误差理论与数据处理费业泰-课后答案全

第一章 绪论

1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少

【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的

绝对误差＝测得值－实际值＝－＝－（ Pa）。

相对误差=

0.3100%0.3% 100.52

2

1-9 使用凯特摆时，g由公式g=4π（h1+h2）/T给定。今测出长度（h1+h2）为（±）m，振动时间T为（±）s。试求g及其最大相对误差。如果（h1+h2）测出为（±）m，为了使g的误差能小于0.001m/s，T的测量必须精确到多少

【解】测得（h1+h2）的平均值为（m），T的平均值为（s）。

2

42由g2(h1h2),得：

T422g1.042309.81053(m/s) 22.0480当(h1h2)有微小变化(h1h2)、T有T变化时，令hh1h2 g的变化量为：

gg4282g(h1h2)T2(h1h2)3(h1h2)T(h1h2)TTT42T[(hh)(h1h2)]122TT2

gg4282ghT2h3hThTTT 242T2(hh)TTg的最大相对误差为：

242T2Th]h]2[h2[hgTTh2TTT422(hh)422hghT12 TT0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.042302.048042如果(h1h2)测出为（±）m，为使g的误差能小于0.001m/s，即：g0.001

2

422T(h1h2)]0.001 也即 g2[(h1h2)TT422T0.00051.042200.00122.04802.0480T 0.00051.01778T0.00106求得：

T0.00055(s)

1-10. 检定级（即引用误差为%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差

2V为最大误差，问该电压表是否合格

【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：

rmVUm22% 由于： 2%<% Um100所以该电压表合格。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高 解：

多级火箭的相对误差为： 0.10.000010.001%

10000

射手的相对误差为： 1cm0.01m0.00020.002%

50m50m

多级火箭的射击精度高。

o

附加1－1 测得某三角块的三个角度之和为18000’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：

绝对误差等于： 180o0002180o2相对误差等于：

222＝0.000003086410.000031% o1801806060648000

第二章 误差的基本性质与处理

2-2. 试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差，两者物理意义和实际用途有何

x

不同 【解】

单次测量的标准差表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。1222Ln2n 算术平均值的标准差是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作

x

为算术平均值不可靠性的评定标准x n1，当测n在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的量次数n愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。

2-3. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在2,2中的概

率。

【解】（1）误差服从正态分布时

P(2)1222e2(22)d2220e2(22)d

引入新变量t:t,t,经变换上式成为：

t22P(2)22e0tdt2(t)20.41950.8484%

（2）误差服从反正弦分布时

因反正弦分布的标准差为：a2，所以区间2,2a,a,

故: P(2)1a21a2ad1

（3） 误差服从均匀分布时

因其标准差为：a22a,a，故 ，所以区间2,23332a32a31P(2)112d2a0.8282% 2a2a32-4. 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为，，，，，，，，求其算术平均值及其标准

差。

【解】①选参考值x0中。

236.00，计算差值xixi236.00、x0和残差vi等列于表

18或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得： xxi236.43(g)

8i1②计算标准差：用贝塞尔公式计算：vi1n2in10.02510.06(g) 81x0.060.02 n82－6 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为，，，，

。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 解：

I5Ii15i5168.49(mA)

5(Ii1iI)51I)0.08 x0.080.04 n523(Ii15i5120.080.05 R0.67450.02

x345(Ii1iI)5140.080.06 T0.79790.03

x52—7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为

20．0015，，，，。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。 解：

n①求算术平均值

li

xi120.0015mm n②求测量列单次测量的标准差

用贝塞尔公式计算：vi1n261082.55104mm n142i用别捷尔斯公式计算：'1.253③求算术平均值的标准差

vi1nin(n1)1.2530.00082.24104mm 542.55104x＝1.14104mm

n5'2.24104x'＝0.0001

n5④求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差

做法1 ：

因n＝5 较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。 现自由度为：ν＝n－1＝4； α＝1－＝， 查 t 分布表有：t＝ 单次测量的极限误差：

