1. 不看答案，一道题、一道题地做下去，直到这一组题全部做完，最后与老师的答案进行交流反馈，看看本周的练习准确率给自己作出一个实际的评价。
2. 从第一道题开始，每做完一道题马上核对答案，然后再做下一道题，直到最后一道题。遇到不懂的题请仔细阅读老师的例题分析，经过独立思考直至把疑点解开。
小朋友，你看懂老师提出的要求了吗？ 请你选择一种做题方式，开始做题吧！
例1计算：178+146+122
分析：“凑整”和“改变运算顺序”，是主要的简算方法。并且在很多情况下，改变运算顺序就是为了“凑整”。本题就是应该利用178+122=200，来达到速算的目的。
解：原式=178+122+146 =200+146 =346
例2计算：8×34×125
分析：根据乘法的交换律和结合律，利用8×125=1000进行合理计算
解：原式=8×125×34 =1000×34 =34000
例3计算：37×21+79×19+79×18
分析：本题若直接按运算顺序进行计算的话则运算量很大，容易产生差错，如利用分配律，先把后两项合并起来就可少做一次乘法，然后再将前一项合并起来运用分配律，那么就可凑成100这个整数，是运算变得十分简便，正确率也随之提高。
解：原式=37×21+79×（19+18） =37×21＋79×37 =37×（21＋79） =37×100 =3700
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例4计算：71×125
分析：直接计算两位数乘以三位数较为复杂。
简算的方法可以合理地拆开某一个数，如：因为125×8=1000，把125改变为乘以1000再除以8。
解：原式=71×1000÷8 =71000÷8 =8875
另一种方法是考虑把71改成（72－1），因为72=9×8是8的倍数，用这种渗透思维有利于解此类习题。
解：原式=（72－1）×125 =72×125－125 =9×8×125－125 =9000－125 =8875
例5计算：14×44×104
分析：看到本题，马上想到想到用简便方法计算比较困难，找不到突破口，但如果我们对数的运算比较熟悉、比较重视，勤于实践我们就会掌握7×11×13=1001这个规律，而1001乘以一个三位数只要把这个三位数连写两遍就可以了。同时张老师提醒小朋友象3×37=111，6×17=102等都属于可以考虑的特殊的数。
解：原式=（2×7）×（4×11）×（8×13） =7×11×13×（2×4×8） =1001×64 =64064
例6计算：（78×4＋76×2＋89）÷7
分析：小朋友你发现了吗？在计算平均数应用题时经常会遇到这类题目，首先应考虑到除数是7，作为解题的突破口。设法将括号内的数都变化成7的倍数乘以某数再加上一个数的形式。
解：原式=（77×4＋4＋77×2－2＋77＋12）÷7 =（77×7＋14）÷7 = 77＋2 = 79
例7计算：99999×77778＋33333×66666
分析：此题的数据很大，用竖式计算极容易出差错。但是如
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果将其中的某一个因数变化一下，再用乘法分配律进行简便运算。
解：原式=99999×77778＋33333×（3×22222） =99999×77778＋99999×22222 =99999×（77778＋22222） =99999×100000 =9999900000
例8计算99999999×99999999＋199999999
分析：猛一看，差一点儿会被吓倒，怎么会是一组这么大的数进行的计算。冷静一下，你还是能找出解题的规律来。比如：
9×9＋19 =9×9＋9＋10
=9×（9＋1）＋10 =9×10＋10 =10×（9＋1） =10×10 =102
同理：99×99＋199
=99×99＋99＋100 =99×（99＋1）＋100 =99×100＋100 =100×（99＋1） =100×100 =104
规律一下就找到了，因数中有一个数位数字是“9”，得数中“0”就有两个，因数中有两个数位数字是9，得数中“0”就有四个……，算式中“9”的个数扩大2倍就是“0”的个数。
解：原式=99999999×99999999＋199999999
=99999999×99999999＋99999999＋100000000 =99999999×（99999999＋1）＋100000000 =99999999×100000000＋100000000 =100000000×（99999999＋1） =100000000×100000000 =10000000000000000
=1016
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数字计算是小学数学的主要内容，计算正确是学好数学的基本要求，今年我们已经是四年级的学生了，明年将跨入毕业班学习，在这承上启下的重要时刻，认真学习可是最重要的。除了要有认真负责、一丝不苟地学习态度和良好的学习习惯之外，还应该掌握一些常用的简便方法。在计算时利用一些技巧，如凑数、改变运算顺序、运用运算定律等，不仅可以提高计算速度，还可以避免或减少计算中可能产生的差错，达到迅速、准确的目的。
练一练：
1. 485＋488＋491＋494＋496 2. 800800800÷75
3. 638－112＋124－136－176－188 4. 25÷7×14÷11×132
5. 324×187＋99×27－324×154 6. 199995＋29996＋3997＋498＋99 7. 7777777×3333333÷1111111 8. 9999992＋1999999
和差倍数问题
一．引入知识
期中考试结束了，李大田的语文和数学总分是190分，其中数学比语文多10分，问：李大田的语文、数学成绩各考了多少分？
小朋友们，在我们学习中如果遇到已知两数之和及两数之差，要求这两个数，解决此类问题可以先画一个图来说明问题：
数学：
语文： 10分
从图中可以看出，如果数学去掉10分，就和语文成绩相等了，这时的总分为190－10=180分，正好是语文成绩的2倍，所以语文成绩是180÷2=90分，数学成绩只要用语文的成绩加10分即可；如果语文成绩再增加10分，那么总分就是190＋10=200分，正好是数学成绩的2倍，所以数学成绩就是200÷2=100分。 这类数学问题就是典型的和差问题。
知道了两数的和与差，要求这两个数，可以用这样的数量关系式： （和＋差）÷2=大数
（和－差）÷2=小数
小朋友，掌握数量关系最重要了，分析时还有必要通过线段图辅助帮助，一定会受到良好的学习效果。
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二．例题传授
1. 甲、乙两数的平均数是95，其中甲数比乙数多8，求甲、乙两数各是几？
分析：甲、乙两数的平均数是95，那么甲、乙两数的和是95×2=190，又已知甲数比乙数多8，这样就知道了两数之和是190，两数之差为8。
解：甲数（95×2＋8）÷2
=198÷2 =99
乙数（95×2－8）÷2
=182÷2 =91
答：甲数是99，乙数是91。
2. 在一道减法算式里，被减数、减数与差这三个数之和为996，减数比差大38，求减数是多少？
分析：在减法中有这样的数量关系：被减数=差＋减数
题目告诉我们，被减数＋减数＋差=996，根据上面的数量关系式，我们可以得到： 减数＋差＋减数＋差=996，
那么：减数＋差=996÷2=498，即减数与差的和是498，又已知了减数与差的差是38，根据和差问题的方法可以求出减数。 解：（996÷2＋38）÷2 =（498＋38）÷2 =536÷2=268
答：减数是268。
3. 两个自然数的和与这两个数的差的积是85，求这两个自然数各是多少？
分析：两个数的和与这两个数的差的积是85，因为85=17×5，所以两个数的和应是17，差应是5，这两个数就是（17＋5）÷2=11与（17－5）÷2=6。
