《第三章 函数的概念与性质》单元复习与单元检测试卷(共四套)

基础知识讲解

1．分段函数的解析式求法及其图象的作法 【基础知识】

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．

【技巧方法】

求解函数解析式的几种常用方法

1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）； 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．

2．函数单调性的性质与判断 【基础知识】

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，

当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．

若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

【技巧方法】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．

第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根． 第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．

第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．

第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．

第六步：明确规范地表述结论 3．复合函数的单调性 【基础知识】

复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．

【技巧方法】

求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤： （1）确定定义域；

（2）将复合函数分解成两个基本初等函数； （3）分别确定两基本初等函数的单调性；

（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间． 4．奇函数、偶函数 【奇函数】

如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣

x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．

【技巧方法】

①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；

③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x

那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2

﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x

【偶函数】

如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有

f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．

【技巧方法】

①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？

②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．

5．函数奇偶性的性质与判断 【基础知识】

①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．

【技巧方法】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．

6.函数解析式的求解及常用方法 【基础知识】

通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．

【技巧方法】

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等． 7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【基础知识】 1.幂函数定义：

一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． （1）指数是常数； （2）底数是自变量； （3）函数式前的系数都是1； （4）形式都是y＝xa，其中a是常数． 8.幂函数的性质 【基础知识】

所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、图象都通过点（1，1）（0，0）；

b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、图象都通过点（1，1）；

b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；

c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．

（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．

9.五个常用幂函数的图象和性质

2

3

（1）y＝x； （2）y＝x； （3）y＝x； （4）y＝x； （5）y＝x﹣1

12

定义域 值域 奇偶性

y＝x R R 奇

y＝x2 R [0，+∞）

偶

y＝x3 R R 奇

y＝x [0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶

12y＝x﹣1 {x|x≠0} {y|y≠0}

奇

单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，

减

增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，

减 （1，1）

公共点 （1，1）（1，1）（0，0） （1，1）（1，1）

（0，0）

10.幂函数的奇偶性

（0，0） （0，0）

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）． （2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．

（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．

（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数． 11．函数最值的应用 【基础知识】

函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．

【技巧方法】

这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．

12．根据实际问题选择函数类型 【基础知识】

1．实际问题的函数刻画

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．

【技巧方法】

常用到的五种函数模型：

①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．

②反比例函数模型：y＝

k（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小． xx③指数函数模型：y＝a•b+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．

④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．

⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．

在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．

《第三章 函数的概念与性质》单元检测试卷（一）

一．选择题（共12小题）

1．已知函数f(x)x24x,x[m,5]的值域是[5,4]，则实数m的取值范围

是（ ）

A．(,1) C．[1,2] 2．函数yB．(1,2] D．[2,5]

4x的图象大致为（ ） x21A． B．

C． D．

x22x,x03．若函数fx2为奇函数，则实数a的值为（ ）

xax,x0A．2

B．2

C．1

D．1

x4．已知f(1)2x3，则f(6)的值为（ ）

2A．15 C．31

35．设函数f(x)xB．7 D．17

1f(x)（ ） 3,则xA．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

(3a1)x4a,x16．若函数f(x)，是定义在R上的减函数，则a的取值

ax,x1范围为（ ）

11A．，

831C．,

81B．0，

31D．,81, 322m17．幂函数fxm2m1x在0,上为增函数，则实数m的值为

（ ）

A．0

B．1

C．1或2

D．2

1xx8．已知函数f(x)3()，则f(x)

3A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 9．下列函数fx中，满足“对任意x1，x20,1，当x1x2时，都有

fx1fx2”的是（ ）

A．fxx1

1C．fx1

2xB．fx1 x

D．fxsin2x

x10．已知关于x的方程2m1有两个不等实根，则实数m的取值范围是

（ ）

A．(,1]

B．,1

C．[1,)

D．1,

11．一元二次方程x25x1m0的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）

A．21, 4B．(,5)

21,5 4C．21,5 4D．12．设奇函数fx在3,3上是减函数，且f33，若不等式fx2t1对所有的x3,3都成立，则t的取值范围是（ ）

A．1,1 C．,1

二．填空题（共6小题）

B．1, D．,11,

122x1x,x213．设函数f(x)，则f(3)________.

f(x2),x124114．已知正实数a，b满足a2b2，则ab的最小值为

ab__________

15．函数f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x)f(2x)，若f(1)3，则f(1)f(2)f(50)__________．

x16．设偶函数fx满足fx24x0，则满足fa20的实数a的

取值范围为________．

17．已知函数

m的值是____

2218．函数yx2x3x2x3零点的个数为_____________.

f(x)(m2m1)xm3是幂函数，且该函数是偶函数，则

三．解析题（共6小题）

x2(x0)19．已知函数f(x)，试解答下列问题：

2x(x0)（1）求f[f(2)]的值；

1（2）求方程f(x)=x的解．

220．（1）已知f(x)是一次函数，且2f(2x1)f(x2)6x5，求f(x)的解析式；

（2）已知函数f(x3)x24x6，求f(x)的解析式．

21．函数f(x)对任意的m,nR都有f(mn)f(m)f(n)1,并且x0时，

恒有f(x)1.

(1).求证：f(x)在R上是增函数； (2).若f(3)4解不等式f(a2a5)2

2x22．已知定义在1,1上的奇函数fx，当x0,1时，fxx.

41（1）当x0,1时，解方程fx2； 5（2）求fx在区间1,0上的解析式.

23．已知幂函数fxx的图像过点2,4.

（1）求函数fx的解析式；

（2）设函数hx2fxkx1在1,1是单调函数，求实数k的取值范围. 24．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.

（1）写出夏令营每位同学需交费用y（单位：元）与夏令营人数x之间的函数关系式；

（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？

【答案解析】

三．选择题（共12小题）

1．已知函数f(x)x24x,x[m,5]的值域是[5,4]，则实数m的取值范围是（ ）

A．(,1) C．[1,2] 【答案】C

B．(1,2] D．[2,5]

【解析】

二次函数f(x)x24x的图象是开口向下的抛物线.

最大值为4，且在x2时取得，而当x5或1时，f(x)5. 结合函数f(x)图象可知m的取值范围是[1,2]．

故选:C． 2．函数y4x的图象大致为（ ） x21A． B．

C． D．

【答案】A 【解析】

由函数的解析式可得：fx4xfx，则函数fx为奇函数，其x21图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当x1时，y420，选项B错误. 11故选：A.

x22x,x03．若函数fx2为奇函数，则实数a的值为（ ）

xax,x0A．2 【答案】B 【解析】

B．2

C．1

D．1

fx为奇函数 fxfx

22当x0时，x0 fxfxx2xx2x

2又x0时，fxxax a2

本题正确选项：B

xf(1)2x3，则f(6)的值为（ ） 4．已知2A．15 C．31 【答案】C 【解析】

B．7 D．17

x令1t，则x2t2 2x将x2t2代入f(1)2x3，

2得f(t)2(2t2)34t7

所以f(x)4x7，所以f(6)46731. 故选：C

35．设函数f(x)x1f(x)（ ） 3,则xA．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A

【解析】

3因为函数fxx1xx0，其关于原点对称，而3定义域为xfxfx，

所以函数fx为奇函数． 又因为函数yx3在0,而y上单调递增，在上单调递减，在

,0上单调递增， ,0上单调递减，

13x在0,3x3所以函数fxx10,3在x上单调递增，在

,0上单调递增．

故选：A．

(3a1)x4a,x16．若函数f(x)，是定义在R上的减函数，则a的取值

ax,x1范围为（ ）

11A．，

831C．,

81B．0，

31D．,81, 3【答案】A 【解析】

3a1011a0因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以，解得a.

