一维非定常连续流动

一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个坐标变量x有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直于x轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。它包括连续流（等熵波）和间断流（激波、接触面）。下面主要介绍连续流。

在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等熵的。

作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生，传播及其简化分析。

一、 小扰动波

1. 产生

小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例如声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速。对介质的扰动形式有很多，但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡。下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波。

在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气体处于静止状态。设活塞在很短的时间内，速度增加至du。此后，它以匀速向右运动。这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰动波的形式向两边传播。这种波通过以后，波后气体均以活塞的速度向右运动。同时，右边气体压力增加一个微量dp，左边气体减小一个微量dp，这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。

上述两类小扰动波得传播过程在(x，t)图上的图示法如下

压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向相反，质点迹线偏离波面迹线。对于运动的气体，压缩波后气体被加速，稀疏波后气体被减速。

图(1-1)

2.传播 定义向右为x轴的正方向，如果气体本身以u（代数值）的速度在运动，则波的传播速度为

(1-1)

定义以速度(u+a)传播的波为“右行波”，以速度(u-a)传播的波为“左行波”。对于右行波而言，气体质点一定从右边（x轴正向）进入波阵面，对于左行波而言，气体质点一定从左边（x轴负向）进入波阵面。

2. 小扰动波的简化物理分析

以一道右行小扰动波为例进行分析。把坐标系取在波阵面上，则变成驻波，波前的气体以(-a)的速度流进波面，而波后的气体以(-a+du)的速度流出波面。

由连续性方程

图(1-2)

略去二阶小量，得

(1-2) (1-3)

小扰动波是一种等熵波，满足下列关系式：

。其微分形式为：

，和

(1-4) 代入上式，可得

(1-5)

对于左行波，则有

(1-6) 二、 特征线方法

在可压缩流体中，有限幅值连续波流动所满足的方程一般是一组非线性偏微分方程，不能再采用小扰动线化方法，否则，将造成较大的误差。特征线法根据数学上特征线所具有的性质，运用数值解法或者图解法，为解决这类问题提供了一种比较简便而实用的计算方法。

1. 基本方程

连续性方程，在等截面管中

(2-1)

动量方程，在忽略体积力和粘性力情况下

(2-2)

能量方程，忽略粘性和热传导作用，流动过程是等熵的，热力学第二定律可写成

(2-3)

状态方程，对于多方气体来说，等熵关系为

(2-4) 有时为了便于应用，可将方程改写成统一用u，a，s参量表示的形式。

(2-5)

(2-6)

(2-7) 2. 特征线及其相容关系

假定上述方程组和(x，t)平面内沿着某一曲线u0，a0，s0的值已知，如果不能单值地决定曲线的u，a，s的值，则表示特征线及其相容关系为 第一族特征线

上各点的附近任意点

是弱间断线，它就是所求的特征线。

(2-8)

(2-9)

第二族特征线

(2-10) (2-11)

第三族特征线

(2-12)

(2-13) 从公式可以看出，气体的流速和热力学参数的扰动沿着第一族和第二族特征线以音速传播。熵的扰动沿着第三族特征线传播，而第三族特征线就是流体质点的运动轨迹，这就表明，对于某一个流体质点而言，在运动过程中熵值保持不变。

在均熵条件下，

，

，因而，在全流场的任何时刻都有

。因此第三族特征线已经失去意义，第一族和第二族特征线简

化为：

第一族特征线

(2-14)

(2-15) (2-1)

第二族特征线

(2-16)

(2-17)

此时特征线相容关系可以直接积分

(2-18) (2-19)

式中

和和

称为黎曼不变量。

代表(x，t)平面上的两族特征线，称为物理平面上的特征

和

在(u，a)平面上构成两族特征线，称为状态平

线，见图(1-3a)；

面特征线，见图(1-3b)。在(x，t)平面上，第一族特征线中的每一根，对应于一个确定的

值，第二族特征线中的每一根对应于一个确定的

值。物理平面特征线表达了小扰动波的位置随时间的变化关系，也就是小扰动波波阵面的运动迹线。其中，第一族特征线对应于右行波，第二族特征线对应于左行波。不过，此时的u，a均不是常数。

图(1-3) 在不同的位置x和时间t，u和a是不同的，可以应用节点法求解流场中气流的速度和音速。

根据类： 第一类：第二类：

和和

均为绝对常数（

和

），此时u和a均为常数。

和

图(1-4) 是否为绝对常数，可以把一维非定常均熵流动分为三

中有一个为绝对常数，称为简单波流动，这是流场中

只有单向传播的波。 第三类：

和

均不是绝对常数，称为双波流。在流场中既有左行波，

也有右行波。

三、 简单波

假定黎曼不变量之一

在整个波区为绝对常数

，可以得到

(3-1)