解：85=17×5 （17＋5）÷2=11 （17－5）÷2=6。 请你注意：85还可以写成85=85×1，即两个数的和是85，差是1，这两个数还可以是多少？你会解吗？来，请你动手试一试吧！
4. 一列快车长280米，一列慢车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两车头相遇到两车尾相离经过20秒，若两车在平行的轨道上
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同向而行，慢车在前，快车在后，从两车相遇（快车车头追上慢车车尾），到两车相离（快车车尾与慢车车头相离）经过2分钟，求快、慢两车的速度各是多少？
分析：两车相向而行时，从两车头相遇到两车尾相离经过的距离是两列车身的长度之和，这是两车在20秒内共同完成的，所以两车的速度和为：
（280＋200）÷2=24米/秒；
当两车同向而行时，实际上是快车追慢车，从两车相遇到两车相离所经过的距离也是两车车身的长，也是两车在2分钟内所行的路程差。所以两车的速度差为： （280＋200）÷（60×2）=4米/秒
运用和差问题的方法即可求出两车的速度。 解：（280＋200）÷2=24米/秒
（280＋200）÷（60×2）=4米/秒 （24＋4）÷2=14米/秒 （24－4）÷2=10米/秒
答：快车的速度是14米/秒，慢车的速度是10米/秒。
练一练：
（1） 哥哥和弟弟共存款560元，哥哥比弟弟多存60元，哥哥、弟
弟各存多少元？
（2） 小丽语文、数学两门功课平均成绩96分，数学比语文多8分，
语文、数学各多少分？
（3） 甲、乙两校平均人数是1560人，已知甲校比乙校多300人，
甲、乙两校各多少人？
（4） 甲、乙两班共有学生100人，若从甲班分给乙班4人，则两班
人数相等，甲、乙两班原来各有学生多少人？
（5） 甲、乙两个图书馆共存书24000册，如果甲图书馆拨给乙图书
馆3000册，则两个图书馆的册数相等，甲、乙图书馆原来各有书多少册？
（6） 甲、乙、丙三个班共有学生163人，甲班比乙班多6人，乙班
比丙班多5人，三个班各有多少人？
（7） 某市有三个粮库，支援洪水灾区，共支援粮食280吨，甲粮库
比乙粮库多支援40吨，乙粮库比丙粮库多支援60吨，三个粮库各支援粮食多少吨？
（8） 甲、乙两筐苹果共97千克，从甲筐取出14千克放入乙筐，结
果甲筐的苹果比乙筐还多3千克，甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？
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（9） 四（1）班有学生48人，暑假中有5人学会了游泳，这样会游
泳的比不会游泳的同学多16人，原来会游泳的有多少人？ （10） 小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3
支，那么小华还比小敏多2支，小华和小敏原来各有铅笔多少支？
（11） 有一块长方形蔬菜试验田，它的长比宽多12米，周围的篱笆
共长92米，这块地的面积是多少米？
（12） 有一1000米长的圆形跑道，甲、乙二人同时、同地出发，若
同方向跑1小时后，甲比乙跑一圈，若以相反方向跑4分钟二人相会，求甲、乙二人速度。
图形的计数
数学竞赛中常遇到数图形问题，这类问题一般都要寻求规律，而后按照这个规律去数图形。数图形时要有次序、有条理、才能不遗漏、不重复。
因此一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规律、运用规律。运用规律往往能使解法简便。
学习题1
下面两根线段中有多少条线段？
A B● ● C ●D E 解：（1）由一条基本线段构成的线段有： AB、BC、CD、DE，共4条；
由两条基本线段构成的线段有： AC、BD、CE共3条；
由三条基本线段构成的线段有： AD、BE，共2条；
由四条基本线段构成的线段有： AE 1条。 因此共有线段： 4＋3＋2＋1
=（4＋1）×4÷2=10（条） 解：（2）可以采用上题的解题方法来进行分析、计算： 由一条线段组成的线段有6条， 由二条线段组成的线段有5条， 由三条线段组成的线段有4条， 由四条线段组成的线段有3条，
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由五条线段组成的线段有2条， 由六条线段组成的线段有1条， 共有线段：
6＋5＋4＋3＋2＋1 =（6＋1）×6÷2 =21（条）
答：题（1）中有10条线段。题（2）中有21条线段。
这种先分类，再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。
由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四个基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4＋3＋2＋1。如果有N个点，线段总数为（N－1）＋（N－2）＋…＋3＋2＋1=N×（N－1）÷2条。找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。
学习题2
在∠AOB内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？
分析：这问题类似于上一题。8条射线加上∠AOB的两条射线，一共有10条基本线，从而进行计数训练。 B
O A
解：10×9÷2=45（个）
此类计数可用公式：S=N（N－1）÷2来解题。 如：N=10，S=10×（10－1）÷2 = 10×9÷2 =45
答：图中一共有45个角。
学习题3
数一数图中一共有几个长方形？ 分析：图中共有横向的线段共有： 4×（4－1）÷2=6（条）
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纵向的线段共有： 3×（3－1）÷2=3（条） 解： 6×3=18（个） 答：图中共有18个长方形。
学习题4
如图：
1. 如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？
2. 现在有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？
分析：根据图示可以得到规律，底层与总数的关系有：底层2、总数4；底层3、总数9；底层4、总数16……。而22=4、32=9、42=16……，就是：
底层的个数正好等于的平方正好等于小三角形的总数。 解：（1）下层有11个三角形，共有 11×11=121（个）
（2）因为13×13=169，所以169个小三角形如上图排列，底层有13个三角形。
练一练：
1. 线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？ 2. 下图中共有多少个三角形？
3. 把长2厘米、宽1厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。
（1）如果叠成5层，周长是（ ）厘米。 （2）如果周长是120厘米，共有（ ）层。
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简便计算
简便计算，就是用比较简便、巧妙的方法来计算，也称为巧算。简便计算常用的技巧有“拆”与“凑”。在这一讲，我们先举例说明整数、小数计算中应怎样“拆”和“凑”。
提到“拆”和“凑”，你一定想到“凑整”或拆成的两部分中含整十、整百、整千„„的数。比如，要求59998+499995+2998+506+69的和，可把每个加数分别拆成“60000－2”、“500000－5”、“3000－2”、“500+6”、“70－1”，然后再算出（500000+60000+3000+500+70）－（2+5+2+1）+6的结果。这当然就简便多了。
