２８ 中学数学研究 ２０１８年第３期（上） 巧用“切线法”求解函数不等式 广东省佛山市罗定邦中学（５２８３００） 龙宇 在不等式的相关问题中，‘切线法”是一个基本方法．其 思想本质是利用直线（即切线）将原来的复杂变量变为一次 ａ＋１＝ｅ ，ｂ＝（１一ｘｏ）ｅ ．（ａ＋１）ｂ＝ｅ 。（１一 ｏ），令 Ｆ（ ）＝ｅ２ｘ（１一ｚ），Ｆ （ ）＝ｅ２＝（１—２ ）．显然可知Ｆ（ｘ） 的式子． 一、“切线法”的基本运用 使用“切线法”的基本原则：对于涉及到的函数的图像 要具有“凹凸性”．在函数的定义域内，函数的“凹凸性”要保 持一致． 例１证明对数平均数与算术平均数间的关系： ａ Ｊ－ｂ ＜ ａ—ｂ （、 ｏ＜ ＜６）． 分析该不等式的证明方法很多，这里应用“切线法”来 证明： ａ——＜—＋ｂ ＜ 丁铮—铮等 ＜ ＜ｌ 。ＩｈＩｌ。一ｌｌｌ ＝ａ６ １出 ｄ 证明如图１，构造函数 Ｙ： ，在区间【６＇ｎ】上积 分厂。儿 如：ｌｎｎ—Ｉｎｂ等 于曲边梯形ＢｂａＡ的面积 Ｓ，过 ，Ｂ的中点点 处做 ＝ 的切线分别交Ｂ６，Ａａ 图１ 于点Ｂ１，Ａ１．梯形Ｂ１ｂａＡ１ 的面积ｓ－＝（ｎ－６）·里 根据中位线的性质 ＝ 所以ｓ ＝ ．由于 ＝ １“向 ，下凸”，所以该切线完全在曲线的下方，所以Ｓ１＜ 该不等 式成立． 例２（２０１２年全国新课标卷２１题）已知函数ｙ（ｘ）满足 ／（ｘ）＝， （１）ｅ 一 一ｆ（ｏ）ｘ＋ 。．若，（ ）≥ １ 。＋ａｘ＋ｂ， 求ｆａ＋１）ｂ的最大值． 分析利用函数表达式的结构易得， ）＝ｅ 一 ＋去 。． 关于该问题的资料均利用分类讨论的方法求解，本文尝试一 下“切线法”：ｙ（ｘ）≥去 ＋ａｘ＋ｂ ｅ ≥（ｎ＋ｘ）ｘ＋ｂ． 将不等式的两边视为两个独立的函数，令ｇ（ｘ）：ｅ ， ｈ（ｘ）＝（ａ＋１） ＋ｂ．其中ｇ（ｘ）单调递增且“向下凸”，若要 满足ｇ（ｘ）≥ （ ）．则有ｈ（ｘ）为ｇ（ｘ）的切线． 解设９（ ）上的任意一点Ｍ（ｘｏ，ｅＸｏ），过点Ｍ做ｇ（ ） 的切线为：Ｙ＝ｅ ｏｘ＋（１一ｘｏ）ｅ ．对比函数ｈ（ｘ）可得： 在（Ｆ ）在 ＝ １处取到最大值一ｏ。， １）上单调递增，在［ １，＋。。）上单调递减．所以 ．所以Ｆ（ ）＜Ｆ（ ）＝ １ｅ， （ｎ＋１）６的最大值为 ｅ，对应的。＝ 一１，６＝ ． 二、创造“切线” 某些函数并不存在一次式，我们可以通过等价变形获得 “切线”． 例３设函数／（ｘ）＝ｅ 一１一 一ａｘ。，若当 ≥０时， ，（ ）≥０，求实数。的取值范围· 分析／（ｘ）≥０ ｅ 一１：ａｘ。＋ ．显然当 ＝０时， 该式恒成立．当 ＞０时，原式三—— ≥ａｘ＋１．设新函数 ， 一１ Ｆ（一 ｌ ）：｛— 一， ＞０．构造原理：ｌｉｍ ：１． １， ：０ 设函数ｈ（ｘ）＝ａｘ＋１．易知函数＾（ ）恒过定点（０，１）．通过 一阶导可知Ｆ（ｘ）单调递增，通过二阶求导可知Ｆ（ ）的图像 是“向下凸”的．