m＝3， ∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，b＝3， ∴y＝﹣x+3；
（2）∵AC垂直平分BB'， ∴DB＝DB'，
∵△BDB'是等腰直角三角形， ∴∠BDB'＝90°，
过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴， ∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，
∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°， ∴∠EDF＝90°， ∴∠EDF＝∠BDB'， ∴∠BDF＝∠EDB'， ∴△FDB≌△EDB'（AAS）， ∴DF＝DE，
设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中， ∴a＝2， ∴D（2，2）；
（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE， ∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE＝90°， ∴△PDF≌△QDE（AAS）， ∴PF＝QE， ①当DQ＝DA时， ∵DE⊥x轴， ∴QE＝AE＝4， ∴PF＝QE＝4， ∴BP＝BF﹣PF＝2，
24
∴点P运动时间为1秒； ②当AQ＝AD时， ∵A（6，0）、D（2，2）， ∴AD＝2∴AQ＝2
， ﹣4，
﹣4，
， 秒；
∴PF＝QE＝2
∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2∴点P的运动时间为5﹣③当QD＝QA时， 设QE＝n， 则QD＝QA＝4﹣n，
在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°， ∴4+n2＝（4﹣n）2， ∴n＝1.5， ∴PF＝QE＝1.5， ∴BP＝BF+PF＝7.5， ∴点P的运动时间为7.5秒；
综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣
秒或7.5秒．
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