833a14aa故选：A.

22m17．幂函数fxm2m1x在0,上为增函数，则实数m的值为

（ ）

A．0 【答案】D

B．1

C．1或2

D．2

【解析】

因为函数fx是幂函数，

所以m22m11，解得m0或m2， 因为函数fx在0,上为增函数， 所以2m10，即m故选：D.

1xx8．已知函数f(x)3()，则f(x)

31，m2， 2A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【解析】

1函数fx3的定义域为R，且

3xx1fx33xxxx1x133fx, 即函数fx 是奇

33x函数，

1又y3x,y在R都是单调递增函数，故函数fx 在R上是增函数．

3x故选A.

9．下列函数fx中，满足“对任意x1，x20,1，当x1x2时，都有

fx1fx2”的是（ ）

A．fxx1

1C．fx1

2xB．fx1 x

D．fxsin2x

【答案】C 【解析】

根据题意可得，函数fx在区间0,1单调递增， 对A，B，函数fx在区间0,1单调递减，故A，B错误； 对D，函数fx在区间0,1先增后减，故D错误； 故选：C.

x10．已知关于x的方程2m1有两个不等实根，则实数m的取值范围是

（ ）

A．(,1] 【答案】D 【解析】

x由题意,画出fx2m的图像如下图所示:

B．,1

C．[1,)

D．1,

x由图像可知,若方程2m1有两个不等实根

则函数图像在y轴左侧的最大值大于等于1即可 所以m1 即m(1,) 故选:D

11．一元二次方程x25x1m0的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）

A．21, 4B．(,5)

21,5 4C．21,5 4D．【答案】C

【解析】

关于x的一元二次方程x25x1m0的两根均大于2，

Δ2544m0则f(2)4101m0, 522解得21m5. 4故选C. 12．设奇函数fx在3,3上是减函数，且f33，若不等式fx2t1对所有的x3,3都成立，则t的取值范围是（ ）

A．1,1 C．,1 【答案】B 【解析】

因为奇函数fx在3,3上是减函数，且f33， 所以fxmaxf33，

若不等式fx2t1对所有的x3,3都成立， 则32t1，解可得t1， 故选：B

四．填空题（共6小题）

122x1x,x2f(x)13．设函数，则f(3)________. 1f(x2),x2B．1, D．,11,

【答案】0 【解析】

122x1x,x2f(x)

1f(x2),x2当x1时，f(x)f(x2) 231 2f(3)f(1)f(1)

又11 2f(1)211120

故答案为：0.

4114．已知正实数a，b满足a2b2，则ab的最小值为

ab__________

【答案】

25 2【解析】

解：正实数a，b满足a2b2，2a2b22ab，可得ab则

1. 241a4bababab221ab2a24b24aba2b4ab4 abab22ab84. ab881令abt，t0,.即有ab4t4，

abt2812510,ftfftt4又函数在上单调递减，. t222故答案为：

25. 215．函数f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x)f(2x)，若f(1)3，则f(1)f(2)【答案】3 【解析】

f(x)f(2x)，f(x2)f(x)，又f(x)为奇函数，

f(50)__________．

f(x2)f(x)f(x),f(x4)f(x2)f(x)

f(x)是周期为4的周期函数，

f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0,f(4)f(0)0，

f(2)f(0)0,f(3)f(1)f(1)3

f(1)f(2)f(3)f(4)0，

f1f2...f50012f1f23. 故答案为：3．

x16．设偶函数fx满足fx24x0，则满足fa20的实数a的

取值范围为________．

【答案】,0【解析】

x∵偶函数fx满足fx24x0，

4,

函数fx在0,上为增函数，且f20，

∴不等式fa20等价为fa2f2，

a22，即a22或a22，解得a4或a0．

故答案为：,017．已知函数

4,.

f(x)(m2m1)xm3是幂函数，且该函数是偶函数，则

m的值是____

【答案】1 【解析】 ∵函数

f(x)(m2m1)xm3是幂函数，

∴m2m11，解得m2或m1， 又∵该函数是偶函数，

当m2时，函数f(x)x是奇函数， 当m1时，函数f(x)x4是偶函数， 即m的值是1， 故答案为1.

2218．函数yx2x3x2x3零点的个数为_____________.

【答案】2 【解析】

22函数yx2x3x2x3零点的个数，即方程

x22x3x22x30实数根的个数.

22由x2x3x2x30，即x22x30或x22x30

2由x2x3x3x10得x3或x1.

由x22x3x1+20无实数根.

22所以函数yx2x3x2x3的零点有2个.

2故答案为：2

三．解析题（共6小题）

x2(x0)19．已知函数f(x)，试解答下列问题：

2x(x0)（1）求f[f(2)]的值； （2）求方程f(x)=

1x的解． 2【答案】（1）2；（2）x【解析】

4或x0 3x2(x0)2解：（1）函数f(x)，所以f224

2x(x0)所以f[f(2)]f4242

11x，解得x0或x（舍去）； 2241当x0时，即2xx，解得x；

234综上所述，x或x0．

32（2）当x0时，即x20．（1）已知f(x)是一次函数，且2f(2x1)f(x2)6x5，求f(x)的解析式；

（2）已知函数f(x3)x24x6，求f(x)的解析式． 【答案】（1）f(x)2x3；（2）f(x)x22x3. 【解析】

解：（1）因为f(x)是一次函数，所以可设f(x)kxb

则2f(2x1)f(x2)2[k(2x1)b][k(x2)b]3kx4kb6x5，

3k6k2所以，解得 ，

4kb5b3所以f(x)2x3．

（2）令tx3，则xt3．

因为f(x3)x24x6，所以f(t)(t3)24(t3)6

t22t3． 故f(x)x22x3． 【点睛】

本题主要考查待定系数法求函数解析式，换元法求函数解析式，属于常考题

型.

21．函数f(x)对任意的m,nR都有f(mn)f(m)f(n)1,并且x0时，恒有f(x)1.

(1).求证：f(x)在R上是增函数； (2).若f(3)4解不等式f(a2a5)2 【答案】(1)证明见解析；(2)a(3,2) 【解析】

(1).设x1,x2R,且x1x2,则x2x10,所以f(x2x1)1

f(x2)f(x1)f[(x2x1)x1]f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)0

即f(x2)f(x1),所以f(x)是R上的增函数.

(2).因为m,nR,不妨设mn1,所以f(11)f(1)f(1)1,即

f(2)2f(1)1，f(3)f(21)f(2)f(1)12f(1)1f(1)13f(1)24，所以

f(1)2.

f(a2a5)f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2a51得到

3a2,

即a(3,2).

