第三章 导数及其应用 第二讲导数的应用

[知识梳理]

［知识盘点］ 1．函数的单调性

函数f(x)在某个区间(a,b)内，若f(x)0，则f(x)为 ；若f(x)0，则

f(x)为 ；若f(x)0，则f(x)为 。

2．如果一个函数在某个区间内的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化 ，这时函数的图象就越“ ”。 3．（1）函数极值的概念

函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都

小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则点xa叫做函数yf(x)的 ，f(a)叫做函数yf(x)的 .

函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其它点的函数值都

大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点xb叫做函数yf(x)的 ，f(b)叫做函数yf(x)的 .

极小值点与极大值点统称为 ，极小值与极大值统称为 . （2）求函数极值的步骤：

① ；② ；③ 。 4．函数的最大值与最小值

在闭区间[a,b]上连续，(a,b)内可导，f(x)在闭区间[a,b]上求最大值与最小值的步骤是： （1） ；（2） 。 ［特别提醒］

导数的应用不要包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究曲线的切线问题;(4)利用导数研究不等式的证明问题;(5)利用导数研究函数的零点;(6)利用导数求参数的取值范围等.

在复习的过程中,应注意总结规律,一般来说,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具有明显的特征,例如:三次函数等高次函数,非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解决.再如：①f(x)在某个区间内可导，若f′(x)＞0,则f(x)是增函数；若f′(x)＜0,则f(x)是减函数.②求函数的极值点应先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符

号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.③可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得等等。

另外,在复习过程中,要注意等价转化,分类讨论,数形结合等数学思想方法的训练,在解决导数的综合应用题中,这些思想方法始终贯穿于其中,是正确解决问题的关键.

[基础闯关]

1．关于x的函数f(x)x33x23xa的极值点的个数有 （ ）

A．2个 B．1个 C．0个 D．由a确定

2．设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为（ ） A．单调递增B、有增有减 C、单调递减 D、不确定 3．f'(x0)=0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D）非充分非必要条件 4．（2006年天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点

y yf(x)b aO x（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

5．若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是_________

6．设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，

ab= .

[典例精析]

例1．若函数f(x)lnx12ax2x存在单调递减区间,求实数a的取值范围.

2［剖析］函数f(x)存大单调区间,就是不等式f(x)0有实数解,考虑到函数的定义域为

(0,),所以本题就是要求f(x)0在(0,)上有实数解.

［解］f(x)1xax2ax2x1x2.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以

2f(x)0有解.又因为函数的定义域为(0,),则ax2x10应有x0的解.

22(1)当a0时,yax2x1为开口向上的抛物线,ax2x10,总可以找到x0的解;

22(2)当a0时,yax2x1为开口向下的抛物线,要使ax2x10总有大于0的解,则

44a0且方程ax22x10至少有一个正根,此时1a0.

(3)当a0时,显然符合题意.

综上所述,实数a的取值范围是(1,).

［警示］一般地涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题,往往可以借助于导数这一工具进行求解.函数的定义域内存在单调区间,就是不等式f(x)0或f(x)0在其定义域内有解,这样就将问题转化为了求解不等式的问题.本题在解答时,很容易忽视函数定义域这一限制条件,即在解答时,只是要求不等式f(x)0有解,而不是在(0,)内有解,从而导致错误.在研究函数的有关性质时,一定要注意优先考虑定义域. ［变式训练］：

1. (1)已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)．若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．

(2) (2005年重庆卷)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.若f(x)在(,0)上为增函数，求a的取值范围。

例2．(2005年北京卷) 已知函数f(x)x33x29xm.g(x)x33a2x2a 若f(x)在区间[－2，2].上的最大值为20. (1)求实数m的值;

(2)是否存在实数a1,使得对于x1[2,2],总存在x0[0,1],都有g(x0)f(x1)成立?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.

［剖析］对于第(2)小题,可先由(1)求出函数f(x)在[－2，2].上的值域,则问题就转化为:是否存在实数a1,使f(x)在[－2，2].上的值域是函数g(x)在区间[0,1]上的值域的子集,这样利用导数分别求出这两个函数的值域,建立关于a的不等式组即可求解.