limxt4.602.551041.1731031.17103mm

算术平均值的极限误差：

limxtx4.601.141045.24104mm

⑥写出最后测量结果 Lxlimx20.00155.24104mm做法2 ：

因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=，查正态分布积分表，

得置信系数 t2.6 单次测量的极限误差：

limxt2.602.551046.631040.00066

算术平均值的极限误差：

limxtx2.601.141042.9641040.0003

⑥写出最后测量结果

Lxlimx20.00150.0003mm

2－10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为时，应测量多少次 解：根据极限误差的意义，有

txt根据题目给定得已知条件，有

0.0015 ntn查教材附录表3有

若n＝5，v＝4，α＝，有t＝，

0.00151.5

0.001tn若n＝4，v＝3，α＝，有t＝，

2.782.781.24 2.23653.181.59 2tn3.184即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-11 已知某仪器测量的标准差为μm。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm，试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值（单位为mm）为，，，，，，，，，，试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。

解：① 单次测量的极限误差以3σ计算:

limx330.51.5(m)0.0015(mm)

所以测量结果可表示为：± (mm)

② 重复测量10次，计算其算术平均值为：xxi110i26.2025(mm)

取与①相同的置信度，算术平均值的标准差: x0.0005＝1.5810-4mm n10limx3x31.5810-44.7410-4510-4mm

则测量结果为：x3x26.20250.0005 (mm)

③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依10次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参考值x026.202，计算差值xixi26.202、x0和残差vi等列于表中。

用贝塞尔公式计算：vi1n421082.2104mm n11012i2.2104＝0.00007mm 算术平均值的标准差：xn10取与①相同的置信度，则测量结果为：xi此时①的测量结果为

3

26.202530.0002226.20250.0006626.20250.0007(mm)；

②的测量结果为

26.202530.0000726.20250.0002126.20250.0002 (mm).

2-13 测量某角度共两次，测得值为α1=24°13’36”，α2=24°13’24”，其标准差分别为σ1=3.1”，σ2=13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。

【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。

p1:p2取：

111111:::19044:961 2222123.113.89.61190.44p119044,p2961

2413'36''，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：

选取00pii1mmi2413'36''pi1190440961(12'')

19044961i2413'35.4''加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差：

v10.6'',v211.4''

算术平均值的标准差为：

xpvi1m2ixim(m1)pii1190440.62961(11.4)26.6''

(21)(19044961)2-15. 试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。

【证明】因为等精度测量，可设n个测得值的标准差均为，且其算术平均值的标准

差为：x n又设各测量值的权相等，即：均值的权为

p1p2pip0。n

个相等精度测得值的平

px，则：n个相等精度测得值的平均值的权

px与各测得值的权

pi(i1,2...n)的比为px:pi1x2i2:1n1:n:1

pxnpi

2-17 对某量进行10次测量，测得数据为，，，，，，，，，，试判断该测量列中是否存在系统误差。

解：先计算算术平均值：x14.96。各测量数据的残余误差分别为：

v10.26v60.36v20.04v70.06v30.24v80.16v40.16v90.14v50.54v100.04

① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显着变化规律，

因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。

② 采用不同公式计算标准差比较法。

按贝塞尔公式：1vi1n2in10.6240.263 101用别捷尔斯法计算：21.253vi1nin(n1)1.25320.264

109令：

20.2641.0041 10.263220.6670.004，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 n1101因为：③ (马利科夫准则)按残余误差校核法：前5个残余误差和与后5个残余误差的差值△为

vivj0.4(0.4)0.8

i1j6510两部分之差显着不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。 ④阿卑-赫梅特准则

uvvi1n1ii10.260.040.040.240.240.160.160.540.540.360.360.060.060.160.160.140.140.04