2x22．已知定义在1,1上的奇函数fx，当x0,1时，fxx.

41（1）当x0,1时，解方程fx2； 5（2）求fx在区间1,0上的解析式.

0,x0【答案】（1）；（2）f(x)2x.

x,1x041【解析】

2x21（1）x（舍）或x1222x52x202x或2x2x14152（舍）；

故当x0,1时，方程fx2无解，即解集为. 5（2）由题意知： f00；

2x2x当x1,0时，fxfxx x41410,x0综上所述，f(x)2x.

x,1x04123．已知幂函数fxx的图像过点2,4.

（1）求函数fx的解析式；

（2）设函数hx2fxkx1在1,1是单调函数，求实数k的取值范围.

2【答案】（1）fxx；（2）,44,.

【解析】

（1）因为fxx的图像过点2,4，

所以24，则2，

2所以函数fx的解析式为：fxx； 2（2）由（1）得hx2xkx1，

所以函数hx的对称轴为xk， 4若函数hx在1,1是单调函数， 则

kk1或1，

44即k4或k4，

所以实数k的取值范围为,44,.

24．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.

（1）写出夏令营每位同学需交费用y（单位：元）与夏令营人数x之间的函数关系式；

（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？

600,1x30,xN*【答案】（1）y*（2）当人数为45人时，最

10x900,30x70,xN大收入为20250元

【解析】

（1）由题意可知每人需交费y关于人数x的函数：

600,1x30,xN*y* 10x900,30x70,xN（2）旅行社收入为fx，则fxxy，

600x,1x30,xN*即f(x)2*，

10x900x,30x70,xN当1x30,xN*时，fx为增函数， 所以fxmaxf306003018000，

当30x70,xN*时，fx为开口向下的二次函数，

对称轴x45，所以在对称轴处取得最大值，fxmaxf4520250. 综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.

《第三章 函数的概念与性质》单元检测试卷（二）

一、选择题（共12小题）

x2x,x11．若函数f(x)，则f(0)（ ）

f(x1)1,x1A．-1

B．0

C．1

D．2

2．设函数fx为一次函数，且ffx4x3，则f1（ ） A．3或1

B．1

C．1或1

D．3或1

23．若函数fx2xxaxa|在区间[3,0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．3,00,9 C．9,3

B．(9,0)(0,3) D．3,9

3ax3，x7fx4．若函数单调递增，则实数a的取值范围是（ ） x6a，x793 A．，493 B．，4， C．133 D．2，)上单调递减，若f(1)1，则满足5．定义在R上的奇函数f(x)在(0，1f(x2)1的x的取值范围是（ ）.

2] A．[2，， B．[11]3] D．[1，4] C．[0，6．若函数f(x)x12xa的最小值3，则实数a的值为（ ） A．5或8

B．1或5

C．1或4

D．4或8

7．已知定义在R上的奇函数fx，对任意实数x，恒有fx3fx，

32x且当则f0f1f2f2020（ ） 0,时，fxx6x8，2A．6 8．满足(m1)23A．,

32B．3

1313C．0 D．3

(32m)的实数m的取值范围是（ ）.

23,B．1,

322C．,

323D．(,1),

3225m39．已知函数f(x)mm1x是幂函数且是(0,)上的增函数，则m的值为( )

A．2

B．－1

C．－1或2

D．0

210．已知(y3)2y4xa0，若x为负数，则a的取值范围是（ ）

A．a3 B．a4 C．a5 D．a6

11．若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)=0，则满足

xf(x1)0的x的取值范围是（ ）

A．[1,1][3,) C．[1,0][1,)

B．[3,1][0,1] D．[1,0][1,3]

12．已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx1fx1，当

20x1时，fxx2x3，则f（ ）

2137A．

4B．

7 49C．

4D．

9 4二、填空题（共6小题）

2x1,1x3f(x)13．函数，则f(9) ______． f(x4),x314．已知定义在0,上的函数fx的导函数为fx，若对于任意x0都有fx31fx，且f44，则不等式fxx30的解集为________. x161fx,x0gx ，则函数gx的x，函数fx,x02x15．已知函数fx2最小值是_______.

216．已知奇函数fx在定义域1,1上递减，且fa1fa10，则

实数a的取值范围是______.

17．已知函数fx11，则不等式2x12f(x1x2)f(x2)x22x30的解集是______.

18．已知函数fx(xR)满足f(-x)8-f(4x)，函数g(x)4x3，若x2函数fx与gx的图象共有12个交点，记作Pixi,yi(i1,2,,12)，则

x1y1x2y2x12y12的值为______.

三．解析题（共6小题）

x19．已知定义在R上的函数f(x)21. 2|x|（1）若fx3，求x的值； 2（2）若2tf(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围. 20．根据下列条件，求f(x)的解析式.

（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； （2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；

1（3）2ff(x)x(x0).

x21．已知定义在R上的函数fx对任意实数a,b都满足

fabfafb，且f10，当x0时，0fx1.

（1）证明：fx在,上是减函数；

2（2）解不等式fx1

fx12xb22．已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数.

22（1）求b的值；

（2）判断函数f(x)的单调性；

22（3）若对任意的tR，不等式ft2tf2tk0恒成立，求k的取

值范围.

23．已知幂函数f(x)xm增函数

（1）求函数f(x)的解析式； （2）设函数g(x)19f(x)ax3x2b(xR)，其中a,bR.若函数g(x)仅4222m3(mz)为偶函数，且在区间(0,)上是单调

在x0处有极值，求a的取值范围.

1124．已知函数f(x)x12(x0)．

（1）若mn0时，f(m)f(n)，求

11的值； mn（2）若mn0时，函数f(x)的定义域与值域均为n,m，求所有m,n值．

【答案解析】

一、选择题（共12小题）

x2x,x11．若函数f(x)，则f(0)（ ）

f(x1)1,x1A．-1 【答案】B 【解析】

B．0

C．1

D．2

x2x,x1由题意，函数f(x)，

f(x1)1,x1可得f(0)f(01)1f(1)1[f(11)1]1(2221)10. 故选：B.

2．设函数fx为一次函数，且ffx4x3，则f1（ ） A．3或1 【答案】B 【解析】

设一次函数fxaxba0，

B．1

C．1或1

D．3或1

2fxaaxbbaxabb， 则fffx4x3，

a24， abb3a2a2解得或，

b3b1fx2x1或fx2x3， f12111或f12131.

故选：B.

23．若函数fx2xxaxa|在区间[3,0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．3,00,9 C．9,3 【答案】B 【解析】

B．(9,0)(0,3) D．3,9

3x22axa2,xafx2,分a0,a0,a0三种情况讨论. 2x2axa,xa当a0时，a3，所以03x2,x0当a0时，fx2，fx在[3,0]上显然单调；

x,x0当a0时，

a3，所以9a0. 3综上：9a0或03ax3，x74．若函数fxx6单调递增，则实数a的取值范围是（ ）

a，x793 A．，493 B．，4， C．133 D．2，【答案】B 【解析】

当x7时，函数y3ax3单调递增 所以3a0，解得a3

当x7时，yax6是单调递增函数， 所以a1，

当x7时，一次函数取值要小于或等于指数式的值， 所以73a3a，

9解之得：a≥，

493 综上所述：实数a的取值范围是，4故选：B

)上单调递减，若f(1)1，则满足5．定义在R上的奇函数f(x)在(0，1f(x2)1的x的取值范围是（ ）.