熟练地掌握四则运算的定律、性质，以及特殊数的分解（比如100=4×25，1000=8×125，111=37×3，1001=7×11×13等）对审题很有好处。 [例1] 计算38×25×6
[分析]38和6都含有因数2，把它们拆开后，再使两个2和25相乘，就能得到100。
[解]38×25×6
=19×2×25×2×3 =19×（2×25×2）×3 =19×100×3 =5700
[例2] 计算1999+999×999
[分析] 由“+”后面有两个999相乘，应想到把1999拆成“1000+999”；又由这里的1000，容易想到把999作为公因数提取出来（把乘法分配律反过来用）以把1与999凑成1000了。
[解]1999+999×999 =1000+999+999×999 =1000+（1+999）×999 =1000×（1+999） =1000000
[例3] 计算11.8×43－860×0.09
[分例]观察题目中的每个数,我们发现：860=43×20，把860拆成43与20的积以后，20与0.09结合（乘法结合律）起来，得1.8。由于“－”前后都出现43，所以，用乘法分配律可以巧算。
[解]11.8×43－860×0.09 =11.8×43－43×20×0.09 =11.8×43－1.8×43 =（11.8－1.8）×43 =430
上面几个例子说明，什么情况下“拆”（或“凑”），怎么来“拆”（或“凑”）。不能只看某一个数，而应根据算式中的运算符号、数据特点及数与数之间的关系，合理选择。这就需要仔细观察，总体考虑。
“拆”和“凑”的方法很多，请同学们自己在练的过程中注意总结。
对于计算题，能够简算的要尽可能简算。但计算题不一定都可以简算。这就告诉同学们，不能只重视技巧而忽视基本题或过程稍繁的计算题。要练好计算基
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本功，首先要熟练掌握基本的运算法则、运算定律、性质；还要通过一定量的训练，切实消灭差错，提高正确率。由于基本的运算法则和定律课本上已作介绍，一般计算题同学们也练得较多，这里就不再重复了。 练一练：
1、计算下面各题
（1） （1） 1994+997×997
（2） （2） 10476+748+524+252 （3） （3） 7.5×27+19×2.5
（4） （4） 1993+199.3+19.93+1.993 （5） （5） 7.7×19870+1001+25 （6） （6） 76×125×68
（7） （7） 957+792－（431+392）+39
（8） （8） （998+379+158）－（997+378+157） （9） （9） 9－0.9－0.09－0.009－0.0009 （10）（10） 41.2×8.1+11×1.25+537×0.19
2、已知12+22+32+„„+92+102=385。求1×2+2×3+3×4+„„+10×11
算式谜（一）
算式谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式。这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开（“猜出”）这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确的推理、判断。 [例1] 把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字填入下面的小方格中，使三个等式都成立。
□＋□= □－□=
□×□=□□
[分析]在0—9这十个数字中，0是个特殊的数，它具有这样的性质：①a+0=a②a－0=a ；③a×0=0。所以，0不能出现在前两个等式中，也不能出现在第三个等式的“=”左边，只能在第三个等式“=”右边的个位上。从而，可推知第三个等式左边有一个因数是5，这样，第三个等式可能是：5×2=10 5×4=20 5×6=30 5×8=40 这四种情况。
下一步是根据上面四种情况，一一试验。比如，第一种情况下，5×2=10用了0、1、2、5四个数字，剩下3、4、5、6、7、8、9，这六个数字不能组成前两个等式。同样道理，可排除掉5×6=30、5×8=40这两种。
[解]3+6=9 8－1=7 5×4=20
[例2] 9○13○7=100 14○2○5=□
把＋、－、×、÷分别填入上面两个等式的4个“○”中，并在“□”内填上适当的整数，使上面两个等式都成立。
[分析]9、13、7都比100小得多，它们的和也比100小。看来，在第一个等式的两个“○”中要考虑填一个“×”。但9×13－7不等于100，只有9+13×7=100。下面剩下“÷”和“－”，因为“□”中的数是整数，所以，“÷”只
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能填14与2之间的“○”内。
[解]9+13×7=100 14÷2－5=2
解算式谜，一般是人某个数的首位或末位数字上寻找突破口。推理时应注意：
（1） 算式谜中的文字、字母或其它符号，只取0—9中的某个数字； （2） 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐藏条件； （3） 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法）；逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；
（4） 算式谜解出之后，最好验算一遍。
练一练：
1、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个不同的数字分别填在○中，使下面的三个算式成立。
○+○=○ ○－○=○ ○×○=○
2、将0、1、2、3、4、5、6填到下列只有一、两位数的算式中，使等式成立。
○×○=○=○÷○
3、将1—9九个数字填入下面九个“○”中，使等成立。（第⑵式中已填两个数字）
（1） ○○○×○○=○○×○○=5568 （2） ○×○－○=⑨⑥÷○○＋○=○
算式谜（二）
我们接着上一讲举例说明解复杂的算式谜的方法。 [例1] 解算式谜
2 8 5 × □ □
1 □ 2 □ □ □ □ □ □ 9 □ □
[分析]设乘数为 xy ,根据285×y=1□2□，可推知4≤y≤7，也就是说，y 可能取4、5、6、7这四个数中的一个。但是，285×4，285×6，285×7所得的积的十位上都不是2。因此，只有y=5。这样就填出了第一个部分积（1425）；
又因为285×x≤999，所以，x≤3，当x=1、x=2时，第二个部分积与第一个部分积相加，和的百位上不是9。因此，只有x=3。
[解]原式为
2 8 5 × 3 5 1 4 2 5 8 5 5 9 9 7 5
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[例2] 解算式谜：
* * * * *）* * * * * * * * * * * * * * *
8 * *
* * * *
* * * * * * * 0
[分析]设除数为abc ，商为xy8mn.。从上面竖式中容易看出：y=m=0，并且有8×abc＜1000，从面推知：abc＜125。这样，7×abc＜900(7×125=875)。但是，除式中第一次减法所得的差只是一个两位数，这就说明x×abc ＞900，但x×abc＜1000。这就是说7＜x≤8从而，x=8。以因为8×abc＜1000，而n× abc≥1000这就推得：n=9。所以商为80809。
再从整个除法竖式可以看出：80809×abc＞10000000 推得：abc＞10000000÷80809也就是abc＞123。而上面已推知abc＜125，只有一种可能：abc=124。
