涞水县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

一、选择题

1． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ A．1：2：32． 在△ABC中，b=A．

B．2

C．

B．2：3：4或2

2）

C．3：2：4

）

D．2

D．3：1：2

，c=3，B=30°，则a=（

3． 已知函数f(x)2alnxx2x（aR）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（

）D．

11 B． C． 4224． 已知集合Ay|yx5,Bx|yx3,AB（ ）

A．

A．1, B．1,3 C．3,5 D．3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．5． 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ A.ye

x）

C.ylnx

D.yxB.yx

）

B．∃x∈R，x2﹣2x+3≤0

36． ∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（ A．不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0

C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0D．∀x∈R，x2﹣2x+3＞0

7． 设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）

8． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ A．512个

）

B．256个

C．128个）

D．64个

）

9． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（

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A．12+B．12+23πC．12+24πD．12+π

）

10．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，A．

B．﹣

C．2

D．﹣2

），则f（2）的值为（

二、填空题

11．（lg2）2+lg2•lg5+

的值为　　　　　　．x2x,x0,12．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数fx{x在其定义域上恰有两

lnx,x0a个零点，则正实数a的值为______．

3413．若复数zsin(cos)i是纯虚数，则tan的值为 .55【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．

14．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.

15．在正方形ABCD中，ABAD2,M,N分别是边BC,CD上的动点，当AMAN4时，则MN的取值范围为 和基本运算能力．

．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想

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16．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少　　　　　　cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）

三、解答题

17．（本小题满分16分）

在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量hx（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式hxfxgx（3x7，m为常数），其中fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.（1） 求hx的表达式；

（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

18．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1（Ⅰ）求f（x）在区间[0，

]上的最大值；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．

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19．已知函数f(x)xaxax1，a0．（1）当a2时，求函数f(x)的单调区间；

（2）若关于的不等式f(x)0在[1,)上有解，求实数的取值范围．

32220．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=

1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；2为

f1

（

x

）

，

f2

（

x

）

的

“

活

动

函

数

”

．

已

知

函

数

（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（

x

）

11，fx1ax22ax1-a2lnx,.fx2x22ax。若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x）

22f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．

21．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1x．（a∈R，e为自然对数的底数）

（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在0,





1

上无零点，求a的最小值；2

（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，

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求a的取值范围．

22．（本小题满分12分）（1）求向量与的夹角；

已知向量a,b满足：|a|1，|b|6，a(ba)2.（2）求|2ab|.

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涞水县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，则球的体积V球=圆柱的体积V圆柱=2πR3圆锥的体积V圆锥=

故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：故选D

【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．　

2． 【答案】C【解析】解：∵b=∴解得：a=

或2

，c=3，B=30°，

，整理可得：a2﹣3

a+6=0，

．

∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：3=9+a2﹣3故选：C．　

3． 【答案】A【解析】

：

=3：1：2

2x22x2a2试题分析：由题意知函数定义域为(0,)，f(x)，因为函数f(x)2alnxx2xx'2（aR）在定义域上为单调递增函数f(x)0在定义域上恒成立，转化为h(x)2x2x2a在(0,)1恒成立，0,a，故选A. 1

4'考点：导数与函数的单调性．4． 【答案】D

【解析】Ay|y5,Bx|y5． 【答案】B 【解析】

试题分析：对于A，ye为增函数，yx为减函数，故ye为减函数，对于B，y'3x0，故yxxx23x3x|x3,AB3,5，故选D.

为增函数，对于C，函数定义域为x0，不为R，对于D，函数yx为偶函数，在,0上单调递减，

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在0,上单调递增，故选B.

考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.6． 【答案】C

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+3≤0．故选：C．　

7． 【答案】A

【解析】解：令f（x）=x3﹣∵f′（x）=3x2﹣∴f（x）=x3﹣

ln=3x2+在R上单调递增；

，

ln2＞0，

又f（1）=1﹣=＞0，f（0）=0﹣1=﹣1＜0，∴f（x）=x3﹣

的零点在（0，1），

∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），∴x0所在的区间是（0，1）．故答案为：A．　

8． 【答案】D

【解析】解：经过2个小时，总共分裂了故选：D．

【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．　

9． 【答案】C

【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，其表面积为

S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×=12+24π．故选：C．

﹣π×）+×8π]=6次，

则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个．

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【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．　

10．【答案】A

【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，∴α=，即f（x）=故f（2）=故选：A．　

=

，

，

）代入可得

=

α

，

二、填空题

11．【答案】　1　．

【解析】解：（lg2）2+lg2•lg5+故答案为：1．　

12．【答案】e=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，

x2xx0【解析】考查函数fx{，其余条件均不变，则：

axlnx当x⩽0时,f（x）=x+2x，单调递增，f（−1）=−1+2−1<0,f（0）=1>0，

由零点存在定理,可得f（x）在（−1,0）有且只有一个零点；则由题意可得x>0时,f（x）=ax−lnx有且只有一个零点，

lnx有且只有一个实根。xlnx1lnx令gx，,g'x2xx即有a当x>e时,g′（x）<0,g（x）递减;当00,g（x）递增。即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为

1，e如图g（x）的图象,当直线y=a（a>0）与g（x）的图象只有一个交点时,则a1.e第 8 页，共 19 页

回归原问题，则原问题中ae.

