高一数学组 沈继峰
新课程改革中要求高中生学点数学史。数学史告诉我们现代数学是建立在集合论这一基石上的。而关于集合论中的“罗素悖论”导致了第三次数学危机的产生。那么到底什么是悖论呢？
“悖论”这个词的含义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论。它有三种形式。
1、 一种论断看起来好像是错了，但实际上却是对的。这是一种似非而是的论断（佯谬）。
2、 一种论断看起来好像是对的，但实际上却是错的。这是一种似是而非的论断。 3、 导致逻辑上自相矛盾的论断。 悖论具有重要的哲学意义和数学意义。从古希腊的芝诺提出悖论开始，一直到罗素的关于集合论的悖论，都对数学理论的发展起了巨大的推动作用。
一、 罗素悖论 把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有： P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问，Q∈P 还是 Q∈Q？ 若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=∅，所以Q∉Q，还是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论。 一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
理发师悖论与罗素悖论是等价的。 因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
罗素悖论导致了逻辑上的自相矛盾，是第三种形式的悖论。
二、 选举悖论
选举悖论也叫阿洛悖论，这个悖论是这么说的。
假定有张、王、李三个同学竞选学生会主席。民意测验表明，两两比较，选举人中有2/3愿意选张不愿意选王，有2/3愿意选王不愿意选李。问：关于张和李我们应该得出什么结论呢？是不是愿意选张而不愿意选李的人多一些呢？
答案是：不一定！如果选举人按照表那样对候选人进行排序，就会引起一个惊人的第二种类型的似是而非的悖论。
1/3 1/3 1 张 王 2 王 李 3 李 张 1/3 李 张 王 现在，我们对他们进行两两的比较。 张和王的民意测验情况是：张有两次排在王的前面，而王只有一次排在张的前面，因而张可以说，选举人中有2/3的人喜欢我。
王和李的民意测验情况是：张有两次排在王的前面，而王只有一次排在张的前面，因而张可以说，选举人中有2/3的人喜欢我。
李和张的民意测验情况是：张有两次排在王的前面，而王只有一次排在张的前面，因而张可以说，选举人中有2/3的人喜欢我。
这就出现了一个令人惊讶的悖论：多数选举人选张优于选王，多数选举人选王优于选李，还是多数人选李优于选张。这就像那个不可能的楼梯一样。
在日常生活中，许多关系都是可以传递的。例如，大小关系。A>B，B>C，就可以推出A>C。还有上下关系，前后关系，左右关系等等。这些关系都具有传递性。这就使人们以为“好恶”关系也是可以传递的。但事实上，“好恶”关系是不可以传递的。
这个悖论可追溯到十八世纪，它是一个非传递关系的典型，这种关系在人们作两两对比选择时可能产生。
这条悖论有时称作阿洛悖论。肯尼思·阿洛曾根据这条悖论和其他逻辑理由证明了，一个十全十美的民主选举系统是不可能是实现的。这就是说，不存在公平合理的选举系统。这是一个非常深刻的结论，但更加有悖于常理：天下竟然无公！这个结论告诉我们，只有更公，没有最公。
关于悖论，还有很多有趣的故事。更多关于悖论的故事及知识请参考：http://wenku.baidu.com/view/53b0b6ec4afe04a1b071def8.html
参考：1、百度百科 罗素悖论（http://baike.baidu.com/view/34072.htm）
2、《数学的源与流》 张顺燕 高等教育出版社 2009.9
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