(李忠等编,北大出版)微分中值定理与 Taylor 公式第四章总练习题

1.设y=f(x)在[x0-h,x0+h](h>0)内可导证明存在.,0<<1使得f(x0h)f(x0h)[f(x0h)f(x0h)]h.证令g(x)=f(x0x)f(x0x),x[0,h].g(x)在[0,h]内可导,g(x)f(x0x)f(x0x),g(0)0.根据Lagrange公式,存在(0,1)使得g(h)g(0)g(h)h, 即f(x0h)f(x0h)[f(x0h)f(x0h)]h.2.证明:当x0时,等式x1xx012x(x)x中的(x)满足1/4(x)1/2且lim(x)1/4,lim(x)1/2.证x1x1,2x(x)2x(x)1x1x,x1x4(x(x))2x12x(x1),1411(x)(12x(x)2x),44由算术几何平均不等式得(x)(12x(x1)2x).(x)(12x(x1)2x)(1(xx1)2x).11lim(x)lim(12x(x1)2x).x0x0441lim(x)lim(12x(x1)2x)xx4(12x(x1)2x)(12x(x1)2x)1lim4x(12x(x1)2x)14x4x(x1)111/x4411/x1limlim.4x(12x(x1)2x)4x(1/x2(1/x1)2)21414123x2,0x123.设f(x)求f(x)在闭区间[0,2]上的微分中值定理的中间值.1, 1xxx,0x1f(2)f(0)1/23/21解f(x)1..2022, 1xx211111x,x;2,x2.f(x)在闭区间[0,2]上的微分中值定理的中间值为或2.22x22

4.在闭区间[1,1]上Cauchy中值定理对于函数f(x)x2与g(x)x3是否成立?并说明理由.解由于g(x)3x2有零点0(1,1),Cauchy中值定理的条件不满足.其实其结论也不成立.因为若f(1)f(1)f(c)f(c)0,f(c)2c0，c0,但g(0)0,无意义.g(1)g(1)g(c)g(c)5.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有二阶导数,且f(x)0,x(a,b)又f(a)f(b)0,证明当x(a,b)时f(x)0.证一若存在c(a,b),f(c)0,则由Rolle定理,存在c1(a,c),c2(c,b)使得f(c1)f(c2)0.对于f(x)在[c1,c2]应用定理,存在(c1,c2),使得f()0,此与条件f(x)0,x(a,b)矛盾.证二由假设,f(x)0,x(a,b),根据Darboux定理,f(x)恒正或恒负不妨设.f(x)恒正,于是f下凸,曲线严格在连结(a,f(a))(a,0)(b,f(b))(b,0)的弦下方,故f(x)0,x(a,b).6.设f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)f(b)0,又存在c(a,b)使f(c)0.证明:在(a,b)内至少存在一点x0使f(x0)0.证一由公式,存在c1(a,c),满足f(c1)f(c)f(a)f(c)0,cacaf(b)f(c)f(c)存在c2(c,b),满足f(c2)0.bcca对于f(x)在[c1,c2]应用Lagrange公式,存在x0(c1,c2),使得f(c2)f(c1)f(x0)0.c2c1(b,f(b))(b,0)的弦下方,故f(x)0,x(a,b).证二若不然,f(x)0,x(a,b),f在[a,b]下凸,曲线在连结(a,f(a))(a,0)7.证明方程a0xna1xn1a2xn2在0与1之间有一个根.证考虑函数a0xn1a1xna2xn1f(x)n1nn1f(x)a0xna1xn1a2xn2ana0aa12n1nn-1an1an21anxa0aa121n1nn-1an1anx,21aaaaaan012n1n21n1nn-1f(0)f(1)0.由Rolle定理,存在c(0,1),f(c)0,即c是aaaaaa0xna1xn1a2xn2an012n1nn1nn-121在0与1之间的一个根.

8.设函数f(x)在有限区间(a,b)内可导,但无界,证明f(x)在(a,b)内也无界.逆命题是否成立?试举例说明.证若不然,设f(x)在(a,b)内有界M,取定x0(a,b),则对于任意 x(a,b), 根据 Lagrange 公式,f(x)f(x0)f(c)(xx0),|f(x)||f(x0)f(c)(xx0)||f(x0)||f(c)||(xx0)||f(x0)||M|(ba).逆命题不成立.例如x在(0,1)内有界,0x1,但是x12x在(0,1)内无界.9.若函数f(x)在区间[a,b]上有n个根(一个k重根算作k个根),且存在f(n1)(x),证明f(n1)(x)在[a,b]至少有一个根.(注意:若f(x)可以表示成f(x)(xx0)kg(x)且g(x0)0,则称x0为f(x)的k重根).证我们对于n作归纳法证明函数.f(x)在区间[a,b]上有2个根.如果x0是2重根,则f(x)(xx0)2g(x)且g(x0)0,则f(x)2(xx0)g(x)(xx0)2g(x),f(x)有根x0.如果f(x)在区间[a,b]上有2个不同的根x1,x2,x1x2,在[x1,x2]应用Rolle定理,存在x0(x1,x2),使得f(x0)0.设结论对于n个根的情况成立.现在假定f(x)在区间[a,b]上有n1个根.如果f有n1重根重根x0,则f(x)(xx0)n1g(x)且g(x0)0,则f(x)(n1)(xx0)ng(x)(xx0)n1g(x)(xx0)n((n1)g(x)(xx0)g(x)),(n1)g(x)(xx0)g(x)g1(x),g1(x0)(n1)g(x0)0,f(x)有n重根x0.如果如果f有n1个单重根x1,存在c1(x1,x2),xn1,在区间[x1,x2],,[xn,xn1]上应用Rolle定理,k,cn(xn,xn1])使得f(c1),xk,重数分别为n1,f(cn)0,f(x)至少有n个根.i1如果f有不同的根x1,,nk,n1k1,nin1.在[x1,x2],,ck1(xk-1,xk)使得ki1,[xk1,xk]上应用Rolle定理,存在c1(x1,x2),f(c1)