2] A．[2，， B．[11]3] D．[1，4] C．[0，【答案】D 【解析】

由题意，函数fx为奇函数且在R单调递减， 因为f(1)1，可得f(1)f11，

要使不等式1f(x2)1成立，即f(1)f(x2)f(1)成立， 则实数x满足1x21，解得1x3，

3]. 所以实数x的取值范围为[1，故选：D.

6．若函数f(x)x12xa的最小值3，则实数a的值为（ ）

A．5或8 【答案】D 【解析】

B．1或5 C．1或4 D．4或8

3x(1a),xaa由题意，①当1时，即a2，f(x){xa1,ax1，则当x2223x(a1),x1aaa时，fmin(x)f()1aa3，解得a8或a4（舍）；②当1222a23x(1a),x1时，即a2，

f(x){x1a,1x3x(a1),xa2aa2，则当x时，

2aaafmin(x)f()1aa3，解得a8（舍）或a4；③当1222时，即a2，f(x)3x1，此时fmin(x)0，不满足题意，所以a8或a4，故选D.

7．已知定义在R上的奇函数fx，对任意实数x，恒有fx3fx，

32且当x0,时，fxx6x8，则f0f1f2f2020（ ）

2A．6 【答案】B 【解析】

B．3 C．0 D．3

由题得fx6f[(x3)3]fx3[f(x)]f(x)，所以函数的周期为6.

由题得f(0)0,f(1)1683,

f(2)f(2)f(23)f(1)3，

f(3)f(3)f(33)f(0)，

f(4)f(4)f(43)f(1)f(1)3， f(5)f(5)f(53)f(2)f(2)3

所以f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0， 所以f0f1f2f2020336[f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)]f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)3. 故选：B. 8．满足(m1)23A．,

322C．,

313(32m)的实数m的取值范围是（ ）.

23B．,1,

3223(,1)D．,

3213【答案】D 【解析】

幂函数yx在(0,)为减函数，且函数值为正， 在(,0)为减函数，且函数值为负，

13(m1)13(32m)等价于，

1332m0m1032m0或或， m132mm132mm10解得

23m或m或m1， 3223所以不等式的解集为(,1),.

32故选：D.

25m39．已知函数f(x)mm1x是幂函数且是(0,)上的增函数，则m的值为( )

A．2 【答案】B 【解析】

由题意得m2m11,5m30,m1， 故选：B.

210．已知(y3)2y4xa0，若x为负数，则a的取值范围是（ ）

B．－1 C．－1或2 D．0

A．a3 【答案】D 【解析】

B．a4 C．a5 D．a6

2y3y30(y3)22y4xa0,,，

2y4xa02y4xa0a64x,x0,a6.

故选：D.

11．若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)=0，则满足

xf(x1)0的x的取值范围是（ ）

A．[1,1][3,) C．[1,0][1,) 【答案】D 【解析】

B．[3,1][0,1] D．[1,0][1,3]

因为定义在R上的奇函数f(x)在(,0)上单调递减，且f(2)0， 所以f(x)在(0,)上也是单调递减，且f(2)0，f(0)0，

所以当x(,2)(0,2)时，f(x)0，当x(2,0)(2,)时，f(x)0， 所以由xf(x1)0可得：

x0x0或或x0 2x100x12解得1≤x≤0或1x3，

所以满足xf(x1)0的x的取值范围是[1,0][1,3]， 故选：D.

12．已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx1fx1，当

20x1时，fxx2x3，则f（ ）

2137A．

4【答案】C 【解析】

B．

7 49C．

4D．

9 4由题意，函数fx是定义在R上的奇函数，且fx1fx1， 可得f(x1)f(x1)，所以f(x)f(x4)， 所以函数fx是周期为4的周期函数，

2又由当0x1时，fxx2x3，

133则fff22故选：C.

3f2191123. 2424二、填空题（共6小题）

2x1,1x313．函数f(x)，则f(9) ______．

f(x4),x3【答案】1 【解析】

2x1,1x3f(x)根据题意，，则f(9)f(5)f(1)2111； f(x4),x3故答案为1．

14．已知定义在0,上的函数fx的导函数为fx，若对于任意x0都有fx31fx，且f44，则不等式fxx30的解集为________. x16【答案】4, 【解析】

fxfx3fx即为xfx3fx0，设函数gx3， xxfxx3fx3x2xfx3fx则gx0，所以gx在0,上64xx单调递减，

又因为f44，所以g4f4113fxx0可化为，不等式316416fx1，即gxg4，所以x4，故解集为4,. 3x16故答案为：4,.

1fx,x015．已知函数fx2x，函数gx ，则函数gx的

fx,x02x最小值是_______.

【答案】0 【解析】

x解：当x0时，gxfx21为单调增函数，则gxg00； 2xx当x0时，gxfx21gxg00， x为单调减函数，所以2所以函数gx的最小值是0. 故答案为:0.

216．已知奇函数fx在定义域1,1上递减，且fa1fa10，则

实数a的取值范围是______.

【答案】1,2 【解析】

由于fx是定义在1,1上单调递减的奇函数，

222所以由fa1fa10，得fa1fa1f1a， a11a2所以1a11，解得1a2，

1a211所以实数a的取值范围是1,2. 故答案为：1,2. 17．已知函数fx11，则不等式x212f(x1x2)f(x2)x22x30的解集是______.

【答案】{x|1x3} 【解析】

112x111故fx为奇函数，且单fxxxxfx，

212212221调递减，则令gxfxx，故gxfxx 为奇函数且单调递减，故

f(x1x2)f(x2)x22x30等价于

2f(x1x2)x2x1f(x2)x2，即gx1xgx2 ，即

x1x2x2，解得{x|1x3}

故答案为{x|1x3}

18．已知函数fx(xR)满足f(-x)8-f(4x)，函数g(x)4x3，若x2函数fx与gx的图象共有12个交点，记作Pixi,yi(i1,2,,12)，则

x1y1x2y2x12y12的值为______.

【答案】72 【解析】

因为fxf4x8，所以fx关于点2,4成中心对称，又因为

4x3194x8x2gxg4x8，所以gx也关于点2,4成中心

x22xx2对称，所以fx与gx的图象的交点也关于点2,4成中心对称，不妨认为

xxx2x11...x6x74x1x2...x12，所以有112，所以

yyyy...yy821167112x1y1x2y2x12y12468672.

三．解析题（共6小题）

x19．已知定义在R上的函数f(x)21. 2|x|（1）若fx3，求x的值； 2（2）若2tf(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) x1,(2) [5,). 【解析】

x（1）当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)213f(x),由可知：

22x2x13， x22xx即22x32x20，所以有2222+10，因为2x0，解得

22x2，

故x1；

1t1t2t2t4t（2）当t[1,2]时，222tm2t0，即m2121，

222t因为22t10，故m21，

2t因为t[1,2]，所以21[17,5]，则m的取值范围是[5,).

20．根据下列条件，求f(x)的解析式.

