第二章测评(一) (时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021广东湛江模拟)已知直线l的倾斜角α满足方程A.-3 答案A 解析因为1+cos𝛼=2,
所以
𝛼2𝛼21+2cos-12
sin𝛼1+cos𝛼
3
=2,则直线l的斜率为( )
4
B.3
sin𝛼
4
C.4 3
D.-4
2sincos
𝛼2
=tan2=2.
=-3,即直线l的斜率为-3.
24
4
𝛼
所以tanα=
𝛼2𝛼1-tan2
2
2tan
2.若直线l1:3x-4y-1=0与l2:3x-ay+2=0(a∈R)平行,则l1与l2间的距离是( ) A. C. 5531
B. D.
554
答案C 解析两条直线l1:3x-4y-1=0与l2:3x-ay+2=0平行,则-3a+12=0,解得a=4.
所以直线l2:3x-4y+2=0, 所以两直线间的距离d=.
53
3.(2020北京大兴高二期中)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 答案D 解析设圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=m(m>0),且圆过原点,即(0-1)2+(0-1)2=m(m>0),得m=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D.
4.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( ) A.x+y+1=0 C.x-y+1=0 答案C 解析圆x2+2x+y2=0的圆心C为(-1,0),而直线与x+y=0垂直,所以待求直线的斜率为1.
设待求直线的方程为y=x+b,将点C的坐标代入可得b=1,则直线的方程为x-y+1=0.故选C. 5.(2020福建莆田一中检测)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0
B.x+y-1=0 D.x-y-1=0 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
1
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 答案A 解析设所求直线方程为2x+y+b=0,则5=0.故选A.
6.若圆心在直线3x-y=0上且与x轴相切的圆,被直线x-y=0截得的弦长为2√7,则圆心到直线y=x的距离为( ) A.4 答案C 解析设圆心坐标为(a,3a),则r=|3a|,
圆心到直线x-y=0的距离d=|𝑎-3𝑎|√2|𝑏|√5=√5,解得b=±5,所以所求直线方程为2x+y+5=0或2x+y-
B.2√2 C.√2 D.2
=√2|a|,
则有(√2|a|)2+(√7)2=|3a|2,解得|a|=1, 所以圆心到直线y=x的距离为√2.
7.(2021四川广元模拟)已知过点(0,2)的直线l与圆心为C的圆(x-2)2+(y-1)2=10相交于A,B两点,当△ABC面积最大时,直线l的方程为( ) A.2x-y+2=0
B.2x-y+2=0或2x+y-2=0 C.x=0
D.x=0或2x+y-2=0 答案A 解析当△ABC的面积最大时,CA⊥CB.
∵圆C:(x-2)2+(y-1)2=10的半径为√10, ∴圆心C到AB的距离d=√5.
当直线斜率不存在时,不合题意; 故直线斜率存在,设直线方程为y=kx+2, 即kx-y+2=0.
C(2,1)到直线kx-y+2=0的距离d=解得k=2.
|2𝑘-1+2|√𝑘2+1=√5,
∴当△ABC的面积最大时,直线l的方程为2x-y+2=0.
8.(2021广西桂林一模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0,若直线y=2x+1上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则点P的横坐标为( ) A.±5 答案C 解析由x2+y2-4x=0,得(x-2)2+y2=4.
√3B.±√15 3
C.±√15 5
D.±3
√5 2
则圆心C(2,0),半径r=2.
∵过点P所作的圆的两条切线相互垂直,∴P,C及两切点构成正方形,得|PC|=2√2. ∵P在直线y=2x+1上,∴设P(a,2a+1),
得(a-2)2+(2a+1)2=8,解得a=±√15. 5
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知直线l1:3x+y-3=0,直线l2:6x+my+1=0,则下列表述正确的有( ) A.直线l2的斜率为-𝑚 B.若直线l1垂直于直线l2,则实数m=-18 C.直线l1倾斜角的正切值为3 D.若直线l1平行于直线l2,则实数m=2 答案BD 解析当m=0时,直线l2的斜率不存在,故A错误;
直线l1垂直于直线l2,则有3×6+1×m=0, 解得m=-18,故B正确;
直线l1的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故C错误; 3𝑚-6=0,
当直线l1平行于直线l2,则{
1×1+3𝑚≠0,解得m=2,故D正确.