0.30560.3n1290.26320.21 un120.21

所以测量列中含有周期性系统误差

（为什么会得出互为矛盾的结论问题出在本题给出的数据存在粗大误差----这就提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。）

2-18、对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后4次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）： ，，，； ，，，，，

试判断前4次和后6次测量中是否存在系统误差。 【解】

将两组数据混合排列，用秩和检验法有：

n14,n26,T5.5791031.5QT14,T30,TT所以有根据怀疑存在系统误差

2-19 等精度测得某一电压10次，测得结果（单位为V）为，，，，，，，，，。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V）为，，，，，，，，，。试用t检验法（取α=）判断两组测量值之间是否有系统误差。 【解】计算两组测量结果的算术平均值：

x1x26.001101(xix)20.0015510y2Sx1y25.9711012Sy(yiy)20.0021510

t(26.00125.971)1010(10102)1.48

(1010)(100.00155100.00215)由ν=10+10-2=18及取α=，查t分布表，得t因

2.1

t1.48t2.1，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。

2-20. 对某量进行了12次测量，测得数据为，，，，，，，，，，，，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。 【解】先计算算术平均值：xxi112i20.125。各测量数据的残余误差分别为：

v40.045v100.055v50.025v110.085v60.005v120.065v10.065v70.015v20.055v80.015v30.065v90.055

① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。

②(马利科夫准则)按残余误差校核法：前6个残余误差和与后6个残余误差的差值△为

vivi0.260.260.52

i=1i=7612两部分之差显着不为0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。 ③ 采用不同公式计算标准差比较法。

按贝塞尔公式： 1vi1n2in10.03210.054

121用别捷尔斯法计算： 21.253vi1nin(n1)1.2530.550.06

1211u20.06110.11 10.054220.6030.11，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 n1121④阿卑-赫梅特准则

n1i1uvivi10.02 n1110.0540.01

n12，所以测量列中含有周期性系统误差

22因为：u（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢）

2－21 对某量进行两组测量，测得数据如下：

试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统

x 误差。

y 解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列

成下表： i i T xi yi T xi yi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

T=1+2+5+6+7+8+9++12+14+15+18+20++25=174 因n1n21510，秩和T近似服从正态分布，N(n1(n1n21),n1n2(n1n21))

212n1n2(n1n21)n1(n1n21))24.11求出： )232.5；(122tTa由 a(2.43

选取概率2(t)0.95，即(t)0.475，查教材附表1有t因此，可以认为两组数据间有系统误差。

1.96。由于tt，

选取置信概率99%（显着度），即取(t)0.495，由附录表1查得：t由于

2.60。

t2.43t2.60，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。

2-22 对某量进行15次测量，测得数据为，，，，，，，，，，，，，，，若这些测得值已消除系统误差，

试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。

【解】将有关计算数据：平均值、残差vi等列于表中：

直接求得15个数据的算术平均值及其标准差：

115xxi28.5715i1vi115in10.98030.265

151

① 用莱以特准则判别粗大误差 因

v40.9530.795，故第4个测量数据含测量误差，应当剔除。

再对剩余的14个测得值重新计算，得：

1xi28.50'14i13'30.03370.1011x'14v'ii1142n10.01480.0337

141由表知第14个测得值的残余误差：v'(14)0.1730.1011，故也含粗大误差，应剔除。

再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。

② 用格罗布斯准则判别 已经计算出15个测量数据的统计特征量： x28.57,0.265。

将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：

x(1)28.40,xx(1)28.5728.40.17x(15)29.52,x(15)x29.5228.570.95

2-26 对某被测量x进行间接测量得：其权分别为5:1:1，2x1.44,3x2.18,4x2.90，试求x的测量结果及其标准差 【解】x11.442.182.900.72,x20.727,x30.725, 234选取p15,p21,p31

