解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的1111

解三角形知识点总结及典型例题

一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 abc2RsinAsinBsinC(R为三角形外接圆半径） （）1a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC(边化角公式）（2）sinAabc,sinB,sinC (角化边公式）2R2R2RasinAasinAbsinB,, bsinBcsinCcsinC（3）a:b:csinA:sinB:sinC(4)2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a，b和A，求B时的解的情况: 在△ABC中，已知a、b、A（两边及其中一边所对的角） A为锐角 A为钝角或直角 a < bsinA 无解 a = bsinA 一解 bsinA < a < b 两解 a ≥ b 一解 a >b 一解 A ≤ b 无解 如果sinAsinB，则B有唯一解；如果sinAsinB1，则B有两解； 如果sinB1，则B有唯一解；如果sinB1，则B无解. 3、余弦定理及其推论 b2c2a2cosA2222bcabc2bccosAa2c2b2222 bac2accosB cosB2acc2a2b22abcosCa2b2c2cosC2ab4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式 1

（1）SABC（2）SABC1底高； 2111absinCbcsinAcasinB（两边夹一角）. 2226、三角形中常用结论 （1）abc,bca,acb(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； （2）在ABC中，ABabsinAsinB(即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC中，ABC，所以sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC. sinABCABCcos,cossin. 2222 二、典型例题 题型1 边角互化 [例1 ]在ABC中，若sinA:sinB:sinC3:5:7，则角C的度数为 5、7， 【解析】由正弦定理可得a:b:c3:5:7，,令a、b、c依次为3、1a2b2c2325272则cosC=== 22ab235因为0C，所以C2 3[例2 ] 若a、b、c是ABC的三边，f(x)b2x2(b2c2a2)xc2，则函数f(x)的图象与x轴( ) A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得bca2bccosA，所以222f(x)b2x22bccosAxc2=(bxccosA)2c2c2cos2A，因为cos2A1,所以c2c2cos2A0，因此f(x)0恒成立，所以其图像与x轴没有交点。 题型2 三角形解的个数 [例3]在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A、a7，b14，A30； C、b4，c5，B30； 题型3 面积问题 [例4] ABC的一个内角为120，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 【解析】设△ABC的三边分别：x4,x,x4， ∠C=120°，∴由余弦定理得：(x4)(x4)x2x(x4)cos120，解得：x10， ∴ABC三边分别为6、10、14， 22200B、b25，c30，C150； D、a6，b3，B60。 SABC113absinC610153. 222题型4 判断三角形形状 2

[例5] 在ABC中，已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一：a2[sin(AB)sin(AB)]b2[sin(AB)sin(AB)] 2a2cosAsinB2b2cosBsinA 由正弦定理，即知sinAcosAsinBsinBcosBsinA 22sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0 sin2Asin2B 由02A,2B2，得2A2B或2A2B, 即ABC为等腰三角形或直角三角形. 方法二：同上可得2acosAsinB2bcosBsinA 222b2c2a22acbba由正、余弦定理，即得：ab 2bc2ac222a2(b2c2a2)b2(a2c2b2) 即(a2b2)(c2a2b2)0 ab或c2a2b2, 即ABC为等腰三角形或直角三角形. 【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边） 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角） 题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用 [例6]在ABC中，a,b,c分别为角A.B,C的对边，且sinAsinCpsinB(pR)且ac（1）当p12b 45,b1时，求a,c的值； 4（2）若角B为锐角，求p的取值范围。 【解析】（1）由题设并由正弦定理，得ac5111,ac，解得，a1,c或a,c1 44441212222222（2）由余弦定理，bac2accosB=(ac)2ac2accosBpbbbcosB 2231322即pcosB，因为0cosB1，所以p(,2)，由题设知p0， 222所以6p2. 2 3

三、课堂练习： 1、满足A45，c6，a2的ABC的个数为m，则am为 . 2、已知a5,b53，A30，解三角形。 3、在ABC中，已知a4cm，bxcm，A60，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是( ) A、x4 B、0x4 C、4x83 3D、4x83 34、在ABC中，若S 12(ab2c2),则角C . 45、设R是ABC外接圆的半径，且2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB，试求ABC面积的最大值。 6、在ABC中，D为边BC上一点，BD33，sinB 53，cosADC，求AD. 135 4

7、在ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边，若acosB，试确定ABC形状。 bcosA 8、在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知cosA2cosC2ca cosBbsinC； sinA1（2）若cosB,b2,求ABC的面积。 4（1）求 四、课后作业 1、在ABC中，若(abc)(bca)3bc，且sinA2sinBcosC，则ABC是 A、等边三角形 C、直角三角形 2、ABC中若面积S=B、钝角三角形 D、等腰直角三角形 12(ab2c2)则角C 43、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为，在塔底B处测得点C的俯角为，若铁塔的高为hm，则清源山的高度为 m。 A、C、hsincos sin()hsinsin sin()B、D、hcossin sin()hcoscos sin()BC取得最大值，并求出这个最大值。 24、ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cos 5

5、在ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，且满足csinAacosC （1）求角C的大小 （2）求3sinAcos(B 4)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小。 6