[解]简写成横式：10020316÷124=80809
[例3] “迎春杯”三个字分别代表不同的数字。请根据：
迎＋春2=迎春 （迎＋春）2=迎杯
这两个等式，推出“迎春杯”三字代表的数字之和是 。 [分析]由第二个等式可以估计：两位数（迎杯）可能是4，5，6，7，8，9的平方。逐个试验后，得：（8＋1）2=81。再由第一个等式可推知：72≤春2≤81。
[解]（留给同学们自己完成，答案是18）
解较复杂的算式谜经常需要试验，但这种试验很有讲究，也就是要尽可能缩小试验的范围。这就需要运用我们曾经介绍的估算方法。
要注意通过全面细致的观察，发现或推出有关的隐藏条件，比如，四位数一定不小于1000，三位数一定不大于999等。
必要时，应把算式谜中的某个数看作整体（像例2中把除数设为abc，商设为xy8mn），这样便于推理。
练一练：
1、解下面的算式谜： （1） × 8 9
2、下面的乘法式子中，“我、数、学、乐”各代表一个不相同的数字。如果“乐”=9，那么“我”、“数”、“学”、分别代表什么数字。
（2） * 8 * 7
* * ）* * * * * *
* * *
13
* *
* * * *
* * 0
我学数学乐
× 我学数学乐
数数数学数数学学数学
规律性问题
一些数列、数阵的排列，或图形周长、面积的变化都有一定的规律。只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。
[例1] 一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，„„
问从左面第一个数起，数100个数，这100个数的和是多少？ [分析]观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个地分组如下： （1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），„„可以发现这串数的排列有这样的规律：第1、2、3、„„组中第一个数依次为1，2，3，„„每一组数都是由3个连续自然数组成，它们的和等于中间一个数的3倍。100÷3=33„„
1，也就是说，第100个数在第34组中，并且是34。求前100个数的和，就是求前33组数的和与34的和是多少。
[解]2×3＋3×3＋4×3＋„„34×3＋34=1816
[例2] 如左图，每个小正方形的边长都 是1厘 米， 图中的1、2、3、4、„„分别表示折线的第
1、2、3、4„„段。求折线中第1994段的长度。 [分析]观察图中的折线，发现两条规律：
（1）第2段、第4段、第6段„„的长度依次为1厘米、 2厘米、3厘米„„。也就是说，第偶数段的长度（厘
米数）是这段序号的一半；
（2）第1段比第2段、第3段比第4段、第5段比第6段„„的长度都长1厘米。
[解]1994÷2=997（厘米）
折线中第1994段的长度为997厘米。
想一想：要求第1 2 6 7 15 16 „„1949段的长应怎么算？
[例3] 把自然数排成右边的形式： 1 2 6 7 15 16 „„ 在这样的排列下，1993在第几行第几列？ 3 5 8 14 17 „„
[分析]通过观察把上面的数阵分组如下： 4 9 13 18 „„ （1），（2，3），（4，5，6）， 10 12 19 „„ （7，8，9，10），„„ 11 20 „„ 其中的规律是：第n组中所含数的个数是n， 21 „„
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奇数组（第m组）的第一个数在第m行第1列 „„
偶数组（第n组）的第一个数在第1行第n列；如果一个数在第m行第n列，那么它所在的这一组有“m＋n－1”个数。要求1993有第几行第几列，只要算出它在哪一组，边一组是奇数组，还是偶数组。
[解]1＋2＋3＋„„＋62=1953 1993－1953=40
因此，1993是第63组的第40个数，它排在第24行每40列。
解答规律性问题，关键是找出规律；要找规律，就要靠细致的观察和认真的比较、分析。有时还必须先考虑几个简单的问题，作一些简单的试算，才能找到规律。当然，找到规律后最好再多举几个例子验证一下，因为从少数几个例子中得出的结论，有时不太可靠。做完一道题后，最好再想一想，根据这道题隐藏的规律，能否提出一个新问题？
练一练：
1．正方形的边长是1厘米，依次作出下面这些图形。
„„„„
图上第一个图形的周长是10厘米，问：（1）36个正方形组成的图形周长是多少厘米？
（1）36个正方形组成的图形周长是多少厘米？
（2）周长是70厘米的图形，由多少个正方形组成？
2．求9999„9（1994个“9”）×9999„9（1994个“9”）所得积的各位数字之和。
3．左图是一个五边形点阵，
中心是一个点算第一层，第二层每边两个点（五边形顶点处有一点为相邻两边公用），第三层每边为四个点，其余类推。如果这个五边形点阵共有100层，那么点阵中点的总数是多少？
4．自然数按下图的格式排列。求：
1 2 5 10 17 „ 4 3 6 11 18 „ 9 8 7 12 19 „ 16 15 14 13 20 „ „ „ „ „ „ „ （1） 200在图中的位置
（2） 第10行第10列的那个数是几？
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等差数列
有限个或无限多个数，按照一定的顺序排列起来，就是一个数列。比如：
（1）1，2，3，4，5，„„，99，100； （2）3，6，9，12，„„，222，225； （3）1，1，2，3，5，8，13，21，„„；
（4）1，1/2，2/2，1/3，2/3，3/3，1/4，2/4，3/3，4/4，„„； 这些都是数列。其中，像（1）、（2）两个数列那样，任意两个相邻的数中后一个与前一个相减所得的差都相等，这样的数列叫做等差数列。
一般地，设a1，a2，a3，„„，an是一个等差数列。因为an－an－1=an－1－an－2=„„a3－a2=a2－a1=d所以，容易推出：Ⅰ、a1＋an=a2＋an－1=an＋a1；Ⅱ、a2=a1＋d,a3=a1＋2×d，„„ an=a1＋（n－1）×d。
[例1] 求数列1，2，3„„99，这100个数的和。
[分析]在这个数列中，把1与100，2与99，3与98，„„50与51分别配对，就得到50组和为101的数。这就是德国数学这高斯小时候巧算这道题的方法—“分组配对”，变加为“乘”。 [解]101×50=5050
如果把这100个数的和设为S，那么根据下面两式，可以先算出2S，再把它除以2得S。
S=1+2+2+„„+99+100 S=100+99+98+„„+2+1 用这个办法可以推导任意一个等差数列的和
S=a1+a2+a3+„„an－1+an=（a1+an）×n÷2
[例2] 在数列7，10，13，16，„„中，907是第——个数；第907个数是——。 [分析]这个数列是等差数列，a1=7，相邻两个数的差d=3，设907是其中第n个数，那么907=7+（n－1）×3 n－1=（907－7）÷3=300 n=301
第907个数a907=7+（907－1）×3=2725 如果不用公式Ⅱ，从数的排列规律中可以看出a1=7；a2=7+3×1；a3=7+3×2；„„再根据这个规律同样可以推算出上面的结果。
[例3] 求大于200、但小于1200的所有能被9整除的数之和。
[分析]把符合题目要求的数依次写出来：207，216，225，234，„„1197 这个数列中能被9整除的数的个数 n=1197÷9－207÷9＋1=111（个）
也就是说a1=207 an=1197 n=111 [解]（207+1197）×111÷2=77922