可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：

x0.725010.00710.0050.722

511vx1x1x0.002,vx20.005,vx30.003

加权算术平均值的标准差的计算，先求残余误差：

算术平均值的标准差为：

xpvi1m2ixim(m1)pii150.002210.005210.00320.002

(31)(511)limx3x30.0020.006x0.7220.006

22-28 测量圆盘的直径D(72.0030.052)mm，按公式计算圆盘面积SD/4，由于选取的有效数字位数不同，将对面积S计算带来系统误差，为保证S的计算精度与直径测量精度相同，试确定的有效数字位数 【解】测得D的平均值为72.003mm 由SD24,得：

422g1.042309.81053(m/s) 22.0480当D有微小变化D、有变化时，S的变化量为：

SSDD2SDDD243.141672.00372.00320.052(0.052) 2472.00320.052m5.881340.00450.004取4位有效数字

第三章 误差的合成与分配

3-2 为求长方体体积V，直接测量其各边长为：a161.6mm,b44.5mm,c11.2mm，已知测量的系统误差为a1.2mm,b0.8mm,c0.5mm，测量的极限误差为

a0.8mm,b0.5mm,c0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。 【解】立方体体积：Vabc，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：

V0abc161.644.511.280541.44(mm3)

体积V的系统误差为：

考虑测量系统误差后的立方体体积：

又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：

3故测量结果为：VlimV77795.703729.1(mm)

3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。试求体积的标准差。

解：长方体的体积计算公式为：Va1a2a3 体积的标准差应为：V(V22V22V22)1()2()3 a1a2a3现可求出：

VVVa2a3；a1a3；a1a2 a1a2a3若：123 则有：V(V22V22V22V2V2V2)1()2()3()()() a1a2a3a1a2a3(a2a3)2(a1a3)2(a1a2)2

若：123 则有：V22(a2a3)212(a1a3)22(a1a2)23

3-4 测量某电路的电流I22.5mA，电压U12.6V，测量的标准差分别为

I0.5mA,U0.1V，求所耗功率PUI及其标准差P。

【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为：

PUI12.622.51030.2835W

PI22.5103U且U、I完全线性相关，故P=1，所以

PU12.6 IP(P22P22PP)U()I2UIUIUI(22.5103)20.1212.62(0.5103)2222.510312.60.10.5103 8.55103(W)若电压、电流的测量结果相互独立，则所耗功率标准差为

P(P22P22)U()I(IU)2(UI)2UI

(22.51030.1)2(12.60.5103)236.695006251036.69103(W)23-6 已知x与y的相关系数xy1，试求uxay的方差u。

2【解】属于函数随机误差合成问题。

2

3-12 按公式V=πrh求圆柱体体积，若已知r约为2cm，h约为20cm，要使体积的相对误差等于1％，试问r和h测量时误差应为多少 解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为

Vr2h3.142220251.2cm3

根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：

V即V1%251.21%2.51 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r的误差应为：

1%

r12.5110.007cm

V/r1.412hr2测定h的误差应为：

h12.5110.142cm 22V/h1.41r3-10 假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T，重力加速度可由公式 g出。若要求测量的相对标准差g

g

T2Lg给0.1%，试问按等作用原则分配误差时，测量L和T的相对标准差应该是多少？

L 解：由重力加速度公式，T2得， g 42LTg2

42Lg2T

因为， 2g42LT

2g8L3 TT

因为测量项目有两个，所以n2。按等作用原理分配误差，得 42Lg1gT2gggL1gLL22g44ggn2222LL1g10.1%0.07072%L2g2 同理，

42LTg1gT3gT2TgggT1gTT222ng28L28L28L22g22gT1g1|T|0.1%0.03536%T22g22 综上所述，测量L和T的相对标准差分别是 0.07072%和0.03536%。

第四章 测量不确定度

评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为

1） 分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显着的不确定度分量。 2） 评定标注不确定度分量，并给出其数值ui 和自由度vi 。 3） 分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数ρij 。

4） 求测量结果的合成标准不确定度，则将合成标准不确定度uc 及自由度v .