2［解］（1）f'(x)3x6x9.令f'(x)0,解得x1或x3,

所以函数f(x)的单调递减区间为(,1),(3,).递增区间是(1,3). 又因为f(2)81218m2m,f(2)81218m22m 所以f(2)f(2).

因为在(1,3)上f'(x)0,所以f(x)在[1,2]单调递增,

又由于f(x)在[2,1]上单调递减,因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间[2,2]上的最大值和最小值.于是有22m20,解得m2.

(2)由(1)知f(x)x33x29x2.因此f(1)13927. 即函数f(x)在区间[2,2]上的值域为[7,20].

22g(x)3x3a,由于a1,所以当x[0,1]时,g(x)0,因此当x[0,1]时,g(x)为减函

数,从而当x[0,1]时,g(x)[g(1),g(0)].

又因为g(1)12a3a2,g(0)2a,即当x[0,1]时g(x)[12a3a2,2a] 若对于x1[2,,2总]存在x0[0,1],都有g(x0)f(x1),则应有

12a3a27,解得:a10 [7,20][12a3a,2a],即2a202但由于a1,故不存在这样的实数a.

［警示］本题属于探索性的题目,其一般的解法思路是先假设符合条件的参数存在,然后综合考虑题目的各个条件,若各个条件之间不矛盾,则参数存在,若条件之间存在矛盾,则参数不存在.如本题的第(2)问,要特别注意a的取值范围首先应满足前提条件a1,如果忽视这一条件,将得出错误的结论. ［变式训练］

2. （2006年湖北卷）设x3是函数fxx2axbe3xxR的一个极值点. （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求fx的单调区间； （Ⅱ）设a0，gxa225xe.若存在1,20,4使得f1g21成立，4求a的取值范围.

例3．将函数ylnx2的图象按向量a(1,2)平移得到函数yf(x)的图象,求证:当

x0时,f(x)2xx2.

［剖析］先求出函数yf(x)的解析式,然后构造函数借助函数的单调性证明不等式. ［解］将函数ylnx2的图象按向量a(1,2)平移得到函数yf(x)ln(x1).

2xx2令g(x)f(x),则g(x)1x12(x2)2x(x2)2x22(x1)(x2),

因为x0,所以g(x)0,即函数g(x)在区间(0,上是单调增函数,于是有)g(x)g(0)0,即f(x)2xx20,因此有当x0时,f(x)2xx2.

［警示］利用导数证明不等式也是导数应用的一个重要方面,这类问题一般需要根据欲证的不等式构造一个新函数,然后通过考查这个新函数的单调性,结合给定区间和函数在区间端点的函数值进行证明. ［变式训练］

3. 求证:在区间(1,)上,函数f(x)

例4．设a为实数,函数f(x)x33xa (1)求f(x)的极值;

(2)当a为何值时,函数yf(x)恰好有两个零点?

［剖析］函数yf(x)的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标.由此可以通过分析函数的单调性和函数的图象特征进行求解.

［解］(1)令f(x)3x230，得x11,x21.又因为x(,1)时，f(x)0； x(1,1)时，f(x)0；x(1,)，f(x)0，所以f(x)的极小值为f(1)a2；

f(x)的极大值为f(1)a2.

12xlnx的图象总在函数g(x)223x的下方.

3(2)因为f(x)在x(,1)上单调递减，且当x时，f(x)；又f(x)在

x(1,)上单调递减，且当x时，f(x)；而a2a2，即函数的极大

值大于极小值，所以当极大值大于或等于零时，有极小值小于或等于0，此时曲线yf(x)与x轴恰好有两个交点，即函数yf(x)恰好有两个零点，所以a20,a2；当极小值等于0时有极大值大于0，此时曲线与曲线yf(x)与x轴也恰好有两个交点，即函数

yf(x)恰好有两个零点，所以a20,a2。

综上所述知，当a2时，函数yf(x)恰好有两个零点。

［警示］研究函数的零点的问题可以转化为研究相应函数图象问题.一般地,函数yf(x)的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标.方程f(x)g(x)0的根就是函数f(x)与

g(x)图象的交点的横坐标.

