2019年高考数学真题分类汇编专题17：平面解析几何（综合题）
一、解答题（共12题；共100分）
1.（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:
（–1、0）， 的焦点为F1
F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l ， 在x轴的上方，l与圆F2: 交于点A ， 与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B ， 连结BF2交椭圆C于点E ， 连结DF1 ． 已知DF1= ．
（1）求椭圆C的标准方程； （2）求点E的坐标．
2
2.（2019•浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，
点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1 ， S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程. （2）求 的最小值及此时点G点坐标.
3.（2019•天津）设椭圆
的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知
（ 为原点）.
1 / 10
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程. 4.（2019•天津）设椭圆
离心率为 .
的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率. 5.（2019•全国Ⅲ）已知曲线C：y= A ， B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 6.（2019•全国Ⅲ）已知曲线C: B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0， ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 7.（2019•卷Ⅱ）已知 是椭圆C： 为坐标原点。
（1）若 △ 为等边三角形，求 的离心率；
（2）如果存在点P，使得 ，且 △ 的面积等于16，求 的值和a的取值范围。 8.（2019•卷Ⅱ）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： △ 是直角三角形； （ii）求 △ 面积的最大值. 9.（2019•北京）已知椭圆C： （I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直|ON|=2，求证：直线l经过定点. 线AQ与x轴交于点N，|OM|·
10.（2019•北京）已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.
2 / 10
，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为
，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，
的两个焦点， 为 上的点，
的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.
（I）求抛物线C的方程及其准线方程；
（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
11.（2019•卷Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。 （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径。
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。
12.（2019•卷Ⅰ）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点
为P。
（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程： （2）若
,求|AB|。
3 / 10
答案解析部分
一、解答题
1.【答案】 （1）解：设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1= ，AF2⊥x轴，所以DF2= ，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
2222
由b=a-c ， 得b=3.
因此，椭圆C的标准方程为
（2）解：解法一： 由（1）知，椭圆C：
，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
22
将x=1代入圆F2的方程(x-1)+y=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4). 又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
，得 ， 由
解得 或 .
将 代入 ，得 ， 因此
.又F2(1，0)，所以直线BF2： .
，得 ，解得 或 . 由
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
将 代入 ，得 .因此 . 解法二：
由（1）知，椭圆C：
.如图，连结EF1.
4 / 10
因为BF2=2a ， EF1+EF2=2a ， 所以EF1=EB ， 从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B ， 所以∠A=∠B ， 所以∠A=∠BF1E ， 从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
，得 . 因为F1(-1，0)，由
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 . 因此 .
2.【答案】 （1）由题意得 ，即p=2. 所以，抛物线的准线方程为x=−1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 . 由于直线AB过F ， 故直线AB方程为
，代入 ，得
，
故 ，即 ，所以 .
又由于 及重心G在x轴上，故 ，得
.
所以，直线AC方程为 ，得 . 由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
.
令 ，则m>0，
5 / 10
.
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
3.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 . 所以，椭圆的离心率为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，故椭圆方程为
.由题意， ，则直线 的
并化简，得到 ，
，消去 方程为 .点P的坐标满足
解得
，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以
.由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故
，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得
，可得 .
所以，椭圆的方程为
4.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得
， . 所以，椭圆的方程为
.
（Ⅱ）由题意，设 ， .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线
整理得 ，可得 的方程为 ，与椭圆方程联立
，代入 得
，进而直线 的斜率
.在
中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得
，化简得
. ，从而
所以，直线 的斜率为 或
5.【答案】 （1）解：设 ，则 .
6 / 10
由于 ′ ，所以切线DA的斜率为 ，故 整理得
设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 . 所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 .
，可得 . 由
.
于是 . 设M为线段AB的中点，则 .
，而 与向量 平行，所以 .解得t=0或 ， 由于 .
=2，所求圆的方程为 ； 当 =0时，
， 所求圆的方程为 . 当 时，
6.【答案】 （1）解：设 ，则 .
由于 ′ ，所以切线DA的斜率为 ，故 整理得
设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 . 所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 .
，可得 . 由
.
于是 ， . 设 分别为点D ， E到直线AB的距离，则 . 因此，四边形ADBE的面积 .
7 / 10
设M为线段AB的中点，则 .
，而 与向量 平行，所以 .解得t=0或 ， 由于 .
当 =0时，S=3；当 时， . 因此，四边形ADBE的面积为3或 .
7.【答案】 （1）解：连结 ，由 △ 为等边三角形可知在 △ 中， ∠ ° ， ， ，于是 ，故 的离心率是 . （2）由题意可知，满足条件的点 存在当且仅当 ， ， ，即 ，① ，②
，③
由②③及 得 ，又由①知
由②③得
，故 .
，所以 ，从而 故 .
当 ， 时，存在满足条件的点P. 所以 ， 的取值范围为 ∞ .
8.【答案】 （1）解：由题设得 ，化简得 点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k ， 则其方程为 ． 由
，所以C为中心在坐标原
得 ．
记 ，则 ． 于是直线 的斜率为 ，方程为 ．
得 由
．①
设 ，则 和 是方程①的解，故 从而直线 的斜率为
，由此得 ．
．
所以 ，即 △ 是直角三角形．
8 / 10
（ii）由（i）得 ， ，
所以△PQG的面积
．
设t=k+ ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为 因此，△PQG面积的最大值为
．
．
9.【答案】 解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1， 根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故 ， 所以椭圆的方程为
；
（II）设 ， 则直线
，直线
，
解得 ,
故 ， 将直线y=kx+t与椭圆方程联立， 得 ， 故
，所以
，
故 ，
解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）. 10.【答案】 解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，
得 ，解得p=2，故抛物线方程为 ，其准线方程为y=1； （II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在， 设l：y=kx-1，
，
将直线方程与抛物线方程联立，得 ， 由韦达定理 ， 则
，
令y=-1，则 ，
， 设以AB为直径的圆上点P（a，b），则
，
整理得 ，
9 / 10
令a=0，则 ，所以b=1或b=-3，
即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.
11. （1）【答案】解：因为 过点 ，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线 上，且 关于坐标原点O对称，所以M在直线 上，故可设 . 因为 与直线x+2=0相切，所以 的半径为 .
，故可得 ，解得 或 . 由已知得 ，又 故 的半径 或 .
（2）存在定点 ，使得 为定值. 理由如下：
设 ，由已知得 的半径为 .
，故可得 ，化简得M的轨迹方程为 . 由于
因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，所以 . 因为 ，所以存在满足条件的定点P.
12.【答案】 （1）解：设直线 的方程为：
的方程为：
， （2）解：
得： 联立上式得 由
10 / 10
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容