为满足Ｆ（ｘ）≥九（ ），ｈ（ｘ）的斜率的极限状 态为Ｆ（ｘ１在 ＝０处的导数． 解设新函数 ） ： ， 。，求 【１， ＝０ 导可得：Ｆ，（ ）： ， ＞。．因为 ｌ ， ＝０ ｘ－ｌｉ－ｍ ｛ －＋Ｏ ＝ｌｘ－ｉ＇￣Ｏ ２ｘｍ—ｅｘｘ＝ ２（罗必塔法则）．令 Ｇ（ｘ）＝ｅ （ 一１）＋１，求导可得：Ｇ ）＝ ．可知 ｏ（ｘ）在［０，＋ｏ。）上单调递增，且有ｏ（ｘ）≥ａ（Ｏ）＝０．所 以Ｆ （∞）≥去，即Ｆ（ｚ）在【０，＋ｏｏ）上单调递增．所以当 ａ∈（一。。，０】时，结论成立． 当。∈（ｏ， １时，原命题等价于 ｅ＝－１≥ ＋１≥ 。 ＋１．（注： １是利用切线斜率求得的）等价于证明： ｅ 一１一 一 。≥０．令Ｈ（ｘ）＝ｅ。一１一 一 ． Ｈ ｘ）＝ｅ 一１一 ，Ｈ” ）＝ｅ 一１．可知在【０，＋。。）上， Ｈ ｘ）≥０，所以Ｈ （ ）≥Ｈ （０）＝０，所以Ｈ（ｘ）在［０，＋∞） 上单调递增，所以Ｈ（ｘ）≥Ｈ（Ｏ）＝０．原不等式成立． 当。∈（ ，＋。。）时，利用Ｆ ）的“凹凸性”可直 ２０１８年第３期（上） 中学数学研究 ２９ 接排除．而高中的数学并没有“凹凸性”相关知识，接 下来本文利用导数的相关知识进行排除．对原函数 过ｚ＝ 做函数，（ ）的切线，将该切线的横截距赋给 再 ｆ（ｘ）＝ｅ 一１一 一０ ，求导可得：， ）：ｅ 一１—２ａｚ， ，”（ ）＝ｅ。一２ａ．当 ∈（０，ｌｎ２０）时，， （ ）≤， （０）＝０．所 以ｙ（ｘ）在（０，ｌｎ２ａ）上单调递减，所以ｙ（ｘ）≤ｙ（ｏ）＝０．综 ，（ｚ）的零点．即通过该流程可无限的逼近三次方程近似解． 因为函数ｆ（ｘ）在（２，＋。ｏ）上是“向下凸”的，所以一开始令 上可知，口∈ｌ一。。，去Ｉ． 例３变式设函数ｆ（ｘ）一 （ｅ 一１）一０ 。，若当 ≥０ 时，（ｚ）≥０，求实数０的取值范围． 简要解答当 ＝０时，， ）一０．当 ＞０时， 三、切线的升华：“支撑线”． ，（ ）≥０甘ｅ。一ｌ≥０ ．通过对不等式左边函数的分 析，仿照例３可得０的取值范围（一∞，１１． 例４设函数．ｒ（ ）＝ 。一２ｘ。一４ｚ一７．设 ｏ是函数 ＝，（ ）的零点，实数 ， 满足，（ ）＞０， ＝。一 ． 试探究实数０， ， ０的大小关系． 分析三个数中， 的值最难确定．但在 的表达式中出 现了， ）与， ）．容易联想到 ＝ｙ（ｘ）在 ＝Ｑ处的切 线： ＝， （ａ）（ — ）＋．厂（Ｑ）．显然 为该切线的横截距．本 题的考察的内容依然是“切线法”． 解， （ ）：３ｚ。一４ｚ一４＝３（ ＋言）（ 一２）．易 得：函数ｆ（ｘ）在（一。。，一 ２）上单调递增，在（一；，２） 上单调递减，在（２，＋。。）上单调递增．且有，（一 ）一 一 一 ＋；一７＜０．所以函数，（ ）有唯一的零点 。，利 用零点存在定理易知Ｘ０∈（３，４）．根据题意，（ ）＞０，可知 ＞ ０＞２，所以， （ ）＞０． 