高斯巧算“1+2+3+„„+100=5050”的方法以及我们推导公式时所用的方法（先求2S，再求S）很重要。同学们在解这一讲“自己练”中的第2题、第3题和第8题时，可不套用公式，直接用上面所提到的方法。有时，要从某个等差数列中截取一“段”让你求和（像例3）。在这5种情况下，不能把数列中数的个数n算错。
练一练： 1、计算：
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（1）1+2+3+„„+1993+1994 （2）1949+1950+1951+„„1997 （3）1994+1/2－1(1/3)+2(1/2)－3(1/3)+4(1/2)－5(1/3)+ „„+1992(1/2)－1993(1/3) 2、计算：1995+1994+1993－1992－1991－1990+1989+1988+1987－1986－1985
－1985„„+9+8+7－6－5－4+3+2+1
3、计算：1－3+5－7+9－11+„„－1999+2001
4、在1，4，7，10，13，„„，100中，每个数千前面添上一个小数点（小数点前面写上“0”）以后，所得的总和是————。 5、求小于1994的所有7的倍数的和。
6、有11个连续奇数的和是1991，这个数中最小的一个是————。
奇偶分析
我们知道，全体自然数按“能不能被2整除”，可分为奇数和偶数两类。关于奇数、偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数与奇数的和是偶数，奇数个奇数之和是奇数等，灵活、巧妙、有意识地运用这些性质，加上正确的分析推理，可解决许多复杂而有趣的问题。
[例1] 能从下表中选出5个数，使它们的和等于30吗？为什么？
1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 [分析]如果一一去找，去试算，无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30。但是，你还不能马上断定（证明）这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解。因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，要想从中找出5个数使它们的和为30（偶数），是不可能的。
[例2] 小华买了一本共有96张纸的练习本，并依次将每张纸的正反两面编号（即由第1页一直编到第192页），小丽从这本练习本中撕下25张纸，并将写在它们上的50个编号相加。试问：小丽所加得的和数能不能为1994。
[分析]因为每张纸正反两面页数的和是奇数，25也是奇数，奇数个奇数相加的和不可能是1994（偶数）
[解]不能。说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”这条性质几乎是显然的，但在解题过程中能有意识地运用它却不容易做到，还要靠同学们多思考、多练习、多总结。
[例3] 有1993个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到1993各不相同。能不能将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
[解]不能。
[理由] 如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数的和都是某一个孩子号码数的两倍，是
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个偶数，所以加起来得到这1993个数总和是个偶数，但是这1993个数总和为
（1+1993） 1+2+„„+1993= 2 ×1993=997×1993 是个奇数。矛盾！所以，不能按要求排成。
[例4] 如左上图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：有没有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。 [解]不可能。
[理由] 如果每条直线上的红圈都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数（包括重复的）：从另一角度看，由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，这样就出现了矛盾。所以不可能使得在同条直线上的红圈都是奇数。
上面例3、例4在说明理由时都用了“反证法”。
运用奇数、偶数的性质进行分析、推理，称为奇偶分析。这种方法具有很强的技巧性，尤其是选择什么量进行奇偶分析往往是很困难的。选准了，依据奇偶数的性质，分析这个量的奇偶特征，问题便迎刃而解；选不好，事倍功半。望小读者认真领会本讲所举例题，以把握选择合适的量进行奇偶分析的技巧。
练一练：
1、任意取出1994个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
2、一串数排成一行，它们的规律是头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，如下所示：1，2，3，5，„„试问：这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？
3、能不能将1010写成10个连续自然数的和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。
4、能不能将1至25这二十五个自然数分成若干组，使得每一组中的最在数都等于这一组内其余各数的和？
平均数应用题(1)
一般解体思路：几个不同的数，在总和不变的条件下，移多补少，使它们成为相等的几份，其中的一份就是平均数。
[例1]： 从甲地到乙地全程是60千米，小红骑自行车从甲地到乙地每小时行15千米，从
乙地返回甲地每小时行10千米。求小红往返行程中的平均速度。
分析：往返行程的平均速度应该等于往返行程的总路程除以往返行的总时间。其中往返行的
总路程是从甲地到乙地全程的2倍，往返行的总时间是去时所行时间加上返回所行的时间。
解：60×2÷（60÷15+60÷10） =120÷（4+6）
=120÷10 =12(千米/时)
答：往返行程的平均速度是12(千米/时)。
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[例2]：小明读一本故事书，第一天读83页，第二天读65页，第三天读60页，第四天读
84页，第五天读的页数比五天平均读的页数还多8页。小明在第五天读了多少页？
分析：先求出前四天平均读的页数（83+65+60+84） 前四天平均数 73
÷4=73（页），很明显第五天读的页数比73
页多，由此五天平均读的页数比前四天平均 2 读的页数就增加了。 2 从图中可以看出，要用8页去补足这些增加 2 的平均值，8页共要补足4份，每份是8÷4 2 =2（页），进而就可求出 第五天读的页数。 2
解： （83+65+60+84）÷4=73（页） 五天的平均数 8 73+8÷4+8=83（页） 答：第五天读了83页。
练一练：
1、 在一次登山比赛中，小刚上山时每分钟走40米，18分钟到达山顶：然后按原路下山，
每分钟走60米。小刚上、下山平均每分钟走多少米？
2、 五年级（1）班42名同学拍毕业照，拍6寸合影照片可附送两张照片，费用5.20元，如
果需要加印 ，每张加收0.71元。现在每人各得一张照片，平均每人需要付多少元？ 3、 甲、乙两人各拿出相同的钱数去买一批良种小猪，分配时甲拿了65头，乙拿了47头，
甲找给乙468元。每头小猪值多少钱？
4、 小红前四次语文考试成绩如下、第一次85分，第二次78分，第三次83分，第四次比
四次的平均成绩还高9分，第四次语文考几分？