f(ck1)0.f(x)至少有根k1(ni1)n个.对f(x)用归纳假设,(f(x))(n)f(n1)(x)至少有一个根.1dn2n10.证明:Lerendre多项式Pn(x)n[(x1)]在(1,1)内有n个根.n2n!dx1证f(x)=n(x21)]n,f(1)f(1)0,对于f在[1.1]应用Rolle定理，存在2n!111c1(1,1),使得f(c1)0.f(1)f(1)0(当n1时),对于f在（1，c1)1(c1,1)应用Rolle定理，存在1212c12（1，c1),c2（c1,1)使得f(c12)f(c2)0.如此下去，f(n-1)(x)在

(1,1)有零点c1n1,n1(n-1)n1,cn(1)f(n-1)(1)0，在（-1,c1n1）,(c1n1,c2),1，fn1,(cn1,1)应用Rolle定理, 得到x1,x2,,xn(1,1)使得f(n)(x)Pn(x)0.Pn(x)是n次多项式，至多有n个零点，故Pn(x)恰有n个零点.11.设函数f在(,)内可导,且limf(x)limf(x).证明:必存在一点xxc(,),使得f(c)0.证若f(x)limf(x)limf(x)A.x(,),取任意一点c(,),都有xxf(c)0.设存在f(x0)A,不妨设f(x0)A.根据极限不等式,存在a,b,满足:ab,x0(a,b),f(a)f(x0),f(b)f(x0).f在[a,b]连续,必在一点c[a,b]取最大值. f(c)f(x0)f(a),f(c)f(x0)f(b), 故x0(a,b),x0为极大值点,根据Fermat引理,f(c)0. 12.设函数f(x)在无穷区间(x0,+)可导,且limf(x)0,证明limxf(x)0.xxx证由于limf(x)0,根据极限定义,存在正数x1x0,使得x>x1时|f(x)|<.f(x)f(x1)f(x1)f(c)(xx1)f(x1)(x-x1)|f(x1)|f(x)xxxx|f(x1)||f(x1)||f(x1)||f(x1)|.为使,只需x.令Xmax{x1,},xxf(x)f(x)当xX时,必有2,故lim0.xxx13.设函数f(x)在无穷区间[a,)内连续,且当x>a时f(x)l0,f(a)其中l为常数.证明:若f(a)0,则在区间a,a内方程lf(x)0有唯一实根.证f(a)0,

f(a)f(a)f(a)af(a)f(c)f(a)l0,lllf(a)f在a,a连续,由连续怀念书函数的中间值定理,lf(a)在区间a,a内方程f(x)0至少有一实根.若有两个实根,根据lf(a)Rolle定理,f(x)将在a,a有一零点,这与条件f(x)l0矛盾.l14.设函数f(x)在(,)上可导，且limf(x)0.现令g(x)f(x1)f(x),证明xlimg(x)0.x

xx证limg(x)lim(f(x1)f(x))limf(x)(01)0.x

15.称函数f(x)在[a,b]满足Lipschiz条件,若存在常数L0,使对于任意x1,x2[a,b],都有|f(x1)f(x2)|L|x1x2|.(1)若f(x)在[a,b]连续,则f(x)在[a,b]满足Lipschiz条件(2)(1)中所述事实的逆命题是否成立?(3)举一个在[a,b]上连续但不满足Lipschiz条件的函数.解(1)f(x)在[a,b]连续,存在常数L0,使得|f(x)|L.x[a,b].根据中值公式,对于任意x1,x2[a,b],x1x2,存在c[x1,x2],使得|f(x1)f(x2)||f(c)(x1x2)||f(c)|(x2x1)L(x2x1).(2)否.f(x)在[a,b]满足Lipschiz条件,未必处处可导,更谈不到f(x)在[a,b]连续.例如,f(x)|x|在 [1,1]满足Lipschiz条件,但在0不可导.(3)f(x)x在[0,1]连续,但不满足Lipschiz条件,因其导函数1f(x)在(0,1]无界.2x16.设F(x)在[a,b]可导,且其导函数F(x)f(x)在[a,b]上可积,证明baf(x)dxF(b)F(a).nn证F(b)F(a)(F(xi)F(xi1))F(i)(xixi1)i1i1i1nf(i)(xixi1)f(x)dx(()0).ab{xi}为[a,b]的分割.17.设多项式P(x)a与P(x)b的全部根都是单实根,证明对于任意实数c(a,b),多项式P(x)c的根也全都是单实根.证不妨设a=0,b>0,c(0,b),P(x)是n次多项式,且首项系数为正.P(x)有单实根x1xn,则这些根把实轴分为n1个区间,每个区间保持固定正负号,且正负相间.否则某个根将为极值点,导数为零,此与单实根矛盾.在两个无穷区间保持正号,且严格单调递增或递减,在每个有穷区间有一个最值点,且在其两侧分别递增和递减,设n2k为偶数,则limP(x)=+.设b0且P(x)b有n个单实根x1x.必有xnx1,x2,x3(x2,x3),x1k2,x2k1(x2k2,x2k1),x2k(x2k,),P(xi)b.,x2), 根据连续函数的中间值定理,对于c(0,b),存在c1(,x1),c2(x2,x2,x3),c2k2(x2k2,x2k2),c2k1(x2k1,x2k1),c2k(x2k,),c3(x3使得P(ci)c.P为n次多项式,ci是P(x)=c的所有单实根.