5） 若需要给出展伸不确定度，则将合成标准不确定度uc 乘以包含因子k，得展伸不确定度U=kuc 。

6）给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值y及合成标准不确定度uc 或展伸不确定度U，并说明获得它们的细节。 根据以上测量不确定度计算步骤。

4—1 某圆球的半径为r，若重复10次测量得r±σr =±cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。 【解】①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度

已知圆球的最大截面的圆周为：D2r

D2其标准不确定度应为：urr222r243.1415920.0052

＝0.0314cm

确定包含因子。查t分布表（9）＝，及K＝ 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：

U＝Ku＝×＝

②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为：V4r3 3其标准不确定度应为：

V2urr24r222r163.1415923.13240.00520.616

确定包含因子。查t分布表（9）＝，及K＝ 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为

U＝Ku＝×＝ 4-3 测量某电路电阻R两端的电压U，由公式IUR算出电路电流I。若测得

UU(16.500.05)V、RR(4.260.02)，相关系数UR0.36，试求电

流I的标准不确定度。 【解】IU/R

I1URIU2RR

UI(I22III)u()2R22URuRURUR1U21U220.050.022UR0.050.02 242RRRR0.024-6 某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其2V量程的测量误差不超过

-6-6

±(14×10 读数+1×10×量程)V，相对标准差为20％，若按均匀分布，求1V测量时电压表的标准不确定度；设在该表校准一年后，对标称值为1V的电压进行16次重复测量，得观测值的平均值为，并由此算得单次测量的标准差为，若以平均值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量，说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。 【解】（1）测量误差 根据相对标准差为20% 由B类评定，根据12(uu12.5，V服从均匀分布， )2且2V量程测量误差(1410读数110量程)，所以在区间（x-a,x+a）中

66a1410611062161061.6105a1.6105ux9.24106

33

一年后，对标称值为1V的电压进行16次重复测量

X0.92857VX0.000036V

（2）不确定度评定

影响测量结果不确定度的主要来源： A 16次重复测量误差 B 电压表的示值误差 C 电压表的稳定度

A测量重复误差引起的不确定度

V0.92857V0.000036V

V160.000009V电压重复性引起的标准不确定度ux1属于A类评定

ux1V91069V自由度：1=16-1=15

B 标准电压表的示值误差引起的标准不确定度ux2 示值误差按均匀分布计算，属于B类评定

141061ux28.081063C 稳定度引起的标准不确定度ux3

自由度：2=12()2u1=12.5

2(20%)电压表稳定度按均匀分布，属B类评定

11062ux38.081063合成标准不确定度

自由度：3=12.5

ucux12ux22ux32(9106)2(8.08106)2(1.15106)228.010628.0V自由度：cux141uc4ux242ux3428.010628.0V

34-9 用漏电测量仪直接测量正常使用中微波炉的泄漏电流，5次测量的平均值为,平均值的标准差为;已知漏电测量仪的示值误差范围为5%,按均匀分布，取相对标准差为10%;测量时环境温度和湿度的影响范围为2%,按三角分布，其相对标准差为25%;试给出

泄漏电流测量的不确定度报告（置信概率为99%）。 【解】

（1）不确定度评定

对泄漏电流测量不确定度影响显着的因素有： A 泄漏电流测量重复性引起的不确定度u1 B 示值误差引起的不确定度u2 C 环境温度与湿度引起的不确定度u3 求u1、u2、u3A测量重复误差引起的不确定度