设函数在 ＝ 处的切线为： ＝， （ ）（ — ）＋，（ ）． 如果利用函数ｆ（ｘ）在（２，＋。。）上的“凹凸性”可直接得结论 ＞ ＞ＸＯ＞２．因为，”（ ）＝６ｚ一４，当 ∈（２，＋。。）时， ， （ ）＞８，函数，（ｚ）在（２，＋。。）上是“向下凸”的． 回避“凹凸性”，利用该切线方程求解：分别将实 数 ， ， ０代入切线方程： ： ＝，（Ｑ）， ：口＝０， ： 。＝， （ ）（ｚ０一Ｑ）＋，（Ｑ）＜，（ ０）＜０．最后一个 表达式是因为该切线在函数， ）的“下方”．设函数Ｆ（ｚ）＝ ，（ ）一， （ ）（ — ）一，（ ），求导可得：Ｆ （ ）＝， （ｚ）一， （ ）． 当 ∈（２，ａ）时，Ｆ （ ）＜０，当 ∈（ ，＋。ｏ）时，Ｆ ）＞０． 所以Ｆ（ｘ）在 ＝ 处取到最小值，所以Ｆ（ ）≥Ｆ（ ）＝０． 所以上面的三个表达式成立．又因为该切线单调递增，所以 Ｑ＞口＞ＸＯ． 后面的解答过程本质上还是利用了函数的“凹凸性”．该 例５（２０１５年山东２１题）设函数，（ ）＝ｌｎ（ ＋１）十 ａ（ｘ。一 、． （１）略；（２）若Ｖｚ＞０，ｆ（ｘ）≥０成立，求０的取值范围． 函数或分离参数．本文先尝试运用“切线法”． （ ）≥０铸 ｌｎ（ｚ＋１）≥～０（ 一 ），且有 ＞０，所以不等式的两边同除 以 变形为 蔓 ≥一０（ｚ一１）．设函数 ）： ， 。 【ｌ， ＝０ （其中 ＝０的值是通过极限求得的．）设ｃ（ｘ）＝一ａ（ｘ一１）， 直线ｃ（ｘ）过定点（１，０），斜率未知．对Ｆ（ ）求导可得： ｛ ’ 试一试“支撑线”．易知Ｆ （ｚ）∈ｌ一 ，ｏ）．与正确答案有“冲突”．接下来，本文 解根据上面的分析， Ｖ 画出Ｆ（ ）的图像，如图 ２．点Ｂ的坐标为（０，１）． ＼ 、 设Ｆ（ ）在该点的切线为 ｚ．Ｆ（ｘ）在该点的导数为 ０ 、 、． ～ ，所以ｆ： ＝～ ｚ＋１． 由 图２ 因为Ｆ（ ）在【０，＋。。）上 是“向下凸”的，所以Ｆ（ｘ）在直线ｚ的上方，证明过程可 参考上面的例题．对于函数Ｇ（ ），过定点Ａ（１，０），为保证 Ｆ（ｚ）≥Ｇ（２），所以函数Ｃ（ｘ）与Ｆ（ｘ）至多只有一个交点Ｂ． ３０ 中学数学研究 ２０１８年第３期（上） 高中教材中的函数与曲线的旋转变换 ，●●Ｊ‘－【 广东省华南师范大学附属中学（５１０６３０） 罗碎海 现 ＝ Ｉ ｌ高中学生在学习函数的奇偶性与反函数时知道了函 数图象的对称变换（点对称与线对称），在学习三角函数 （１）旋转变换定义：在平面内，一个图形绕着一个定点旋 转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转．这个定点叫 做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，如果一个图形上的点 Ｙ＝Ａ ｓｉｎ（ｗｘ＋ ）的图象时知道了函数图象的平移变换与 伸缩变换，由此解决了解析几何中曲线的对称、平移、伸缩变 换等问题．