5、 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86
分，这次是第几次测验？
平均数应用题(2)
[例1]：已知A、B、C、D四人的平均分是75分，A、C、D、E四人的平均分是70分，A、
D、E三人的平均分是65分。求A得了几分？
分析：先分别求出A、B、C、D的总分75×4=300（分），A、C、D、E的总分70×4=280
（分），A、D、E的总分60×3=180（分），B、D的总分65×2=130（分）。 再列表如下： A+B+C+D=75×4=300（分） （1）
A+C+D+E=70×4=280（分） （2） A+D+E= 60×3=180（分） （3） B+D=65×2=130（分） （4）
从（2）、（3）可求出C得分为280—180=100（分），从（1）、（4）可求出A、C的
总分为300-130=170（分），把A、C的总分减去C得分就是A得分。
解： （75×4—65×2）—（70×4—60×3） =170—100 =70（分） 答： A得70分。
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[例2]：有三个数，每次选出其中的两个数，算出它们的平均数，再加上余下的另一个数，
这
样算了三次，得了69、75、66。那么原来三个数各是多少？
分析：设原来三数为甲、乙、丙，每次选出其中的两个数分别为（1）甲、乙；（2）乙、丙 （3）甲、丙．根据题意可列表如下：
（甲+乙）÷2+丙=69 （乙+丙）÷2+甲=75 （甲+丙）÷2+乙=66 甲+乙+2丙=69×2=138 乙+丙+2甲=75×2=150 甲+丙+2乙=66×2=132 从表中可以看出138+150+132的和是甲、乙、丙 三数之和的4倍，这样就可以求得甲、乙、丙三数的和，进而就能分别求出这三个数。 解：（69+75+66）×2÷4=105 69×2—105=33
75×2—105=45 66×2—105=27 答：原来三个数分别为33、45、27。
练一练：
1、 甲、乙、丙、丁四个数，甲数是136，乙数是156，丙数是140，丁数比四个数的平均数
少15。求丁数？
2、 A、B、C、D四个数的平均数是38，A与B的平均数数是42，B、C、D的平均数是36，
那么B是多少？
3、 A、B、C、D四个数的平均数是84，A与B、B与C、B与D的平均数分别是72、76、
80。求D是多少？
4、 甲、乙、丙、丁四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样计算了4次，
得到下面的四个数：100、76、104、92。求甲、乙、丙、丁四个数的平均数？
5、 有四个数，每次选出其中的三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这样的
方法计算四次，分别得到下面的四个数：26、32、40、46，那么原来这四个数中，最大的一个数是多少？
相遇问题（1）
相遇问题是行程问题中的一个分类，其数量关系式是：路程=速度×时间。它的特点是运动物体行进的方向相反。要注意的是路程和是两个运动物体在同时走、同时停这段时间内走的路程总和。在相遇问题中，两个物体有时做相向运动、有时做相背运动，但都是运用相同的数量关系式。
[例1]：甲乙两车分别从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，
乙车每小时行48千米，（1）几小时后两车还相距200千米？（2）几小时后两车相遇？（3）几小时后两车相遇又相距400千米？
分析（1）这一组题目要注意的是总路程的变化，相距200千米，说明还有200千米没有行，
在8010千米中必须减掉200千米。
解： （800—200）÷（52+48）=6（小时） 分析（2）两车相遇，说明总路程就是800千米。 解： 800÷（52+48）=8（小时）
分析（3）两车相遇又相距400千米，说明总路程除了800千米外，还必须加上又行的4010
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千米。
解：（800+400）÷52+48）=12（小时） 答：6小时后两车还相距200千米。8小时后两车相遇。12小时后两车相遇又相距400千米。
[例2]：甲乙两人分别从AB两地同时出发相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千
米，
在距中点3千米处相遇，求AB两地的距离。
分析：甲每小时的速度比乙快，因此相遇时几甲一定走过中点，乙还没有到终点，那么从出
发到相遇，甲多行了3×2=6（千米），甲比乙每小时多行6—4=2（千米），那么从出发到相遇所用的时间是6÷2=3（小时），最后就可以求出AB两地的距离。 解：相遇时间为（3×2）÷（6-4）=3（小时） AB两地的距离为（6+4）×3=30（千米） 答：AB两地的距离为30千米。
练一练：
1、 甲、乙两车分别从相距1000千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行61千米，乙
每小时行39千米，（1）3小时后两车还相距多少千米？（2）几小时两车相遇又相距200千米？
2、 甲、乙两车分别从相距60千米的两地同时出发相背而行，甲车每小时行44千米，乙车
每小时行46千米，几小时后两车相距240千米？这时两车各行了几千米？
3、甲、乙两车分别从相距240千米的AB两地同时出发相向而行。已知甲车到达B城需要
6小时，乙车到达A城需要3小时，两车出发后几小时相遇？
4、东、西两村相距55千米，甲、乙两人分别从东、西两村同时出发相向而行，5小时后两
人相遇，已知甲每小时比乙多行1千米，求甲、乙两人的速度？
5、甲、乙两人从相距100千米的两地出发相向而行，甲先出发1小时，两人在乙出发4小
时后相遇。已知甲比乙每小时多行2千米，求甲、乙各自的速度。
相遇问题（2）
[例1]一列快车和一列慢车同时从甲、乙；两站出发，相向而行，经过6小时相遇。相遇后快车继续行驶了3小时后到达乙站，已知慢车每小时行45千米，甲、乙两站相距多少千米？
分析： 3小时 快车
6小时 45 慢车
甲 乙
？
从图中可以看到，慢车6小时行的路程与快车3小时行的路程相等，这样就可以算出快
车的速度，从而就可以求出甲、乙两站相距几千米。 解：（45×6÷3+45）×6
=（90+45）×6 =810（千米） 答：甲、乙两站相距810千米。
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[例2]：甲、乙两人同时从相距1000米的两地相向而行，甲每分钟行120米，乙每分钟行
80米，如果有一只狗与甲同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲后又立即回头向乙跑去，这样不断来回，直到两人相遇为止。这时狗共跑了多少米？
分析：狗跑的速度×狗跑的时间=狗跑的路程 因为狗和甲同时出发又在甲、乙相遇时停
下，所以狗跑的时间和甲、乙相遇的时间相同。 解：1000÷（120+80）=5（分钟） 500×5=2500（米） 答：这时狗共跑了2500米。
练一练：
1、 小明和小红两人同时从甲、乙两地出发，相向而行，小明每小时行15千米，两人相遇
后，小明再走2小时到达乙地，小红再走45千米到达甲地，甲、乙两地相距多少千米？ 2、 甲、乙两人分别从AB两地同时出发相向而行，出发后2小时后相距55千米，出发后5
小时相距22千米，从出发到相遇共需要几小时？
3、 甲、乙两人从相距1100米的两地相向而行，甲每分钟走65米，乙每分钟走75米，甲
出发4分钟后，乙带了一只狗和乙同时出发，狗以每分钟150米的速度向甲奔去，遇到甲后立即回头向乙奔去，遇到乙后又回头向甲奔去，直到两人相遇为止。这时狗一共奔跑多少米？
4、甲、乙两人分别从东、西两地同时出发，相向而行，甲每小时走5千米，乙每小时走4
