摸底考试数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至8页，共150分，考试时刻120分钟.

第I卷（选择题共40分）

注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号写在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮

擦洁净后，再选涂其他答案标号；

3．考试终止，将答题卡和第II卷3至8页试卷一并交回.

一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项．

A{x||x|2},B{x|x1,或x3},则A1．设全集U=R，

A．{x|x2}

C．{x|x2或x3}

B是 （ ）

B． {x|x3}

D．{x|2x3}

2．若条件p:a4,条件q:5a6,则条件p是条件q成立的（ ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3．二项式(3x1x)10的展开式中常数项为 （ ）

B．70 C．210

3A．70

2D．210

4. 已知曲线yx1在xx0点处的切线与曲线y1x在xx0点处的切线互相平行，则x0的值为 （ ） A. 0 B. 0或223 C.  D.0 或 3325．给出下面的四个命题：

（1）两个侧面为矩形的四棱柱是直四棱柱；

（2）平行六面体ABCDA中，AC1ABADAA1; 1BC11D1（3）若直线m//平面,直线n//平面,并且 mn,则 ;

（4）平面、、直线l、m、n，若l,m,n,l//.则m//n 其中正确的命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C .3 D. 4 6．已知函数f(x)(4a1)x2a,x1是(,)上的减函数，那么a的取值范畴是（ ）

logax,x≥1

A．[,)

1164

B．(0,)

16 C．(0,)

14

D．[,)

11627．在正方体的八个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率．．为 （ ） A．

1324 B． C． D． 77778．一个机器人每一秒钟是前进或者后退一步，现在程序设计师让机器人往常进3步，然后再后退2步的规律移动. 假如将机器人放在数轴的原点，面向轴的正方向，以1步的距离（机器人的每步的距离一样长）为1个单位长度. 令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)=0，则下列结论中 错误的是 （ ） A. P(3)=3 B. P(5)=1 C. P(2003)>P(2005) D. P(2003)9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_________，___________，____________辆．

10．函数y2(x0)的反函数是 ．

11．在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一个面的距离的2倍，则二面角

x[0,]内的解）

的度数为 ．（写出范畴在212．设a0,函数f(x)xax在[1,)上是单调递增函数，则实数a的取值范畴为 ． 13．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 14．读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上 . ①已知命题p与命题q，若p是q的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件；



3②若函数f(x)对定义域中的x总有f(1x)f(1x),则f(x)是奇函数； ③函数f(x)12x的图象关于点（－1，－2）成中心对称； 1x④已知f(x)是R上的函数，且满足f(x+2)= f(x)，当x1,2时，f(x)=2x， 则f(2007.5)的值为0.5．

二、 解答题：本大题共6小题，共80分。解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本题满分12分）已知集合Ax|x2(a2)x10,xR,Bx|x0，同时满足

AB,求实数a的取值范畴．

16. （本题满分13分）在8件产品中,有5件合格品,3件次品.从中任意取出4件，求下列事件发生的概率.

（Ⅰ）取出2件合格品或3件合格品 ； （Ⅱ）至少取出一件次品.

17. (本题满分13分)

已知函数f(x)xaxbxc在x（1） 求a,b的值与函数f(x)的单调区间；

（2） 若对x1,2，不等式f(x)c恒成立，求c的取值范畴.

2322与x1时都取得极值. 3

18. (本小题满分14分)

如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD,ADAB,CD//AB,且AB与

底面ABCD成60角，点M,N分别是PA,PB的中点. （Ⅰ）求证：AB平面PAD；

（Ⅱ）求二面角PMND的大小；

2AD，PAP3（Ⅲ）当DCAB时，求异面直线DN,BC所成的角.

2

19．（本题满分14分）

设函数f(x)＝

M DN

Cmx2的图象关于直线x－y＝0对x1AB称.

（1）求m的值；

（2）判定并证明函数f(x)在区间（1，＋∞）上的单调性；

（3）若直线y＝a（a∈R）与f(x)的图象无公共点，且f(|t2|)＜2a＋f(4a)，求实数t的取值范畴．

32

20.（本小题满分14分）

关于函数f(x)ax(b1)xb2(a0)，若存在实数x0，使f(x0)x0成立，则称x0为

2f(x)的不动点.

（1）当a2,b2时，求f(x)的不动点；

（2）若关于任何实数b，函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数a的取值范畴；

（3）在（2）的条件下，若yf(x)的图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直

线ykx12a12是线段AB的垂直平分线，求实数b的最小值.