u10.001mA1AV514

示值误差（均匀分布）：

u2a0.3205%mA9.24A3322(1u2u2)2150

2(10%)2环境温度（三角分布）：

u3a0.3202%2.61103mA2.61A6632(1u)2318

2(25%)2u3（2）不确定度合成

因不确定度各个分量相互独立，即ij0，合成的不确定度为：

ucu12u22u32129.2422.6129.65V0.00965mA

自由度：cu141uc4u242u3457.1

3根据“三分之一准则”，对标准不确定度进行修约得

uc0.010mA10A

（3）展伸不确定度

取置信概率P99%，=57，查t分布表，得t0.99(57)2.68，

 泄漏电流测量的展伸不确定度为

Ukuc2.689.6525.8620.025862mA

根据“三分之一准则”，对展伸不确定度进行修约得

U0.026mA26A

（4）不确定度报告

1）用合成标准不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：

I0.320mAuc10A57.1

2）用展伸不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：

I(0.320mA0.026)mAP0.9957

第五章 最小二乘法原理

参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾： 由误差方程 V  LAX且要求VV最小，则：

TVTV(LAX)T(LAX)(LTXTAT)(LAX)LTLLTAXXTATLXTATAX令其等于f(X),要f(X)最小，需其对应偏导为0：

所以： dTTTTTT f(X)LALA(AAX)XAA0dX TTTTTLAXAAALAAX X(ATA)1ATL理论基础： ddf(X)]T Tf(X)=[dXdX

dd d[f(X)g(X)]=g(X)[f(X)]f(X)[g(X)] dXdXdX5-1 由测量方程

3xy2.9x2y0.92x3y1.9

试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。 【解】方法一（常规） 1、列出误差方程组

v12.9(3x2y)v20.9(x2y) v1.9(2x3y)3V＝(2.9(3xy))2ii＝132(0.9(x2y))2(1.9(2x3y))2

分别对x,y求偏导，并令它们的结果为0

2((3xy)2.9)32((x2y)0.9)2((2x3y)1.9)20

2((3xy)2.9)2((x2y)0.9)22((2x3y)1.9)30即：14x5y13.4

5x14y4.6由上式可解得结果：x= y=

2. 直接列表计算给出正规方程常数项和系数

i ai1 ai2 ai21 ai22 ai1ai2 li ai1li ai2li

1 2 3 3 1 2 1 -2 -3 9 1 4 1 4 9 3 -2 -6 -5 ---  --- --- 14 14 可得正规方程

14x5y13.45x14y4.6将x,y的结果代入分别求得：

v12.9(30.9626＋0.0152)＝0.003v20.9(0.962620.0152)＝0.0322v1.9(20.9626－30.0152)＝0.02043

v32iv12v22v32(0.003)2(0.0322)2(0.0204)2得，

i10.00146由题已知，n3，t2得

32iv11.46103nt320.0382 由不定乘数的方程组

14d115d121 14d215d220 5d1114d1205d2114d221解得d110.0819d220.0819



xd110.03820.08190.0109yd220.03820.08190.0109方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程

VLAXv12.9(3x2y) v20.9(x2y)v31.9(2x3y)上式可以表示为

v1l131vl2212x 即 v3l323yv1l131Vv2Ll2.920.9A12v3l31.923可得：XxC1ATL(ATA)1yATL

式中：

Xxy

C1(ATA)1313121212323所以：

－1145114551451411451145

145171145xXC1ATLy2.92.911453121474130.90.9 1711451231712923321.91.91164.60.9626＝0.01522.6171即解得，x0.9626

y0.0152将最佳估计值代入误差方程可得，

v1l131xVLAXv2l212yvl2333

2.9310.00300.9626120.90.03220.01521.9230.0204将计算得到的数据代入式中

v131.4610－30.0382 nt3-22i2)。 为求出估计量x,y的标准差，首先求出不定常数dij(i，j1，由已知，不定常数dij的系数与正规方程的系数相同，因而dij是矩阵C中各元素，即

1d1145dC11112 d21d22171145则

140.0819171

14d220.0819171d11可得估计量的标准差为

xd110.03820.08190.0109yd220.03820.08190.0109

5-5 测力计示值与测量时的温度t的对应值独立测得如下表所示。 t/C F/N 15 18 21 24 27 30 设t无误差，F值随t的变化呈线性关系Fk0kt，试给出线性方程中系数k0和k的最小二乘估计及其相应精度。