千米，甲带了一只狗同时出发，狗以每小时8千米的速度向乙奔去，遇到乙后，立即回头向甲奔去，遇到甲后又立即回头向乙奔去，这样不断来回，直到甲、乙两人相距3千米时狗才停止奔跑，这时狗共奔跑了16千米。问东、西两地相距当时千米？
追及问题(1)
追及问题是行程问题中的另一个分类，它的特点是两个运动物体进行的方向相同。 基本数量关系式：追及路程=速度差×时间
[例1] 两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡
车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？
分析：要求追上时离甲地多元，必须先求出追及的时间，再用小卡车的速度乘以追及的时间
解：追及的时间为（36×2）÷（48—36）=6（小时） 48×6=288（千米）
答：当小卡车追上大卡车时离甲地288千米。
[例2] 一种导弹以每秒330米前进。两架飞机相距1500米同向飞行，前一架飞机的速度是
每秒210米，后一架飞机的速度是每秒180秒，当后面的飞机发出导弹时，几秒可以击中前一架飞机？
分析：追及路程为1500千米，速度差是导弹的速度与两架飞机速度差的差 ] 解： 1500÷ 300—（210—180）=5（秒）
答：5秒可以击中前面一架飞机。
练一练：
1、 放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家，7分钟后，同在一所学校读书的哥哥以每
分钟69米的速度步行回家，几分钟后哥哥可以追上弟弟？
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2、 明明以每分钟50米的速度步行回家，12分钟后红红骑车追明明，结果在距离学校1000
米处追上，求红红骑车的速度？
3、 甲步行以每小时8千米的速度从城东到城西，2小时后乙骑车以每小时16千米的速度追
甲，在城东到城西距离的一半处追上了甲，城东到城西相距多远？
4、 两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，则甲5秒追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，则
甲4秒钟可以追上乙。求甲、乙的速度。
追及问题（2）
[例1] 上午8点货车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，中午12点客车以每小时65
千米的速度也从甲地开往乙地。为了行车安全，火车间距离不能小于10千米，那么货车最晚应在什么时间停车让客车驶过？
分析：为行车安全，火车间距离不能小于10千米，
那么追及路程应为 货车先行的路程减去10千米
解：追及路程为 40（12-8）-10=150（千米）
追及时间为 150（65-40）=10（小时） 10+12=22 答：货车最晚应在22时停车，让客车驶过。
[例2] 甲、乙两人分别以每分钟60米、70米的速度同时从A地向B地行
进，丙以每分钟80米的速度从B地往A地行进，丙遇到乙3分钟后又 与甲相遇，AB两地相距多少米？
分析：丙遇到乙3分钟后与甲相遇，则丙与甲3分钟所走的距离就是乙与甲
的 追及距离，这样就可以求出时间，再通过时间求出两地的距离。 解：追及时间（相遇时间）为（60+80）3（70-60）=42（分钟）
（70+80）42=6300（米）
答：AB两地相距6300米。
练一练：
1、 事演习时，军舰追及敌舰，敌舰每分钟行驶1200米，军舰每分钟行驶1600米，在
距离敌舰800米处可以开炮射击，当追到萍沙岛时，发现敌舰已在10分钟前逃离，军舰从萍沙岛出发几分钟后可以开炮射击敌舰？
2、 两人从900米的环行跑道的同一地点出发。如果反向而行，2分钟相遇；如果同向而
行，每经过18分钟快者就追上慢者，求两人各自的速度。
3、 哓哓骑自行车出发6分钟后，小立骑摩托车追哓哓，在距离触发千米处追上，然后
小立立刻返回，到达出发地点后回头追，再次追上时离出发点18千米，求哓哓和小立各自骑车的速度。
4、 早上8点，甲和乙分别从相距600米的两地同时相向而行，甲每分钟走100米，乙
每分钟走50米，1分钟后，两人调头反向而行，再过3分钟后又调头相向而行，依次按1、3、5┅┅（连续奇数）调头行走，甲、乙相遇时是几点几分？
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应用题（一）
一条新的马路修成以后，园 林工人打算在它的一边种植水杉。他们询问了这条马路的总长，以及相邻两棵树之间的距离（通常称为株距）后，算出了这条马路种上树以后被树所分成的段数，便知道了所植树的棵数（=段数+1）。像上面这样在一定长度的线路上，等距离地安排若干个点植树，研究植树的棵数、株距（相邻两棵树之间的距离）与线路总长之间的数量关系的问题，通常称之为植树问题。
在首尾不相接（不封闭）的线路上等距离地植树，并且线路的两端也各植一棵树，有如下的数量关系：
线路总长=株距×（棵数－1）
[例1] 一条路，每隔5米有一根电线杆，连线路两端电线杆在内共有20根，说明段数比20少1。
[解]5×（20－1）=95（米）
想一想，如果在一条首尾不相接的线路上仅一端植树或两端都不植树，或者是在一条首尾相接（封闭）的线路上植树，那么，总长、株距和棵数这几个量之间又有怎样的关系呢？
[例2] 某人到十层大楼的第八层办事，不巧停电，电梯停开，如从第一层走到第四层走到第八层，还需要多少秒才能到达？
[分析]如果我们把经过一层楼所需的时间看作一个时间间隔，那么，爬楼所需的总时间、爬楼的层数与时间间隔有如下关系：
时间间隔×（爬楼层数－1）=爬楼总时间
这就相当于植树问题中的“株距×（棵数－1）=线路总长”。
我们可以先出爬一层楼的时间间隔是几秒，然后再求出从四楼到八楼所需的总时间。 [解]48÷（4－1）×（8－4） =64（秒）
[例3] 在一条公园小路旁边放一排花盆，每两盆花之间距离为4米，共放了25盆，现在要改成每6米放一盆，问有几盆花不必搬动？
[分析]由于每两盆花间隔为4米，共放25盆，所以这条路长为： 4×（25－1）=96（米）
现在改成每隔6米放一盆，只要放96÷6+1=17（盆） 现在考虎那些不动的花盆，它们与第一盆的距离应该既是4的倍数，又是6的倍数，也是12的倍数。小路全长96米，含有 96÷6+1=8
个12，再加上第一盆花不动，于是不必搬动的花盆有
8+1=9（盆）
[解]4×（25－1）÷12+1 =4×24÷12+1 =9（盆）
解决植树问题，要抓住段数、株距与线路总长之间的数量关系。但是，要先分清题目中所说的线路是封闭的，还是不封闭的。
有些问题，例如：爬楼梯、锯木头、剪绳子等问题中，所反映的也是线段的长度、
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等分点的个数、每段长度三者之间的关系，我们可以将它们转化为植树问题来解。
练一练：
1． 一个湖泊周长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树，湖周围各栽了多少棵柳树和桃树？
2． 有一根180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？
3．某人进行一项实验，每隔5小时做一次记录，做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？
应用题（二）
在这一讲，我们讨论年龄问题。
[例1] 妈妈今年43岁，女儿今年11岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？几年前妈妈的年龄是女儿的5倍？
[分析]无论在哪一年，妈妈和女儿的年龄总是相差
43－11=32（岁）