［变式训练］

4．已知函数f(x)lnx,g(x)x (1)若x1，求证：f(x)2g((2)是否存在实数k，使得方程

12x1x1)；

2g(x)f(1x)k有四个不同的实数根？若存在，求出

2实数k的取值范围；若不存在，说明理由。

例5．(2007山东省样题)已知函数fxlnx,gx12axbx,a0

2（Ⅰ）若b2，且hxfxgx存在单调递减区间，求a的取值范围；

（Ⅱ）设函数fx的图象C1与函数gx图象C1交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. ［剖析］利用导数的几何意义，函数在某一点处的导数值，就是函数图象在该点处的切线的斜率，求得切线的斜率后，再通过比较其在C1在点M处的切线与C2在点N处的切线的斜率不相等，来证明该题。 ［解］（I）b2时,h(x)lnx12ax2x，则h(x)21xax2ax22x1x.

因为函数hx存在单调递减区间，所以h(x)0有解. 又因为x0时，则ax22x10有x0的解.

①当a0时，yax22x1为开口向上的抛物线，ax22x10总有x0的解；

22②当a0时，yax2x1为开口向下的抛物线，而ax2x10总有x0的解；

2则44a0,且方程ax2x10至少有一正根.此时，1a0

综上所述，a的取值范围为1,00,.

（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是Px1,y1，Qx2,y2，0x1x2， 则点M、N的横坐标为xx1x22, 在C1点M处的切线斜率为k11x|xx1x222x1x2,

在C2点N处的切线斜率为k2axb|xx1x22a(x1x2)2b

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1k2， 即

2x1x2a(x1x2)2a22b，则

2(x2x1)x1x2(x2x1)b(x2x1)2a2(x2bx2)(2a2x1bx1)=y2y1lnx2lnx1

2所以lnx2x12(x2x11)x2x1 设tx2x1则lnt2(t1)1t,t1 ①

1令r(t)lnt2(t1)1t,t1，则r(t)1t4(1t)2(t1)22t(t1),

因为t1时，r(t)0，所以r(t)在[1,)上单调递增. 故r(t)r(1)0. 则lnt2(t1)1t. 这与①矛盾，假设不成立.

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 证法二：同证法一得(x2x1)(lnx2lnx1)2(x2x1) 因为x10，所以(x2x11)lnx2x12(x2x11)，令t1tx2x1，得(t1)lnt2(t1),t1 ②

令r(t)(t1)lnt2(t1),t1,则r(t)lnt因为(lnt)t11t1t21 1t1tt1t2，所以t1时，(lnt)0，故lnt在1,上单调递

增.从而lnt1t10，即r(t)0，于是r(t)在1,上单调递增.

故r(t)r(1)0即(t1)lnt2(t1)这与②矛盾，假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

［警示］利用导数求曲线的切线问题，几乎是每年必考的内容，这类问题，即有可能出现在选择题与填空题中，也有可能出现在解答题中。在这类问题中，导数所担负的任务是求出其切线的斜率，综合考察导数在解决函数单调性，函数曲线的切线等问题中的作用． ［变式训练］

5．已知函数f(x)xax,g(x)x，方程f(x)0的一个根是6，

(1)若直线xt(0t2)与函数f(x)和g(x)的图象的交点分别为M,N，试求当t取何值时，线段MN的长度取得最大值；

(2)函数f(x)的图象在M点处的切线为l1，g(x)在N点处的切线为l2，若l1、l2与x轴的交点分别为P,Q，试求P,Q两点之间的距离的取值范围。

23例6．已知函数f(x)exx2，

(1)函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)图象在与y轴交点得的切线与两坐标轴所围成的图形的面积； (3)判断方程exk(x2)解的情况(kR).