（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； （2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；

1（3）2ff(x)x(x0).

x【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x＋2x－2；（3）f(x)2

2x(x0) 3x3【解析】

（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0) ∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9 ∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9， 即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，

2a2{由恒等式性质，得 3a2b9∴a＝1，b＝3

∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3. （2）设x＋1＝t，则x＝t－1

f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1 即f(t)＝t2＋2t－2.

∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. （3）解

11f(x)2fx，将原式中的x与互换，得

xx11f2f(x).

xx1fx2fxx{于是得关于f(x)的方程组

11f2fxxx解得f(x)2x(x0). 3x321．已知定义在R上的函数fx对任意实数a,b都满足

fabfafb，且f10，当x0时，0fx1.

（1）证明：fx在,上是减函数；

2（2）解不等式fx1

fx11515【答案】（1）证明见解析；（2）2,2.

【解析】

（1）因为任意实数a，b都满足fabfafb，

(1)f(1)f(0)，∵f(1)0，∴f(0)1 令a1,b0，则f 当x0时，则x0，∴f(x)f(x)f(xx)f(0)1，∵f(x)0，∴f(x)0，

即xR时，f(x)0恒成立，

设任意的x1,x2R，且x1x2，则x2x10， ∴0f(x2x1)1，0f(x2x1)上是减函数， 即fx在，f(x2)1f(x2)f(x1) f(x1)（2）

f(x2)1，f(x)0

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)1f(0)，

由（1）知f(x)在R上为减函数，x2x10

15151515,得：，故不等式的解集为x. 22222xb22．已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数.

22（1）求b的值；

（2）判断函数f(x)的单调性；

22（3）若对任意的tR，不等式ft2tf2tk0恒成立，求k的取

值范围.

1【答案】（1）1；（2）减函数；（3）k.

3【解析】

（1）因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，

b112x0b1，∴f(x)即 2222x112x11（2）由（1）知f(x)， x1x22221112x22x1设x1x2则fx1fx22x112x21x1212x21

因为函数y2x在R上是增函数且x1x2，∴2x22x10

xx又2112210，∴fx1fx20即fx1fx2

∴f(x)在(,)上为减函数.

22（3）因f(x)是奇函数，从而不等式：ft2tf2tk0

222等价于ft2tf2tkfk2t，因f(x)为减函数，由上式推得：

t22tk2t2.即对一切tR有：3t22tk0，

1412k0k从而判别式.

323．已知幂函数f(x)xm增函数

22m3(mz)为偶函数，且在区间(0,)上是单调

（1）求函数f(x)的解析式； （2）设函数g(x)19f(x)ax3x2b(xR)，其中a,bR.若函数g(x)仅42在x0处有极值，求a的取值范围.

4【答案】（1）fxx；（2）a[2,2]

【解析】 （1）

f(x)在区间(0,)上是单调增函数，m22m30

即m22m301m3,又mz,m0,1,2

而m0,2时，f(x)x3不是偶函数，m1时，f(x)x4是偶函数，

f(x)x4．

（2）g'(x)x(x23ax9),显然x0不是方程x23ax90的根. 为使g(x)仅在x0处有极值，必须x23ax90恒成立， 即有9a2360，解不等式，得a2,2. 这时，g(0)b是唯一极值．a2,2．

1124．已知函数f(x)x12(x0)．

（1）若mn0时，f(m)f(n)，求

11的值； mn（2）若mn0时，函数f(x)的定义域与值域均为n,m，求所有m,n值． 【答案】（1）【解析】

1111（1）因为f(m)f(n),所以m12n12

11312（2）m，n

22mn所以m1n1,

所以m1n1或m11n, 因为mn0,所以

111111112． mn11（2）1 当0nm1时,f(x)x2在n,m上单调递减,

因为函数f(x)的定义域与值域均为n,m,

f(n)m所以,两式相减得mn1不合,舍去．

f(m)n312 当mn1时,f(x)2x在n,m上单调递增,

因为函数f(x)的定义域与值域均为n,m,

f(m)m所以,无实数解.

f(n)n11,x[n,1],x2 3 当0n1m时,f(x)31,x(1,m],2x（1,m]上单调递增． 所以函数f(x)在[n,1]上单调递减,在

因为函数f(x)的定义域与值域均为n,m,

mf(1)3． 所以nf(1)1,22231综合所述,m,n．

22

《第三章 函数的概念与性质》单元检测试卷（三）

一、选择题

1．下列哪一组函数相等（ ） A.𝑓(𝑥)=𝑥与𝑔(𝑥)=

𝑥2𝑥

2

B.𝑓(𝑥)=𝑥2与𝑔(𝑥)=(√𝑥) D.𝑓(𝑥)=𝑥2与𝑔(𝑥)=3√𝑥6

4

C.𝑓(𝑥)=|𝑥|与𝑔(𝑥)=(√𝑥) 2．函数yA.(,2)

1x24的定义域为( )

C.(,2][2,) D.(,2)(2,)

B.(2,)

3．设函数f(x)2x3,g(x2)f(x)，则g(x)的表达式是（ ） A.2x1 B.2x1 C.2x3 D.2x7

x2(x1)24．已知f(x){x(1x2)，若f(x)3，则x的值是（ ）

2x(x2)A．1 B．1或

3 2C．1，

3或3 2D．3

5．下列函数中,是偶函数,且在区间0,1上为增函数的是( ) A．yx

B．y1x

C．y

1xD．yx24

36．已知fxaxbx1ab0，若f2018k，则f2018等于( )

A．k B．k C．1k D．2k

7．关于函数fx①函数是偶函数；

x1，有下列结论

②函数在,1上递减； ③函数在0,1上递增； ④函数在3,3上的最大值为1. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②

B．①②④

C．②③

D．①③④

8．下列函数中，对任意x，不满足2fxf2x的是（ ） A．fxx C．fxxx

B．fx2x D．fxx1

9． 2021年12月,某人的工资纳税额是245元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为( )

级数 1 2 全月应纳税所得额 不超过1500元 税率(%) 3 10 15004500元 注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500(起征点)后的余额.

A．7000元

B．7500元

C．6600元

D．5950元

10．若偶函数f(x)在(,1]上是增函数，则（ ）

3A.f()f(1)f(2)

23f(2)f(1)f() C.

23B.f(1)f()f(2)

23f(2)f()f(1) D.

211．已知函数f（x+2）＝x2，则f（x）等于 A.x2+2

B.x2-4x+4

C.x2-2

D.x2+4x+4

x21,x212．已知函数f(x),则f(1)－f(3)＝( )

f(x3),x2A.－2 C.27 二、填空题

1n1n13．已知n2,1,0,1,2,3}，若()()，则n_______.

23B.7 D.－7

14．某汽车在同一时间内速度v (单位：km/h)与耗油量Q(单位：L)之间有近似的函数关系Q0.0025v20.175v4.27，则车速为_____km/h时,汽车的耗油量最少. 15．若函数fx1a是奇函数，则a=______． 3x116．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．

三、解答题

217．已知函数fxx2ax3，x4,6.

（1）当a2时，求fx的最值；

（2）使yfx在区间4,6上是单调函数，求实数a的取值范围.