由于沿着第一族特征线，数u和a等均为常数。

(3-2) 保持不变，可知沿着第一族特征线流动参

(3-3)

由此可以断定，第一族特征线一定是直线，沿着这一族特征线的任何

一根，流动参量保持不变，整个简单波流场只需用(u，a)平面上的一根特征线表示。

1. 简单波的产生和分类

简单波是由无穷多道小扰动波迭加而成的。在图(1-5)所示的一根两端敞开的无限长管中，活塞在静止气体中向右持续加速。活塞右边不断产生小扰动压缩波，当无穷多道压缩波通过后，波后气体压力、音速和质点速度便增加一个有限量。对于右行简单压缩波而言，由于小扰动压缩波连续通过时，后面压缩波的传播速度一定比前面的块，因而波面迹线（第一族特征线）为一族收敛的直线。

图(1-5) 同时，在活塞左边，连续产生小扰动稀疏波，波面迹线（第二族特征线）为一族发散的直线。

图(1-5)中各画出了四道小扰动压缩波和稀疏波的产生过程，其中1-4是一段曲线，表示活塞的加速过程，4点以后为直线，表示活塞作匀速运动，没有非定常波产生。

简单波大致可分为四类：右行稀疏波，右行压缩波，左行稀疏波和左行压缩波。

2. 简单波的基本关系

跨过简单波波面迹线时气体参数之间的关系如下： 对于右行波

(3-4)

对于左行波

(3-5) (3-6)

是速度的任意函数。

若已知简单波波前气流参数u1和a1，求波后参数时，由为常数可得

(3-7) 或

(3-8)

整理后得到

(3-9)

如果波前气体是静止的，

，则有

(3-10)

“+”号表示右行波，“”号表示左行波。

对于波后气流的温度、压力和密度变化，利用等熵关系得

(3-11)

(3-12)

(3-13)

四、 中心稀疏波

在一维非定常简单波中，有一种比较特殊的情况，就是所谓“中心稀疏波”。它的一个重要特点是流场中的速度u和音速a等参数不是单独地依赖于x和t，而是依赖于它们的组合参数x/t，这种运动通常称为“一维自模拟运动”。

1. 中心稀疏波的产生

假定活塞由静止突然向右加速至某一均匀速度，那么，在图中，活塞迹线1-4的长度便缩短为零，即图(1-6)。由图可见，由于活塞突然加速，在(x，t)图的坐标原点发出的所有压缩波汇聚成一道运动激波，向右传播。在活塞左边，同样由坐标原点发出一束左行稀疏波，把它称为中心稀疏波。波头与波尾之间的区域称为中心稀疏波区，波尾与活塞之间的区域属于均匀区，在该区中气流通过中心稀疏波区以后，被等熵地加速到等于活塞的速度；可以是亚音速的，等音速的，也可以是超音速的，究竟属于哪一种情况，完全由活塞的速度决定。

图(1-6) 若要求通过稀疏波以后，气流的速度等于音速(u=a)，所需活塞的速度大小由方程(2-15)在波头和波尾之间积分来确定，即

(4-1)

(4-2) 所以

(4-3)

当活塞速度时，波后气流将被加速到超音速，但是由于极

限速度的存在，波后气流速度最大只能被加速到(逃逸速

度)。使波后气流速度达到逃逸速度的稀疏波称为“完全膨胀的稀疏波”。 2. 中心稀疏波的基本关系式

中心稀疏波是简单波的一种特殊形式，因此，只要令简单波关系式中的任意函数对于右行波

(4-4) ，即可得到中心稀疏波的相应关系式。

对于左行波

(4-5) (4-6)

以左行中心稀疏波为例，可以直接解出u和a的表达式。

(4-7)

(4-8)

(4-9) 由上述公式可见，u和a仅是x/t的函数。

根据中心系数波得基本关系式，可以确定整个波区的范围。波头前面气体u1=0，波尾通过以后，气体速度等于活塞速度，代入公式(4-8)，得到

(4-10) 3. 通过中心稀疏波时气体质点的加速度

气体质点通过左行稀疏波时的速度由(4-8)确定。 加速度可表示为

结合公式(4-9)，可得

(4-11)

(4-12)