［剖析］求函数的单调区间一般可以利用函数的导数来解决，即转化解不等式f(x)0和

f(x)0；不等式的解集即为函数的单调区间，但首先要研究函数的定义域；求曲线在某

一点的切线可以利用导数的几何意义；要研究方程根的个数问题，则可以通过函数图象与x轴交点的数来分析，要画出函数大致图象，应函数的单调性、函数的极值及函数经过的特殊点等多个方面来考查. ［解］(1)f(x)e(x2)e(x2)2xxe(x3)(x2)2x,因为函数的定义域为{x|x2},令f(x)0,

解得:x3;令f(x)0,解得x3且x2,所以函数的单调递增区间是(3,),单调递减区间是(,2)(2,3).

12(2)f(x)与y轴的交点设为M,则M(0,343412),由于f(x)e(x3)(x2)2x,切线的斜率为

kf(0).切线方程为

12xy23230.

y 令x0,得y,令y0,得x12x.

16所以所围三角形的面积为S12.

O 1 2 3 x (3)方程ek(x2)等价于

xex2k(x2),在平面直

角坐标系中画出函数f(x)的图象,如右图所示:

所以当ke时,方程有2个根;当ke时,方程有1个根;当0ke时,方程没有根;当

k0时,方程有1个根.

333［警示］在近年的高考试题中，导数越来越成为一个考查热点，由于导数本身具有强大的工具作用，导数的单调性、极值、最值的研究，曲线切线问题的解决，不等式的证明、恒成立问题以方程根的讨论等问题中都具有着重要的作。以导数为载体的综合题已经成为了高考命题的风向标。利用导数不仅能够判断函数的单调性,研究函数的极值与最值情况,而且还能在此基础上画出函数的大致图象,得到函数图象与x轴交点的或两个函数的交点的条件,从而为研究方程的根及函数的零点提供方便,所以在解决方程的根的问题中,要善于运用导数的方法进行求解. ［变式训练］

6．(2007年山东莱山一中)设f(x)是定义在R上的奇函数，且函数yf(x)与yg(x)的图象

关于直线x1对称，当x2时，g(x)a(x2)(x2)3(a为常数） （1）求f(x)的解析式；

（2）若f(x)对区间[1，)上的每个x值，恒有f(x)2a成立，求a的取值范围。

[能力提升]

1．( 2006年湖南卷）设函数f(x)xax1,集合M={x|f(x)0},P={x|f'(x)0},若MP,

则实数a的取值范围是 ( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)

2．函数y=2x-3x-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , －15 B.5 , 4 C. 5 ,－16 D. －4 ,－15

y 3．(2007年广东佛山)设f(x)是函数f(x)的导函数,yf(x)的图象如右图所示，则yf(x)的图象最有可能的是（ ）

y y y 2 3

2

y O 1 2 x O 1 2 A x O 1 2 B

x O 1 C x O 1 2 D 12x 4．(2007年山东泰安)已知a>0且a≠1, f（x）＝x2－ax，当x∈（－1,1）时，f（x）<立，则实数a的取值范围是( ) A．(0,2,

21恒成

B．,1(1,4) C．,11,2

4211D．0,4,

415．（2006年江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足(x1)f(x)0,则必有（ ） A． f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1） C. f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1） 6．若函数y=x3－

32x2－a在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是 .

1x7．（2006年湖南卷）曲线y面积是 .

和yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形

28．（2006年浙江卷）f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是

329．直线ya与函数f(x)x3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是 .

310．（2006年山东诸城一中）已知函数f(x)4）

x32x3ax1，动直线l的方向向量是（2，

3（1）若存在直线l与f(x)的图象相切，求a的取值范围； （2）若恰好有一条直线l与f(x)的图象相切，求直线l的方程；

（3）若动直线l与f(x)的图象相切点A(x1,y1)，且x1[2,2]，求a的取值范围。

1311. 已知平面向量a=(3,-1).b=(,).

22(1)证明a⊥b；

(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t-3) b，y=-ka+tb，x⊥y，试求

函数关系式k=f(t)；

(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.

12. （2006年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间;

（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。

232

与x＝1时都取得极值