18．已知函数f(x1)(1)求f(2)，f(x)；

(2)证明：函数f(x)在[1，17]上为增函数； (3)试求函数f(x)在[1，17]上的最大值和最小值．

19．设函数f(x)a45xa为定义在(,0)(0,)上的奇函数. 3x2x1. x2（1）求实数a的值；

（2）判断函数f(x)的单调性，并用定义法证明f(x)在(0,)上的单调性.

20． f(x)是定义在R上的奇函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.

(1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)是R上的减函数； (3)求f(x)在[－2，4]上的最值.

21．已知函数f(x)＝(1)求b的值；

(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数； (3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.

22．某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．

(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；

(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数)．

【答案解析】

二、选择题

1．下列哪一组函数相等（ ） A.𝑓(𝑥)=𝑥与𝑔(𝑥)=

𝑥2𝑥

xb

为奇函数． 1x2

2

B.𝑓(𝑥)=𝑥2与𝑔(𝑥)=(√𝑥) D.𝑓(𝑥)=𝑥2与𝑔(𝑥)=3√𝑥6

4

C.𝑓(𝑥)=|𝑥|与𝑔(𝑥)=(√𝑥) 【答案】D

【解析】𝐴选项：𝑓(𝑥)定义域为𝑅；𝑔(𝑥)定义域为：{𝑥|𝑥≠0} ∴两函数不

相等

𝐵选项：𝑓(𝑥)定义域为𝑅；𝑔(𝑥)定义域为：{𝑥|𝑥≥0} ∴两函数不相等 𝐶选项：𝑓(𝑥)定义域为𝑅；𝑔(𝑥)定义域为：{𝑥|𝑥≥0} ∴两函数不相等 𝐷选项：𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)定义域均为𝑅，且𝑔(𝑥)=3√𝑥6=𝑥2=𝑓(𝑥) ∴两函数相等

本题正确选项：𝐷 2．函数yA.(,2) 【答案】D

【解析】由x240得x2或x2. 所以函数的定义域为(,2)(2,). 故答案为：D

3．设函数f(x)2x3,g(x2)f(x)，则g(x)的表达式是（ ） A.2x1 【答案】B 【解析】

B.2x1

C.2x3

D.2x7

1x42的定义域为( )

C.(,2][2,) D.(,2)(2,)

B.(2,)

fx2x3,gx2fx，

gx22x3， 令x2t，则xt2，

gt2t232t1， gx2x1，故选B.

x2(x1)24．已知f(x){x(1x2)，若f(x)3，则x的值是（ ）

2x(x2)A．1 【答案】D 【解析】

B．1或

3 2C．1，

3或3 2D．3

该分段函数的三段各自的值域为,1,0,4,4,，而30,4 ∴f(x)x23,x3,而1x2,∴x3；

5．下列函数中,是偶函数,且在区间0,1上为增函数的是( ) A．yx C．y 【答案】A

【解析】选项B中，函数不具备奇偶性，选项C中，函数是奇函数， 选项A,D中的函数是偶函数，但函数yx24在区间0,1上单调递减，故选A.

36．已知fxaxbx1ab0，若f2018k，则f2018等于( )

B．y1x D．yx24

1xA．k 【答案】D

B．k C．1k D．2k

3【解析】因为fxaxbx1，所以fxfx2，

所以f2018f20182即f20182k，选D. 7．关于函数fx①函数是偶函数； ②函数在,1上递减； ③函数在0,1上递增； ④函数在3,3上的最大值为1. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② 【答案】B

【解析】对于命题①，函数fx且fxB．①②④

C．②③

D．①③④

x1，有下列结论

x1的定义域为R，关于原点对称，

x1x1fx，该函数为偶函数，命题①正确；

对于命题②③④，fxx1,x11x,1x0x1，

1x,0x1x1,x1作出函数yfx的图象如下图所示：

可知函数yfx在区间,1和0,1上单调递减，在区间1,0和

1,上单调递增，当x3,3时，fxmaxf01，命题②④正确，命题③

错误，故选：B.

8．下列函数中，对任意x，不满足2fxf2x的是（ ） A．fxx C．fxxx 【答案】D

【解析】对于A选项，2fx2x，f2x2x2x，等式2fxf2x成立；

对于B选项，2fx22x4x，f2x22x4x，等式

B．fx2x D．fxx1

2fxf2x成立；

对于C选项，2fx2xx2x2x，f2x2x2x2x2x，等式2fxf2x成立；

对于D选项，2fx2x12x2，f2x2x1，等式2fxf2x不成立.

故选：D.

9． 2021年12月,某人的工资纳税额是245元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为( )

级数 1 2 全月应纳税所得额 不超过1500元 税率(%) 3 10 15004500元 注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500(起征点)后的余额.

A．7000元 【答案】A

【解析】设此人的工资为x元，纳税额为y，则有

B．7500元

C．6600元

D．5950元

(x3500)3%,3500x5000y，

45(x5000)10%,5000x8000当3500x≤5000时，0y45，故当y245（元）时，x5000， 令45x500010%245， 则x7000（元），故选A.

10．若偶函数f(x)在(,1]上是增函数，则（ ）

3A.f()f(1)f(2)

23C.f(2)f(1)f()

23B.f(1)f()f(2)

23D.f(2)f()f(1)

2【答案】D

【解析】由偶函数fx在,1上是增函数，得fx在[1,)上是减函

3333f，f1f1，又因为21，得f2ff1，数，f 22223f2f即f1，故选项为D.

211．）已知函数f（x+2）＝x2，则f（x）等于 A.x2+2 【答案】B

【解析】令x2txt2f(t)(t2)2f(x)(x2)2x24x4，

B.x2-4x+4

C.x2-2

D.x2+4x+4

选B.

x21,x212．已知函数f(x),则f(1)－f(3)＝( )

f(x3),x2A.－2 C.27 【答案】B

2【解析】f1f13f44117

B.7 D.－7

f332110 则f1f317107 故选B。 二、填空题

1n1n13．已知n2,1,0,1,2,3}，若()()，则n_______.

23【答案】1或2 【解析】 因为1111，且()n()n，根据幂函数的性质可得yxn在(,0)上2323是减函数，又n2,1,0,1,2,3}，所以n1或n2，故答案为1或2.

14．某汽车在同一时间内速度v (单位：km/h)与耗油量Q(单位：L)之间有近似的函数关系Q0.0025v20.175v4.27，则车速为_____km/h时,汽车的耗油量最少. 【答案】35

【解析】因为Q0.0025v20.175v4.27可化简

Q0.0025v351.2075，故当v35km/h时，汽车的耗油量最少.

2故填35. 15．若函数fx1【答案】

21a是奇函数，则a=______． 3x1【解析】

fx1a为奇函数，且定义域为R， x31则f011a0，a。 2216．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．

【答案】{x|－2因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，所以f(－2)＝0. 又因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 故满足f(x)<0的x的取值范围应为(－2,2)， 即f(x)<0的解集为{x|－2217．已知函数fxx2ax3，x4,6.

（1）当a2时，求fx的最值；

（2）使yfx在区间4,6上是单调函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）最小值1，最大值35；（2）,64,.

