流体有限元-抛物型方程

§6非定常流的有限元方法

考虑一个 2m 阶的抛物型微分方程定解问题（初边值问题）： 求 ux,C2mut ，u,tC10,T ，满足

AuB1uB2uut0f , t0 g2 , t , t00

（6.1）

120式中 A 仍是一个 2m 阶椭圆型空间微分算子。根据 §3中的分析，只需考虑齐次强制边界条件。

我们还是像 §3那样，将它改写成积分形式（变分方程）。首先，任取函数 vC0 ，用它乘以方程的两边，并在 上积分，得

uvdtAuvdfvd

上式除了左边第一项之外，其余两项仍可以按照 §3中的步骤改写成某个Sobolev空间 V 上的变分方程

Bu,vFv ， vV

原有的第一项，可将时间导数写到空间积分外面，即

uvdtt1 / 13

uvd

并推广到可积函数空间（广义的，指Lebesgue可积）L20,T 上。

还有，定解条件中的初始条件也要写成积分形式

ut0vdvd

这些加在一起，就得到非定常问题的变分方程：

求 uU ，满足

tu,vBu,vu,vFv ，

vV （6.2）

t0v这里，空间

U ux,t ux,V , u,tL20,T

内积 u,v 表示积分 uvd ，Bu,v 和 Fv 仍是空间 V

vvd。

上的双线性泛函和线性泛函，初值泛函

例：热传导方程初边值问题

TtTT即

t0T , t0 t00

0x 2 / 13

TtTT其变分方程为： 求 TT0 , t0 t00

t00x Tx,t ，Tx,T,v1H0 ，T,tL20,T ，满足

tBT,vT,v0 ，

v1H0

t0v方程中

T,v

Tvd ，BT,vTvd ，vT0vd

半离散化有限元近似

半离散化就是只对空间区域

进行离散化（有限元剖分），时

间自变量不进行离散。下面按照古典变分方法的框架来介绍半离散化方法。

在空间 V 中选取一组线性无关的元素 1 ，2 ， ，N 作为基函数，用它们张成一个有限维（N维）子空间

Vhspan1,2,,N

这个子空间中的元素都可以（用它的整体自由度）写成

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vhv11v22vNNNi1viiVh

而现在的有限元近似 uh 和精确解 u 一样，还是时间自变量 t 的函数，所以它应该表示成

uhu1t1u2t2uNtNNi1uiti

。 ,N）

式中的整体自由度 uit

L20,T ，（i1,2,记子空间

NUh uh uhi1uiti , uitUh ，满足

L20,T

则有限元近似变分方程为：求 uhtuh,vhBuh,vhuht0Fvh ，

vhVh （6.3）

,vhvh这就是非定常问题变分方程（6.2）的半离散化Galerkin近似。

将 uh、vh 和

NNh 的表达式代入上述变分方程，得

NNNi1j1vidujdtj,iNi1j1NviujBj,ii1NviFi

i1j1viuj0j,ii1vii

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定义总刚矩阵

B1,1B2,1BB1,2B2,2B1,NB2,N

质量矩阵

1,12,1M1,22,21,N2,N

和向量

u1tuutu2t uNt

F1FF2 ，

FN

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BN,1BN,2

BN,NN,1N,2

N,Nv1

vv2

vN12

N，则上述方程组可写成

duvMdtTvTBuvTF

vTMu0由于 vhvTVh 是任意的，所以向量 vRN 也是任意的，从而

导出了常微分方程初值问题

duMdtBuF

Mu0或写成

dudtM1Buu0M1F

（6.4）

M1

半离散化处理，时间自变量没有进行离散。但是到了这里，为了求解常微分方程初值问题（6.4），需要使用像Runge-Kutta方法这类的数值算法。这个时候，时间自变量还是要离散化的。