10.(2021福建漳州检测)已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可以为( ) A.(2,0) 答案AC 解析设B(x,y),
B.(6,4)
C.(4,6)
D.(0,2)
6
∵等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐标为(0,4),
𝑦-3
∴{
×0-3=-1,𝑥-3
2
2
2
2
4-3
√(𝑥-3)+(𝑦-3)=√(0-3)+(4-3),
𝑥=2,𝑥=4,解得{或{
𝑦=0𝑦=6,
∴点B的坐标为(2,0)或(4,6).
11.(2020江苏如皋中学高二期中)下列说法正确的是 A.若两条直线互相平行,则它们的斜率相等
B.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线 C.圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(1,-2),半径为√5
D.若直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是[0,2]
3
( )
3
答案BD 解析对于A,若两条直线均平行于y轴,则两条直线斜率都不存在,故A错误.
对于B,若直线不平行于坐标轴,则原方程可化为
𝑦-𝑦1𝑦2-𝑦1
=
𝑥-𝑥1𝑥2-𝑥1
,为直线两点式方程;当直线平行于x
轴,则原方程可化为y=y1;当直线平行于y轴,则原方程可化为x=x1.
综上所述,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线,故B正确. 对于C,圆的方程可整理为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2),故C错误. 对于D,若直线不经过第二象限, -2≥0,3则{𝑡解得0≤t≤2,故D正确. -≤0,
22𝑡-3
12.(2020山东枣庄检测)已知P,Q分别为圆M:(x-6)2+(y-3)2=4与圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上的动点,A为x轴上的动点,则|AP|+|AQ|的值可能是 A.7 答案CD 解析圆N:(x+4)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆为圆N':(x+4)2+(y+2)2=1,则|AP|+|AQ|的最小值为|MN'|-1-2=√102+52-3=5√5-3≈8.2,最大值为|MN'|+1+2=5√5+3≈14.2.故选CD. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021天津河西一模)已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则圆C的标准方程为 . 答案x2+(y+2)2=5 解析如图,
由圆心与切点的连线与切线垂直,得
𝑚+12
( )
D.10
B.8 C.9
=-,解得m=-2.
2
1
∴圆心为(0,-2),则半径r=√(-2-0)2+(-1+2)2=√5. ∴圆C的标准方程为x2+(y+2)2=5.
14.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线也称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为 . 答案(-4,0)
解析设C(m,n),由重心坐标公式可得,△ABC的重心为(
代入欧拉线方程可得,
2+𝑚3
2+𝑚4+𝑛3
,
3
),
−
4+𝑛3
+2=0,整理可得m-n+4=0.
4-0
①
又AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为0-2=-2,
𝑥-2𝑦+3=0,𝑥=-1,1
所以AB的中垂线方程为y-2=2(x-1),即x-2y+3=0,联立方程{解得{
𝑦=1,𝑥-𝑦+2=0,所以△ABC的外心为(-1,1).
则有(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理可得m2+n2+2m-2n=8.
②
4
由①②可得,m=-4,n=0或m=0,n=4, 当m=0,n=4时,点B,C重合,舍去, 故顶点C的坐标是(-4,0).
15.已知直线x-√3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为 . 答案5 解析因为圆心(0,0)到直线x-√3y+8=0的距离d=由|AB|=2√𝑟2-𝑑2可得6=2√𝑟2-42,解得r=5.