2【解析】（1）当a2时，fxx24x3x21，

由于x4,6，∴fx在4,2上单调递减，在2,6上单调递增， ∴fx的最小值是f21， 又f435，f615，故fx的最大值是35. （2）由于函数fx的图象开口向上，对称轴是xa， 所以要使fx在4,6上是单调函数，应有a4或a6， 即a6或a4.故a的取值范围是,618．已知函数f(x1)2x1. x24,.

(1)求f(2)，f(x)；

(2)证明：函数f(x)在[1，17]上为增函数； (3)试求函数f(x)在[1，17]上的最大值和最小值． 【答案】（1）f(2)＝1；f(x)（2）见解析.

（3）当x＝1时，f(x)有最小值

2x1. x1111；当x＝17时，f(x)有最大值. 26【解析】(1)令x＝1，则f(2)＝f(1＋1)＝1. 令t＝x＋1，则x＝t－1， 所以f(t)＝

，即f(x)＝

.

(2)证明：任取1≤x1≤x2≤17， 因为f(x1)－f(x2)＝＝

.

－

又1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 所以

＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以函数f(x)在[1，17]上为增函数． (3)由(2)可知函数f(x)在[1，17]上为增函数， 所以当x＝1时，f(x)有最小值； 当x＝17时，f(x)有最大值. 19．设函数f(x)a45xa为定义在(,0)(0,)上的奇函数. 3x（1）求实数a的值；

（2）判断函数f(x)的单调性，并用定义法证明f(x)在(0,)上的单调性. 【答案】(1)a0；(2)f(x)在(0,)上是减函数，证明见解析. 【解析】（1）

fx是奇函数，x0，fxfx

a4a45xa5xa，2a0，a0. 3x3x经检验a0为所求. （2）fx45x的单调减区间为,0与0,，没有单调增区间， 3x当x0时，设0x1x2，

4x2x1445x15x2 5x2x1 则fx1fx23x3x3xx12124x2x150，

3x2x1fx1fx2，

fx在0,上是减函数.

20． f(x)是定义在R上的奇函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.

(1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)是R上的减函数； (3)求f(x)在[－2，4]上的最值.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大值为4，最小值为－8． 【解析】(1)fx的定义域为R，

令xy0，则f0f0f0，f00， 令yx，则fxxfxfx，

fxfxf00，fxfx，fx是奇函数. (2)设x2x1，

fx2fx1fx2fx1fx2x1，

x2x10，fx2x10，fx2fx10，即fx2fx1，

fx在R上为减函数. (3)

f12,f2f1f14，

fx为奇函数，f2f24，

f4f2f28，fx在2,4上为减函数，

fxmaxf24,fxminf48. 21．已知函数f(x)＝(1)求b的值；

(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数； (3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0. 【答案】(1) b＝0(2)见解析(3) (1，

3) 2xb

2 为奇函数． 1x

xb 2 【解析】(1)∵函数fx＝? 为定义在R上的奇函数，f0＝b＝0. 1xx(2)由(1)可得x下面证明函数fx在区间(1，＋∞)上是减函数． 2，1x证明设x2x11，

2x1x2x1x1x2x2x2x12x1x21x1x2则有fx1fx21x21x2， 2221x11x21x121x21222再根据x2x11，可得 1x10，1x20，x1x20，1x1x20

x1x21x1x2021x121x2

fx2 即fx1 函数fx在区间(1，＋∞)上是减函数．

22(3)由不等式f1xfx2x40

可得

f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，

再根据函数fx在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，且

x＞，1

求得1x3，故不等式的解集为(1，)． 222．某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．

(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；

(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数)．

0.2,0t3【答案】（1）见解析（2）y

0.2[t3]0.1,t3【解析】(1)如下图所示．

(2)由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数． 当0当t>3时，话费y应为(0.2＋[t－3]×0.1)元． 所以y＝

《第三章 函数的概念与性质》单元检测试卷（四）

一、单选题（总分48分，每题4分). 1．若函数y=

的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过( )

A．(1，6) B．(–1，6) C．(2，–3) D．(3，–2) 2．对于集合

，

，由下列图形给出的对应中，

不能构成从到的函数有（ ）个

A.个 B.个 C.个 D.个 3．设函数

若

，则实数

（ ）

A．-4或2 B．-4或-2 C．-2或4 D．-2或2 4．已知函数A.5．函数A．C．

B．R D．

B.

的定义域为 C.

D.，则

的定义域为（ ）

的值域为

6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于( ) A．11 B．2

C．5

D．－1

7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）

A． B．

C． D．

8．已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是( )

A.0<α<1 B.α<0 C.α<1 9．下列函数中，在区间

D.α>1

上是增函数且是偶函数的是（ ）

A．C．

B． D．

10．下列哪一组函数相等（ ） A.C.11．函数

与与

B.

与D.

与

的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）

A．a>1 B．0的图象关于直线恒成立，则满足

（ ）

A．

B．

C．

D．

对称，当

的

时，的取值范围是

二、填空题（总分16分，每题4分)

13．集合A={x|x≤5且x≠1}用区间表示____________． 14．已知函数f（x），g（x），分别由下表给出 x f（x） x g（x）

则g（1）的值为______；当g[f（x）]=2时，x=______． 15．已知函数__________．

满足

，则函数

的解析式为

1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 1 16．定义在数，且

则不等式

上的奇函数的解集为_____．

若函数在上为增函

三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)

17．根据已知条件，求函数的解析式． （1）已知

为一次函数，且

，求

的解析式．

（2）下图为二次函数的图像，求该函数的解析式．

18．设．

（1）在图的直角坐标系中画出f（x）的图象； （2）若f（t）=2，求t值； （3）求函数f（x）的最小值．

19．已知函数画出函数

在

是定义在上的偶函数，当时，现已

轴左侧的图象，如图所示．

(1)画出函数间；

(2)求函数20．已知函数

在

在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区

上的解析式．

.

（1）求函数的定义域； （2）试判断函数在（3）试判断函数在21．当＞0时，

(1)求(2)求证：(3)求

上的单调性，并给予证明； 的最大值和最小值.

∈R都有

，且

是定义在R上的函数，对

＜0，且

的值； 为奇函数； 在[－2,4]上的最值．

＝1.

22．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间 (单位：天)的函数，且销售量满足

=

，价格满足

(1)求该种商品的日销售额

=．

与时间的函数关系；

(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?

【答案解析】

一、单选题（总分48分，每题4分) 1．若函数y=

的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过( )

A．(1，6) B．(–1，6) C．(2，–3) D．(3，–2) 【答案】A 【解析】将

代入函数解析式得

，故

，也即

，经

验证知A选项正确，故选A.

2．对于集合

，

，由下列图形给出的对应中，

不能构成从到的函数有（ ）个

A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C

【解析】第一个图形中，有剩余元素，所以不能构成从到的函数 第二个图形中，存在对应两个不同的，所以不能构成从到的函数 第三个图形中，在

时，对应两个不同的，所以不能构成从到的函数

第四个图形中，每个都有唯一确定的与之对应，所以可以构成从到的函数

综上所述，共有个图形不能构成从到的函数 本题正确选项：

3．设函数若，则实数（ ）

A．-4或2 B．-4或-2 C．-2或4 D．-2或2 【答案】A

【解析】分类讨论： 当当

时，有时，有

-4或2 .

