同底指数函数与对数函数的交点问题

关于同底指数函数与对数函数的交点问题

x一、a1时方程alogax的解

xx先求如图3所示曲线ya与ylogax相切时a的值。设曲线ya与ylogax相切

于点M（x0,x0），由于曲线ya在点M处的切线斜率为1，

x0xax0,a0x0,即xx0(a)'|xx01alna1 所以xax0x0,11lna则a1lnax0所以lna 1e,所以aee,此时x0elna即。

以上说明，当a1ee1x时，两条曲线ya与ylogax相切于点M(e,e)。

因此有以下结论： ①当a1ee,方程(*)无解（见图1所示）；

②当1a1ee，方程（*）有且只有两解（见图2所示）；

③当a1ee，方程（*）有且只有一解（见图3所示）。

用计算器可算得

1ee1.44467。

x二、0a1时方程alogax的解

x先求如图5所示曲线ya与ylogax相切时a的值。

x设曲线ya与ylogax相切于点P，由对称性知，点P在直线yx上，设P(x0,y0)。 x由于曲线ylogax(或ya)在点P处切线的斜为1， x0ax0,(logax)'|xx10所以

ax0x0,1xlna1即0

1111,,alnaelnalna即1xx100e lna所以

11a()ex0e。此时，e。 则

111a()e,xe时，两条曲线ya与ylogax相切于点P（ee）。 以上说明，当

因此有以下结论：

10a()ee时，方程（*）有且只有三解（见图4所示）； ①

1a()ee时，方程（*）有且只有一解（如图5所示）； ②当

1()ea1③当e时，方程（*）有且只有一解（如图6所示）。

1()e0.06599用计算器可算出e。由于此数非常小，因此，人们在平时较难观察到这种

较小数值所示的函数图像，这也是人们易产生错误认识的—个重要原因。 综上所述，得：

1a(0,()e)xalogax有且只有三解； e当时，方程1a()e时,方程axlogaxe当有且只有一解； 1a(()e,1)xe当时，方程alogax有且只有一解；

当

1a(1,ee1ee)时，方程axlogax有且只有两解；

当a当

x时，方程alogax有且只有一解；

x时，方程alogax无解。

1a(ee,)