16.已知m∈R,动直线l1:x+my-2=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B,若l1与l2交于点P(异于点A,B),则|PA|+|PB|的最大值为 . 答案3√2 解析l1:x+my-2=0可变形为(x-2)+my=0,令y=0,则x=2,
故动直线l1:x+my-2=0过定点A(2,0).
l2:mx-y-2m+3=0可变形为m(x-2)-(y-3)=0,令x=2,则y=3, 故动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B(2,3). 又1·m+m·(-1)=0,所以直线l1与直线l2垂直, 则有PA⊥PB,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=9, 所以(
|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|2
2
8√1+3=4,
)≤
|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐵|2
2
=2, 9
即|PA|+|PB|≤3√2,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立.所以|PA|+|PB|的最大值为3√2. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知直线l经过两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点P. (1)求垂直于直线l3:x-2y-1=0的直线l的方程; (2)求与坐标轴相交于两点,且以P为中点的直线方程. 3𝑥+4𝑦-2=0,𝑥=-2,解(1)由{得{故P(-2,2).
𝑦=2,2𝑥+𝑦+2=0,
∵l垂直于l3:x-2y-1=0,∴l的斜率为-2, ∴l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0.
(2)设过点P(-2,2)的直线l与x轴交于点A(a,0),与y轴交于点B(0,b), 由题意可知,P为A,B中点,
𝑎+0
2
则有{𝑏+0
2
𝑎=-4,解得{
𝑏=4,=2,
=-2,
则A(-4,0),B(0,4), 故l的斜率为k=0-(-4)=1,
则所求直线的方程为y-2=x+2,即x-y+4=0. 18.
4-0
5
(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,边AB所在直线方程为2x-y-2=0,点C(2,0),BC=1,B为第一象限内的点. (1)求点B的坐标;
(2)求AB边上的高CE所在直线的方程; (3)求直线AB与直线CD之间的距离. 解(1)设B(a,2a-2),∵C(2,0),BC=1,
∴√(𝑎-2)2+(2𝑎-2)2=1,解得a=1或a=5. ∵B为第一象限点,∴2a-2>0,即a>1. ∴a=5,则B(5,5).
(2)∵边AB所在直线方程为2x-y-2=0,
7
74
7
∴kCE=-𝑘=-2.
𝐴𝐵
11
又CE经过点C(2,0),
∴AB边上的高CE所在直线的方程为
y=-(x-2),即x+2y-2=0.
21
(3)∵AB∥CD,∴kCD=kAB=2.
∵点C(2,0),
∴直线CD的方程为y=2(x-2),
即2x-y-4=0.
又AB所在直线方程为2x-y-2=0,则直线AB与直线CD之间的距离d=19.(12分)
(2020陕西咸阳期末)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的长为3,宽为2,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,O为坐标原点. (1)求OB所在直线的方程.
(2)线段AB上是否存在一点P,使得CP⊥OP?若存在,求出线段AP的长度;若不存在,请说明理由. 解(1)由题意可知O(0,0),B(2,3),C(0,3),
所以OB所在直线的斜率为即3x-2y=0.
(2)不存在点P,使得CP⊥OP,理由如下:
假设线段AB上存在点P(2,a)(0≤a≤3),使得CP⊥OP, 显然直线CP与直线OP都存在斜率,分别记作kCP,kOP, 所以kCP·kOP=-1, 所以kCP=2-0=所以
𝑎-32
𝑎𝑎-3
𝑎-32
3-02-0
|-4-(-2)|√5=
2√5. 5
=,
2
3
3
所以OB所在直线的方程为y-0=2(x-0),
,kOP=2-0=2, 𝑎-0𝑎
·2=-1,即a2-3a+4=0,
6
则Δ=(-3)2-4×4<0,故方程无解,
所以线段AB上不存在点P,使得CP⊥OP.
20.(12分)(2020山西太原期中)已知圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0,圆N:x2+y2+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上. (1)求圆M的方程;
(2)证明圆M和圆N相交,并求两圆公共弦的长度l.
(1)解圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0的圆心M(a,-5a),因为圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上,
所以直线x+y+4=0经过点M,可得a-5a+4=0,解得a=1,则圆M的方程为x2+y2-2x+10y-24=0. (2)证明因为圆M的圆心M(1,-5),半径r1=5√2, 圆N的圆心N(-1,-1),半径r2=√10, |MN|=√(1+1)2+(-5+1)2=2√5. 因为5√2−√10<2√5<5√2+√10, 所以圆M和圆N相交.