参考答案

一．选择题： 题号 答案 二．填空题：

9．6、30、10； 10．ylog2x(0x1)； 11．30； 12．27； 13．{a021 C 2 A 3 C 4 B 5 B 6 A 7 B 08 D (a2)240当A时，方程x(a2)x40有非正实数根a0

(a2)02(a2)240或02(a2)040a0 a202综上：a(4,) ……………………12分

16. 解：（Ⅰ）设取出的4件中有2件合格品或3件合格品分别为事件A、B，则

31C52C323C5C33 P(A) ,P(B)4477C8C8 ∵A、B为两个互斥事件 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）= 答： 取出2件合格品或3件合格品的概率为

6 76…………6分 7C541 （Ⅱ）取出4件都为合格品的事件为C，则P（C）=4

C814至少取出一件次品的事件为事件C的对立事件,其概率为1 答：至少取出一件次品的概率为

113 141413.…………13分 1417．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

由f（－a＝－2124）＝－a＋b＝0，f（1）＝3＋2a＋b＝0得 3931，b＝－2。。。。。。。。。4分 2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

x （－，－22） － 33（－21 ，1） 3（1，＋） f（x） ＋ f（x）  － 0 极大值  ＋ 0 极小值  因此函数f（x）的递增区间是（－，－递减区间是（－

2）与（1，＋） 32，1）。。。。。。。。。。。7分 31222（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x1,2，由（1）当x＝－时，f（x）＝＋c

2327为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）c2（x1,2）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c 解得c－1或c2 。。。。。。。。。。。。13分

18．（Ⅰ）证明：∵PD底面ABCD，AB底面ABCD，∴PDAB,

又∵ADAB,且AD平面PAD， PD平面PAD，

PPDADD， ∴AB平面PAD；

M 4分

N

（Ⅱ）解：∵点M,N分别是PA,PB的中点，

∴MN//AB，由（Ⅰ）知AB平面PAD，∴MN平面PAD，

∴MNPM，MNMD，

∴PMD为二面角PMND的平面角，7分 ∵PD底面ABCD，

∴PA与底面ABCD所成的角即为PAD， ∴PAD＝60，

∵M为直角三角形PAD斜边PA的中点， ∴PMD为等腰三角形，且MPD30，

∴PMD120，∴二面角PMND的大小为120；9分

（Ⅲ）法１：过点N作NE//BC交PC于点E，则END或其补角即为异面直 线DN,BC所成的角，

11分

DCABPE

MND CAB∵N为PB的中点,∴E为为PC的中点, 设ADa，则由AB2AD得AB2a，又

DC6333a，∴NE2a2， AB，∴DC2a ∴BC(DCAB)2AD2＝222812ABa， 22∴由（Ⅱ）知NMD为直角三角形，且 MNMD13PAADa，∴ND2MN2MD2a2， 22在直角三角形PDA中，PDADtanPADatan603a，

∴DE1130PCPD2DC2a， 2242152aNE2ND2，8∴DNE为直角三角形，END为直角，

∴在三角形DNE中，DE∴异面直线DN,BC所成的角为90．

14分

13分

或者用三垂线定理，第一证明DB与BC垂直也能够

z3因为DC2a ∴BC(DCAB)2AD2＝

26a，又DBAD2AB23a， 2PMDN32a因此223a26a2，即DB与BC垂直 2，

x则

2yC法２：以点D为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设AD则AB2，PDAB6，DC3，则

A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,6),C(0,3,0).N(2626,1,)，DN(,1,)，BC(2,1,0)， 222226(2)1100 22DNBCDNBC，∴异面直线DN,BC所成的角为90……………． 14分

19．解：1）由f(x)＝

mx2x2，∴m＝1；……….4分 f(x)(x1)mx2.f1(x)＝

x1xmx2（2）f(x)＝在（1，＋∞）上是单调递减函数，

x1任取x1、x2∈（1，＋∞），且设x1＜x2，则：

f(x1)－f(x2)＝

∴f(x)＝

3(x2x1)＞0，

(x11)(x21)x2在（1，＋∞）上是单调递减函数；……………9分 x1（3）当直线y＝a（a∈R）与f(x)的图象无公共点时，a＝1，

∴f(|t2|)＜2＋f(4)＝4＝f(2)，｜t－2｜＋得：t＞20．解

323＞2， 253或t＜…………..14分 222f(x)ax(b1)xb2(a0),

2（1）当a2,b2时， f(x)2xx4.

设x为其不动点，即2x2x4x.

则2x22x40. x11,x22.即f(x)的不动点是－1，2……….. 4分 （2）由f(x)x得：ax2bxb20. 由已知，此方程有相异二实根，

x0恒成立，即b24a(b2)0.即b24ab8a0对任意bR恒成立. b0.16a32a020a2.…………………. …………10分

（3）设A(x1,x1),B(x2,x2)， 直线ykx12a12是线段AB的垂直平分线， ∴ k1

b2a. ,

记AB的中点M(x0,x0).由（2）知x0M在ykxb12a12上,1b2a1b2a1a12a12化简得：

a22a12a1a22a22(当a42时，等号成立）.

bmin

2……………………………………………………………14分 4