全离散化有限元近似

全离散化，就是在空间离散化的同时也对时间自变量进行离散。为此，取时间步长

nuht ，令 tn（nnt ，0,1,2,3,），并记

uhtnVh ，向量 unutn 。这样一来，初值问题（6.3）

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和（6.4）中的时间导数就可以像差分法中一样，用差分进行近似

duhdt

nuh1nuhtdu ，

dtun1unt

换句话说，全离散化就是空间区域用有限元近似，时间用差分近似。

变分方程 ：

对 n0,1,2,3,nuh1nuhn ，已知 uhnVh ，求 uh1Vh ，满足

Fvh

0uh,vht,vhn1Buh,vh1nBuh,vhvh

（6.5）

vhVh

这就是非定常问题变分方程（6.2）的全离散化Galerkin近似。其中，参数 0

1 。相应的矩阵形式为

un1untM1Bun11M1Bunu0M1F （6.6）

M1

当

nuh10 时，（6.5）式和（6.6）式成为

nuht,vhnBuh,vhFvh ，

vhVh （6.7）

0uh,vhvh7 / 13

un1untM1BunM1F

u0M1从中可直接解出 un1

u0M1un1untM1FBun 因而称作显式格式。

0 称为隐式格式。其中最常用的是

➢ 完全隐式格式（1）：

变分方程

un1hunht,vBun1hh,vhFvh ，

vhVh u0h,vhvh矩阵形式

un1un1tM1BunM1F

u0M1即

u0M1un1tM1Bun1untM1F 8 / 13

（6.8）

（6.9）

6.10）

6.11）

6.12）

（（（➢ 平均隐式格式（变分方程

nuh1nuh1）： 2

t,vh1n1Buh,vh21nBuh,vh20uh,vhFvh

vhVh

（6.13）

vh矩阵形式

un1unt1M1Bun211M1Bun2u0M1F

（6.14）

M1u0un1Mun112tMBu1n1tM1F1nBu2 （6.15）

实际计算中并非将逆矩阵 M来进行计算。

➢ 显式格式：

1 计算出来，而是通过求解方程组

Mu0Mun1MuntFBun （6.16）

此时，显式格式已经失去了不用求解代数方程组的优势。

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➢ 完全隐式格式：

Mu0MtBun1MuntF （6.17）

➢ 平均隐式格式：

Mu0M

12tBun1M12 （6.18）

tBuntF另一种处理方法是用一个易于求逆的矩阵（如对角矩阵）M 代替质量矩阵 M 进行计算，这种方法在文献中称作质量集中法。

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误差估计

1）半离散化有限元近似

设单元的代数精度为 k ，整体光滑度为 m ，整个剖分中，单元的最大尺度为 h 。子空间 Vh又设 uVHm 。

U 是变分方程（6.2）的解，并且

ux,而 uh则

HmHk1 ， u,tH10,T

Uh 是其半离散化Galerkin近似，即（6.3）的解。

t0 ，有 utuht2 ddudtChk1etk1uttk10etdk1

Chk1k1uttk10dudtdk1utuht2d2

Chk

kuttk10duddtk11 / 13

2）全离散化有限元近似 - 完全隐式格式

设单元的代数精度为 k ，整体光滑度为 m，整个剖分中，单元的最大尺度为 h 。子空间 Vh又设 uVHm 。

U 是变分方程（6.2）的解，并且

ux,n而 uhHmHk1 ， u,tH20,T

，即（6.10）Vh 是其全离散化Galerkin近似（完全隐式格式）

的解。

则对 n1,2,3,utn ，有

unh2dtnk10Chk1k1utndudtdk1

ttn0dud2dt22d12 / 13

3）全离散化有限元近似 - 平均隐式格式

设单元的代数精度为 k ，整体光滑度为 m，整个剖分中，单元的最大尺度为 h 。子空间 Vh方程（6.2）的解，并且

VHm 。 uV 是变分

ux,n而 uhHmHk1 ， u,tH20,T

，即（6.13）Vh 是其全离散化Galerkin近似（平均隐式格式）

的解。

则对 nn1,2,3,unh2 ，有

utdtnk10Chk1k1utndudtdk1

Ct2t0ndud3dt32dt0ndudt222dd

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