𝑥2+𝑦2-2𝑥+10𝑦-24=0,由{2两式相减可得公共弦的直线方程为x-2y+4=0, 𝑥+𝑦2+2𝑥+2𝑦-8=0,M到直线的距离为d=𝑙2
|1+10+4|√5=3√5,
22
所以(2)=𝑟1-d=50-45=5,解得l=2√5, 则两圆公共弦的长度l=2√5. 21.(12分)
(2020湖北襄阳质检)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
34
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
解(1)如图,以OC,OA为x,y轴建立平面直角坐标系,则C(170,0),A(0,60).
由题意kBC=-3,直线BC方程为y=-3(x-170).
𝑦=-3(𝑥-170),𝑥=80,133又kAB=-=,故直线AB方程为y=x+60,由{解得{即B(80,120), 3𝑘𝐵𝐶44𝑦=120,𝑦=𝑥+60,
44
4
4
所以|BC|=√(80-170)2+1202=150,故新桥BC的长为150m.
(2)设OM=t,即M(0,t)(0≤t≤60),由(1)知直线BC的一般方程为4x+3y-680=0, 圆M的半径为r=
|3𝑡-680|5
, 7
由于0≤t≤60,因此r=
3
|3𝑡-680|5
=
680-3𝑡5
𝑟-𝑡≥80,3
=136-5t,由题意可知{
𝑟-(60-𝑡)≥80,
136-𝑡-𝑡≥80,
5
即{解得10≤t≤35, 3
136-5𝑡-(60-𝑡)≥80,
所以当t=10时,r取得最大值130,此时圆面积最大.故当OM长10m时,圆形保护区的面积最大. 22.(12分)
(2020浙江杭州期末)如图,已知圆O:x2+y2=1,点P(t,4)为直线y=4上一点,过点P作圆O的切线,切点分别为M,N.
(1)已知t=1,求切线的方程.
(2)直线MN是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
(3)若t>1,两条切线分别交y轴于点A,B,记四边形PMON面积为S1,三角形PAB面积为S2,求S1·S2的最小值.
解(1)当切线斜率不存在时,有切线x=1,即x-1=0;
当切线斜率存在时,设切线:y-4=k(x-1), 即kx-y-k+4=0, 可得|4-𝑘|√𝑘2+1=1,解得k=, 8
15
故切线方程为15x-8y+17=0. 综上,切线方程为x-1=0,15x-8y+17=0.
(2)是.M,N在以点P为圆心,切线长PM为半径的圆上, 即在圆P:(x-t)2+(y-4)2=t2+15上.
(𝑥-𝑡)2+(𝑦-4)2=𝑡2+15,
联立{2得tx+4y-1=0,
𝑥+𝑦2=1,所以直线MN:tx+4y-1=0过定点(0,).
4(3)S1=2S△PMO=2×|PM|·|OM|=√𝑡2+15.
21
1
设直线PM:y-4=k1(x-t),直线PN:y-4=k2(x-t). 得A(0,4-k1t),B(0,4-k2t),
∴|AB|=|k1-k2|t,
S2=2|AB|·t=2|k1-k2|·t2.
切线统一记为y-4=k(x-t),即kx-y-kt+4=0, 可得|4-𝑘𝑡|√𝑘2+11
1
=1,即(t2-1)k2-8tk+15=0,则方程的两根为k1,k2,
22√𝑡+15所以|k1-k2|=√(𝑘1+𝑘2)2-4𝑘1𝑘2=𝑡2-1.
√𝑡2+15·𝑡2
𝑡2-1
所以S2=,
8
则S1·S2=
𝑡2(𝑡2+15)𝑡2-1
(t>1),
(𝑚+1)(𝑚+16)
𝑚
记m=t2-1,则S1·S2=
=m+𝑚+17≥2√𝑚·𝑚+17=25,
1616
当且仅当m=4,即t=√5时,等号成立. 故(S1·S2)min=25.
9
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容