； 或

(舍去)；

综上可得，实数本题选择A选项. 4．已知函数A.

B.

的定义域为 C.

D.

，则

的定义域为（ ）

【答案】C 【解析】所以，函数5．函数A．

的定义域为的定义域为

，即，故选：C.

，

，

的值域为

B．R C．

D．

【答案】B 【解析】解：函数

，

的值域为R．

故选：B．

6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于( ) A．11 B．2 【答案】B

【解析】令2x＋1=1，解得：x=0∴f(1)=3×0+2=2故选：B

7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄

C．5

D．－1

在定义域

上是单调增函数，且满足

傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）

A． B．

C． D．

【答案】B 【解析】由题意可得中间有一段时间没有超过

的始终是匀速增长，开始时，

的增长比较快，但

的值

停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但

的值，

结合所给的图象可知，B选项适合，故选B．

8．已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是( )

A.0<α<1 B.α<0 C.α<1 D.α>1 【答案】C

【解析】由幂函数的图象特征知α<1. 9．下列函数中，在区间A．C．

B． D．

上是增函数且是偶函数的是（ ）

【答案】A 【解析】A.

是偶函数,并且在区间

时增函数，满足条件；

B.C.D.故选A.

不是偶函数,并且在是奇函数,并且在区间

是偶函数，在区间

上是减函数，不满足条件； 上时减函数，不满足条件； 上是减函数，不满足条件；

10．下列哪一组函数相等（ ） A.C.

与与

B.

与D.

与

【答案】D 【解析】选项：等

选项：选项：选项：

定义域为；定义域为；与

定义域为：定义域为：

两函数不相等 两函数不相等

两函数相等

定义域为；

定义域为：

两函数不相

定义域均为，且

本题正确选项： 11．函数

的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）

A．a>1 B．0【解析】解：因为函数所以即函数，当，当则

12．已知函数

时，函数时，要使函数，解得的解为R，

的图像与x轴没有交点，

与x轴有交点，故不成立；

的图像与x轴没有交点，

，故本题选A。

对称，当

时，

的定义域为R，

的图象关于直线

恒成立，则满足

（ ）

A．

B．

C．

D．

的的取值范围是

【答案】A 【解析】当所以又因为函数减，

若要满足故选A．

二、填空题（总分16分，每题4分)

13．集合A={x|x≤5且x≠1}用区间表示____________． 【答案】

，即

，解得

，

时，

恒成立，即函数的图象关于直线

在对称，所以

恒成立， 上单调递增， 在

上单调递

【解析】因为集合A={x|x≤5且x≠1}，表示从负无穷到5（包括5）去掉1，所以用区间表示为

.

14．已知函数f（x），g（x），分别由下表给出 x f（x） x g（x）

则g（1）的值为______；当g[f（x）]=2时，x=______．

1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 1 【答案】3 1

【解析】从以上表格可知，当x=1时，g（1）=3 从表中可知，g[2]=2因而f（x）=2 从表可知，当x=1时，f（1）=2 所以x的值为1 15．已知函数__________．

【答案】

满足

，则函数

的解析式为

【解析】得f（

）+2f（x）

①中将x换成 ②， ）得f（x）

．

上的奇函数的解集为_____．

与异号，故不等式

，

由①②联立消去f（故答案为：f（x）16．定义在数，且

【答案】

【解析】由题意得到

则不等式

，

若函数在上为增函

可转化为或

，根据题意可作函数图象，如图所示：

由图象可得：当则不等式

的解集是

时，；当．

时，，

三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)

17．根据已知条件，求函数的解析式． （1）已知

为一次函数，且

，求

的解析式．

（2）下图为二次函数的图像，求该函数的解析式．

【答案】（1）【解析】（）∵

或

为一次函数，∴设

；（2）

，

∴∴

或

．

，

，∴，∴或，

（）如图所示，二次函数过，三点，

∴代入得，解得， ∴．

18．设．

（1）在图的直角坐标系中画出f（x）的图象； （2）若f（t）=2，求t值；

（3）求函数f（x）的最小值．

【答案】（1）见解析； （2）t=-2或t=【解析】（1）f（x）的图象如右边：

，或t=2； （3）-1.

（2）当t≤-1时，f（t）=-t=2，∴t=-2； 当-1＜t＜2时，f（t）=t2-1=2，解得：t=当t≥2时，f（t）=t=2，∴t=2， 综上所述：t=-2或t=

，或t=2．

；

（3）由图可知：当x∈（-1，2）时，f（x）=x2-1≥-1， 所以函数f（x）的最小值为-1． 19．已知函数画出函数

在

是定义在

上的偶函数，当

时，

现已

轴左侧的图象，如图所示．

(1)画出函数间；

(2)求函数【答案】（1）

在

在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区

上的解析式． 和

；（2）

.

【解析】(1)图象如下：

函数（2）设函数

的单调增区间为

，则

；

和；

是定义在R上的偶函数，且当时，；

；

．

20．已知函数

（1）求函数的定义域；

.

（2）试判断函数在（3）试判断函数在【答案】(1)(3)最大值是

上的单调性，并给予证明； 的最大值和最小值. ；(2)函数

在. ，

；

，

；

上是增函数，证明见解析；

，最小值是

【解析】（1）∵函数∴（2）∵∴函数证明：任取则

在，

.∴函数的定义域是

上是增函数，

，且

，

∵∴∴即∴（3）∵∴

在在

在， ，

，

上是增函数.

上是增函数，

上单调递增，

.

，

它的最大值是最小值是

21．当＞0时，

(1)求

是定义在R上的函数，对

＜0，且

的值； 为奇函数； 在[－2,4]上的最值．

＝1.

∈R都有，且

(2)求证：(3)求

【答案】(1) f(－2)＝2 (2)奇函数（3）f(x)max＝2， f(x)min＝－4. 【解析】(1)f(x)的定义域为R， 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0， ∵f(－1)＝1，

∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝2，

(2)令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (3)设x2>x1，

f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1) ∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0， ∴f(x2)－f(x1)<0， 即f(x2)∴f(x)在R上为减函数． ∴f(2)＝－f(－2)＝－2， ∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－4， ∵f(x)在[－2,4]上为减函数， ∴f(x)max＝f(－2)＝2， f(x)min＝f(4)＝－4.

22．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单

位：元)均为时间 (单位：天)的函数，且销售量满足=

，价格满足

(1)求该种商品的日销售额

=．

与时间的函数关系；

(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?

【答案】（1）=，

（2）天数为第53，54，…60，61天，共9天． 【解析】(1)由题意知，当=

，

时，

=

=

当时，= ==，

所求函数关系(2)当∴函数

在

=时，

=

=

==

．

，

(元)，

上单调递增，∴

当∴函数

在

时，===

=

， (元)．

上单调递减，∴

若销售额超过16610元，当足条件．

当

时，经计算

时，函数单调递减，故只有第61天满

满足条件，又函数在上单调递增，

∴第53，54，…，60天，满足条件，即满足条件的天数为第53，54，…60，61天，共9天．