解法一：利用矩阵求解，误差方程VLAX可写成

v1l11vl122v3l31v4l41v5l51v6l61151821k024k2730 即

v1v2vV3v4v5v6可得Xl143.61l43.632l43.68L3l43.714l543.74l43.786111A111151821242730kX0

kk01TT1TCAL(AA)AL k式中

C1(ATA)1115118－11111111216135= =15182124273012413531951271303195135１3195135１==6135135694561351353195所以

1kX0C1ATLk43.6143.63１319513511111143.6815182124273043.71

135694543.7443.7843.43240.01152

将最佳估计值代入误差方程VLAX,得

v1l11vl122v3l31V－v4l41v5l51v6l61150.00480.00976182143.43240.005680.00112 240.011520.0034427300.002

为求出估计量k0，k的标准差,需要求出不定乘数dij的系数，而不定乘数dij的系数与正规方程的系数相同，因而dij是矩阵C中各元素，即

1d12１3195135dC111 6d21d22945135则

31953.380959456d220.00635945d11

可得估计量的标准差为

kd110.006473.380950.001190kd220.006470.006350.0005161

解法二：，由 ViFi(k0kti) 得正规方程组：

66nk0tikFii1i1 666tkt2ktFi0iiii1i1i16666ti1i135ti12i3195tF5900.19iii1F262.15

ii16k0135k262.15正规方程为：

135k03195k5900.19k043.4324解得：

k0.01152v1l11vl122vl1V33－v4l41v5l51v6l61150.00480.00976182143.43240.00568 240.011520.001120.0034427300.002vi=161.6810－40.00647 nt6-22i6d11135d1216d21135d220  135d3195d0135d3195d111122122解得：

d113.38095d220.00635 kd110.006473.380950.001190kd220.006470.006350.0005161

5－7 不等精度测量的方程组如下：

x3y5.6,P114xy8.1,P22，； 2x3y0.5,P33试求x,y的最小二乘法处理及其相应精度。 解法一：利用矩阵计算

13A4121由

l15.68.1Ll2l30.5xXy100

P020003xX(ATPA)1ATPL

y另

CATAATPA10013131424118641 0203110032132321451114得

C11411141629145 则 4511451141xX(ATPA)1ATPL＝C1ATPLy1005.611411428.1 0206291453110030.51.4352.352将最佳估计值代入误差方程VLAX，得

v15.6130.0218.1411.4350.008

Vv22.352v30.5210.018可计算

VTPV10.021220.00823(0.018)20.0392

nt32又知

140.022260.0223629

45d220.071540.0715629d11

可得估计量的标准差为

xd110.03920.02230.0059yd220.03920.07150.0105解法二：正规方程为

3332ii1xPaii1ai2yPaii1liPai1i1i1 333PaaxPa2yPalii1i2ii2ii2ii1i1i1

Pai1332ii14514Paai133ii1i21Pali13ii1i62.2代入正规方程得：

Pai12ii2Pai1ii2il31.545xy62.2x1.435 解得  x14y31.5y2.352V15.6(1.43532.352)0.021V28.1(41.4352.352)0.008 V0.5(21.4352.352)0.0183VTPV10.021220.00823(0.018)20.0392

nt3245d11d12145d21d220 d1114d120d2114d221解得：

d110.0223d220.0715



xd110.03920.02230.0059yd220.03920.07150.0105

5－10 将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给出未知参数x1，x2的二乘法处理及其相应精度。

v15.13x1

v28.26x2v43.01x1x2 x1x2v313.21(x1x2)解：

1. 由前面三个线性的误差方程VLAX可解得x1，x2的近似估计值x10，x20

利用矩阵形式求解：

l15.138.26Ll2l313.21可得 X式中

v1Vv2v310A0111xX1

x2x1＝C1ATL(ATA)1ATL x2C1(ATA)110110121121 010111231211所以

1xX1＝C1ATLx25.135.1312110112118.26 8.2631201113.21312113.21115.21005.0700324.60008.20002. 取x1，x2得近似值x10＝5.0700，x20＝8.200，令