当妈妈的年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄为
（43－11）÷（3－1）=16（岁）
16－11=5（年） 说明那时是在5年后。
同样道理，由 11－（43－11）÷（5－1）=3（年） 可知，妈妈年龄是女儿的5倍是在3年前。
[例2] 今年，父亲的年龄是女儿的4倍，3年前，父亲和女儿年龄的和是49岁。父亲、女儿今年各是多少岁？
[分析]从3年前到今年，父亲、女儿都长了3岁，他们今年的年龄之和为
49+3×2=55（岁） 由“55÷（4+1）”可算出女儿今年11岁，从而，父亲今年44岁。
[例3] 陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；
“当你像我这么大时，我已经42岁了。”问王老师今年多少岁？
[分析] 我们先要明白：如果我比你大a年前，“当你像我这么大时”就是在a年后。这样便可根据题意画出下图：
从图上可看出，a=13,进一步推算得王老师今年29岁。
解年龄问题，一般要抓住以下规律：
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（1） 不论在哪一年，两个人的年龄差总是确定不变的。
（2） 随着时间向前（过去）或向后（将来）推移，两个人或两个人以上人的年龄一定
减少或增加相等的数量；
（3） 随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。
练一练
1． 李老师的年龄比刘红年龄的2倍多8岁，李老师10年前的年龄和刘红8年后的年龄相等，刘红今年几岁？
2． 15年前父亲的年龄是儿子的7倍；10年后，父亲的年龄是儿子的2倍。父亲、儿子各多少岁？
3． 爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄，那时我和哥哥的年龄之和恰好等于那时爸爸的年龄。”哥哥今年多少岁？
定义新运算（一）
加、减、乘、除这四种运算的意义和计算法则我们都很熟悉。除了这四种运算，我们还可以定义一些其它的运算。这里所说的定义，就按照某种约定（规定），给这种新运算一个明确的含义。只要弄明白这种含义，就可以正确地计算出有关算式的结果。
[例1] “⊙”表示一种新的运算，它是这样定义的：a⊙b=a×b－(a+b)
求：（1）3⊙5
（2）（3⊙4）⊙5
[分析]根据规定，这种新运算的意义就是：求两个数的积，减去这两个数的和所得的差。对于第（2）小题，应先算括号里的结果x，然后再算出x⊙5的结果。
[解]（1）3⊙5=3×5－（3+5）=15－8=7
（2） （2） 因为3⊙4=3×4－（3+4）=5
所以（3⊙4）⊙5=5⊙5=5×5－（5+5）=15 [例2] 如果1/2▽3=1/2×1/3×1/4
1/3▽4=1/3×1/4×1/5×1/6 1/7▽2=1/7×1/8
（1） （1） 求1/2▽4－1/3▽4； （2） （2） 根据1/n▽4=1/840,求n. [分析] 本题中新运算“▽”的意义没有作明确规定，但从三个已知的算式中，我们可以归纳出“▽”的意义：（1）“▽”表示几个单位分数（分子是1的分数）连乘，后面每个分数的分母依次比它前面一个分数的分母大1；（2）“▽”后的数表示因数的个数；“▽”前的数表示第一个因数。 [解]（1）1/2▽4－1/3▽4
=1/2×1/3×1/4×1/5－1/3×1/4×1/5×1/6 =1/3×1/4×1/5×（1/2－1/6）=1/180 （1） （1） 由1/n▽4=1/840,可知n×(n+1)×(n+2)×(n+3)=840 把840分解质因数，840=23×3×5×7=4×5×6×7，可知n=4.
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按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，并严格按照新运算的要求进行计算。
需要注意的是：（1）有括号时，应当先算括号里的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。 练一练：
下面三道题各定义一种新运算先弄清意义再按要求解答。 1．1．设a*b=4×a－5×b
(1) (1) 求5*4与(6*4)*2 (2) (2) 解方程x*(2*x)=18 2.规定a⊙b=a/b－b/a 求2⊙(5⊙3)的值.
3.定义运算“*”,a*b=a+aa+aaa+…+aaa…a这里a、b都是自然数,记号 b个 aaa…a表示m个a写在一起形成的数。
m个
求(1)2*3,3*2
(2)若1*x=123456789 则x=? (3)5678×(5677*2)－5677×(5678*2)
定义新运算（二）
加、减、乘、除这四种运算的意义和计算法则我们都很熟悉。除了这四种运算，我们还可以定义一些其它的运算。这里所说的定义，就按照某种约定（规定），给这种新运算一个明确的含义。只要弄明白这种含义，就可以正确地计算出有关算式的结果。
解答这类问题的关键，在于理解新运算的定义，严格按照规定的计算法则代入计数，把定义新运算转化我们熟悉的四则运算。
[例1] 规定一种新运算：a※b=(a+b)÷（a－b），那么（3※2）※1=？
分析 先将括号内3看成A，2看成B，按新运算的方法算出结果。将这个结果看成A，1看成B，再来一次新运算，求出最后的值。
解 （3※2）=（3+2）÷（3－2）=5÷1=5
5※1=（5+1）÷（5－1）=6÷4=1.25
[例2] 如果4※2=14，5※3=22，3※5=4，7※8=31，求6※9的值。
分析 观察上述四个式子，可发现4※2=4×4-2=14，5※=5×5-3=22，3※5=3×3-5=4，7※18=7×7-18=31，所以这题规定的新运算方式为A※B=A×A—B。
解 6※9=6×6-9=27
[例3] 如定义A△B=(A+B)÷2,那么[(1△9)△8]△7等于几？
分析 这个算式较长，我们运算时的方法和四则运算类似，先算小括号，再算中括号，然后算括号外。每次运算时，将前一次的结果合成A，下一步计算的数字看成B，分三次计算出结果。
解 1△9=（1+9）÷2=5
5△8=（5+8）÷2=6.5 6.5△7=(6.5+7)÷2=6.75
[例4]如果a⊕b=a×b+a+b,例如3⊕4=3×4+3+4=19,那么当(a⊕2) ⊕1=2时,a=?
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解由题设=(2a+a+2) ⊕+1=29, (3a+2) ⊕1=29,
(3a+2)×1+(3a+2)+1=29 3a+2+3a+2+1=29,
6a+5=29, a=4
按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，并严格按照新运算的要求进行计算。需要注意的是：（1）有括号时，应当先算括号里的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。
练一练：
1. 设a、b都为整数，规定a△b=3×a－2×b,
(1) 求3△2，2△3；
(2) 这个运算“△”有交换律吗？ (3) 求（17△6）△2，17△（6△2）； (4) 这个运算“△”有结合律吗？ (5) 如果已知4△b=2,求b. 2.定义运算※为a※b=a×b－(a+b) (1) 求5※7，7※5 (2) 求12※（3※4），（12※3）※4 （3）这个运算※有交换律，结合律吗？ （4）如果3※（5※x）=3，求x。 3．定义新的运算a♁b=a×b+a+b, (1) 求6♁2,2♁6;
(2) 求(1♁2) ♁3,1♁(2♁3);
(3) 这个运算有交换律和结合律吗?
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