有人提出课本为什么没有旋转变换，知识很不系 刚 玑 一＋ Ａ经过旋转变为点 ，那么这两个点叫做旋转的对应点． 旋转中心、旋转方向、旋转角度为旋转的三要素． （２）旋转变换性质 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定 点旋转固定角度的位置移动，有以下性质： ∞ 统．其实旋转变换在课本习题中出现过，而且高中课本中渗 透了三种思路方法处理旋转问题，师生必须重视这个知识点． １．课本第一次出现旋转变换 高中数学必修４是通过习题借助向量的旋转给出了坐 标旋转变换的公式，它为我们处理曲线旋转问题提供了思路 （向量法）与公式． ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形 ④旋转中心是唯一不动的点． ⑤对应边所在直线所构成的角为旋转角度． ３．用旋转变换化简圆锥曲线方程 例１分析解答（１）由已知可得 ＝（ ，一２ ），将点 例１（原题再现：必修４．Ｐ１ １３．Ｓ３）已知对任意平面向量 状没有改变． Ａ百＝（Ｘ， ），把Ａ西绕其起点沿逆时针方向旋转０角得到向 量Ａ户＝（ｚ ＣＯＳ０一Ｙ ｓｉｎ０， ｓｉｎ０＋ＹＣＯＳ ），叫做把点Ｂ绕 点Ａ逆时针方向旋转 角得到点Ｐ． （１）已知平面内点Ａ（１，２），点Ｂ（１＋４７，２—２４７）．把点 口绕点Ａ沿逆时针旋转 后得到点Ｐ，求点Ｐ的坐标； Ｂ（１＋ ，２—２ ），绕点Ａ逆时针旋转 ７１－，得 ＝（２）设平面曲线 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向 旋转 后得到的点的轨迹是曲线 一Ｙ。：３，求原来曲线 的方程．由题目已知可知旋转变换及公式为：对任意平面 向量 百＝（ ，Ｙ１），把 百绕其起点Ａ沿逆时针方向旋转 ０角得到向量ＡＣ，则 （ ｃ。ｓ ＋２ ｓｉｎ ７／＂， ｓｉｎ ７１＂一２ ｃ。ｓ ） （３，－１）． ＝因为Ａ（１，２）， 户＝Ｏ－ｉ一０ ，所以Ｐ（ｆ４，１）． （２）设平面上曲线 上的点Ｐ（ ， ），则其绕原点沿逆时 Ａ ＝（Ｘ２，ｙ２）＝ ＣＯＳ（ａ＋ ），ｒ ｓｉｎ（ａ＋ ））， 即 针方向旋转 后得到 （ （ ）， （ｍ））．因 为点尸 在曲线 。一Ｙ。＝３上，代入，即 ［ ｃ…，ｒ一［ ｃ咖， ３， ２．旋转变换 整理得ｘｙ＝一 ． 此时 Ｂ＝一１，因为 Ｂ＜一 ，所以Ｇ（ｚ）在【０，＋。。） 与Ｆ ）的交点一定不是Ｂ．上位于直线１的下方，所以Ｇ（ ）在Ｆ（ ）的下方．即有 反思本文旨在说明“切线法”或“支撑线”的运用原理 Ｆ（ ）≥Ｇ（ ）是成立的．此时的ａ：１，显然可知当ａ∈［０，１］ 及使用范围．所以解答过程相对复杂．若直接运用该技巧，特 时，ａ（ｘ）与Ｆ（ ）至多只有一个交点Ｂ．而当ａ ０，１］，Ｇ（ ） 别在选择或填空题型中，该方法可极大的节省计算时间．