x1x101

x2x20＋2可将误差方程线性化，现分别对测量方程求偏导

a11a21a31f1x1f2x1f3x1x1x10101a12f1x2f2x2f3x2x2x200112x2(x1x2)2x1x10a22a32x2x20x1x10x2x20

fa414x1fa424x2x1x10x(xx)xx212212(x1x2)x(xx)xx112212(x1x2)''xx10x2x20xx10x2x200.38180.1460x2x20xx10x2x20x12(x1x2)2xx10x2x20则误差方程化成线性方程组VLAδ，

v1vV'2v3v4

l1'l1'llL'2'2l3l3'l4l4f1(x10,x20)0.060.04f2(x10,x20)f3(x10,x20)0.06f4(x10,x20)0.12δ＝1

20a11a121a0a12122 Aa31a3211aa0.38180.14604142

11TT1T'可得 δ＝＝CAL'(AA)AL

2式中

C1(ATA)10101010.381810110.1460110.38180.146011

2.14581.05570.62720.32760.32760.66581.05572.0213所以

δ1C1ATL’20.060.62720.32761010.38180.040110.14600.060.32760.66580.120.060.62720.32760.29960.19160.040.32760.66580.33820.02790.060.120.01640.0100

解得:

10.0164

20.0100

则

x1x101＝5.07000.0164＝5.0536x2x202＝8.20000.0100＝8.1900

将x1，x2的最佳估计值代入误差方程计算可得，

5.135.05360.07648.268.19000.0700 V13.2113.24360.03363.013.12520.1152可得

VTV0.02510.1120

nt42d110.62720.62720.3276再由 C 则 d0.6658

0.32760.6658221可得估计量的标准差为，

xd110.11200.62720.08871xd220.11200.66580.09142

解法二：设x10＝5.13，x20＝8.26，则

x15.131

x28.26＋2a111由题意得：

a120a221a321a410.15 则

a210a311a410.38v15.13(5.131)v8.26(8.26)22整理得： v313.21(8.265.13)(12)v3.018.265.13(0.380.14)4128.265.13v11v22 v0.18()123v40.15(0.3810.142)标准正规方程为：

4442'aaaali11i1i22i1ii1i1i1 444aaa2al'i1i21i22i2ii1i1i1a式中

i1342i12.142.0225aai13i14i1i21.057ali14i1i0.237

ai12i2ai2il0.202510.0832.1411.05720.237  解得：

1.0572.02250.20250.056122则

x15.1315.130.0835.047x28.26＋28.260.0568.204

V10.083V30.041V20.053V40.11

vi=142int0.02370.11 4-22.14d111.057d1212.14d211.057d220  1.057d2.0225d01.057d2.0225d111122122解得：

d110.63d220.671



xd110.110.630.087xd220.110.670.092

6．1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下：

正应力x/Pa 抗剪强度y/Pa x/Pa y/Pa

假设正应力的数值是精确的，求① 抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。②力为Pa时，抗剪强度的估计值是多少 解：①

序号 x/Pa y/Pa x2 y2 xy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  x1n12x311.6i25.97

i112112y297.2nyi24.77

i112当正应 lxxxi2i1n(xi)2i1nn(yi)2i1n311.628134.2643.05

12lyyyi2i1nnnn297.227407.847.15

12lxyxiyii1nxyii1i1in7687.76311.6297.229.53

12bb0ybx所以，综上所述，

lxylxx29.530.6861

43.05297.2311.60.686142.5818 1212$y42.58180.6861x42.580.69x。

② 当正应力x为Pa时，抗剪强度的估计值是：

y42.580.686124.525.775Pa25.8Pa