点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．

（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．13．【答案】3434430，且cos0，所以cos，则tan.5554【解析】由题意知sin14．【答案】【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且

11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.

32考点：几何体的三视图与体积.15．【答案】[2,2]（0£x£2，0£y£2）上的点(x,y)到定点(2,2)的距离，其最小值为2，最大值为2，故MN的取值范围为[2,2]．

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yD2NCMA16．【答案】　10　cm

B2x【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B=故答案为：10．

=10cm．

【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．　

三、解答题

17．【答案】（1） hx101324x7 （3x7）（2） x4.3x33第 10 页，共 19 页

试

题解析：（1） 因为fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比，

k12 所以可设：fx，gxk2x7，.k10，k20，x3k12k2x7则 ………………………………………2分则hxfxgxx3因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套

k14k221k1102所以，h521,h3.569，即，解得：， ……………6分

k44922kk691241024x7 （3x7） 所以，hx………………………………………8分x31024x7， （2） 由（1）可知，套题每日的销售量hxx3第 11 页，共 19 页

答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分考点：利用导数求函数最值18．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+2×=sin2x+cos2x=

sin（2x+

]，，=

]，

时，f（x）min=

sin（

+…6分）=1，

），﹣1

∵x∈[0，∴2x+∴当2x+

∈[

，即x=

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=∴sin（

+

）=

，

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∴∴B=

+=，

，

由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．　

19．【答案】（１）f(x)的单调递增区间是,2和【解析】

试题分析：（１） a2时，利用导数与单调性的关系，对函数求导，并与零作比较可得函数的单调区间；（２） 对函数求导，对参数分类讨论，利用函数的单调性求函数的最小值，使最小值小于或等于零，可得的取值范围．试题解析：（1）当a2时，f(x)x2x4x1，

3222,，单调递减区间为(2,)；（２）[1,)．

33所以f'(x)3x4x4(3x2)(x2)，由f'(x)0，得x22或x2，323所以函数f(x)的单调递减区间为(2,)．

（2）要使f(x)0在[1,)上有解，只要f(x)在区间[1,)上的最小值小于等于0．因为f'(x)3x2axa(3xa)(xa)，令f'(x)0，得x122a0，x2a0．1 3第 13 页，共 19 页

考点：导数与函数的单调性；分类讨论思想． 20．【答案】（1）fxmaxe21111,fxmin. （2）a的范围是, .

22241x2112'xx0，∴f（x）在区间[1，e]上为【解析】试题分析：（1）由题意得 f（x）=x+lnx，fxx2增函数，即可求出函数的最值．

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试题解析：

（1）当

时，

，

；

对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，∴

，

．

（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令

＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，

且h（x）=f1（x）﹣f（x）=∵若

，令p′（x）=0，得极值点x1=1，

，

＜0对x∈（1，+∞）恒成立，

当x2＞x1=1，即 时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，

此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；若

，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，

从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 所以

≤a≤．

，

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又因为h′（x）=﹣x+2a﹣h（x）＜h（1）=综合可知a的范围是[

=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，

+2a≤0，所以a≤

，

]．

21．【答案】（1） f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f（x）在0,上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（3）a的范围是,2

1 2

3.e1【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间；（Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，

11）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞220恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；

试题解析：

（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2．

故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2）因为f（x）＜0在区间故要使函数只要对任意的

上恒成立不可能，

上无零点，

，f（x）＞0恒成立，即对

恒成立．

令，则，

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再令则

从而，l（x）＞0，于是l（x）在故要使

，

，故m（x）在

上为增函数，所以

上为减函数，于是

，

，

恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），

综上，若函数f（x）在0,



1

 上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；2

（3）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，

当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；

当a≠2时，f′（x）=当x=

时，f′（x）=0．

，即

，x∈（0，e]

由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故①

此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：xf′（x）f（x）

（0，﹣↘

）

0最小值

（+↗

，e]

又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞，

，

所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：

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即

令h（a）=则h

，

，令h′（a）=0，得a=0或a=2，

故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当

所以，对任意即②对任意由③式解得：

时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．

，有h（a）≤h（0）=0，恒成立．．④

综合①④可知，当a的范围是,23 时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的e1xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立．22．【答案】（1）【解析】

3；（2）27．

试题分析：（1）要求向量a,b的夹角，只要求得这两向量的数量积ab，而由已知a(ba)2，结合数量

22积的运算法则可得ab，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式aa，把

考点：向量的数量积，向量的夹角与模．

【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计

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ab算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式cosa,b求得这两个

ab向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在[0,]内及余弦值求出两向量的夹角．

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