基金的使用问题

摘要：通过不同的存款方案与购买国债方式存储善款以使捐赠额达到最大 。 问题一：在只存入银行的前提下，根据2009年中国人民银行利率表，以使捐赠额达到最大为目标函数，建立规划模型，应用lingo软件求解。捐赠额达到最大为1676.151万元。

问题二：在即可购买国债又可存入银行的前提下，以使捐赠额达到最大为目标函数，建立规划模型，应用lingo软件求解。在捐赠额达到最大为1732.580万元。

问题三：以问题一和问题二下为了使第三年的捐赠金额为其他年份捐款金额的1.15且捐赠额达到最大为目标函数，建立规划模型，用lingo求解。最后最大捐赠额1732.767万元。

关键词：lingo；规划模型；最大化

一 、符号说明

符号 意义 xi（i=1,2,3…10） y 第i年的存储金额 每年捐赠的金额 ni（i=1,2,3…10） i=1,2,3…10） z（i第i年的利率 组合后第i年的最大利率 H 10年的捐赠总额

二 、模型的建立与求解

2.1问题一

模型分析：

银行2009年的存储利率表（%） 时间 活期 3个月 半年 1年 2年 利率 0.36 1.17 1.98 2.25 2.79 在存储5年内发现： 存一年时，利率最高为：(12.25%) 存两年时，利率最高为：(122.79%)

3年 3.33 5年 3.60 存三年时，利率最高为：(133.33%) 存四年时，利率最高为：(133.9%)(12.25%) 存五年时，利率最高为：(153.6%) 由此可得在6到10年内：

存六年时：利率最高为：(153.6%)(12.25%) 存七年时：利率最高为：(153.6%)(122.79%) 存八年时：利率最高为：(153.6%)(133.33%)

存九年时：利率最高为：(153.6%)(133.33%)(12.25%) 存十年时：利率最高为：(153.6%)(153.6%)

综上所述，建立规划模型，此时H10y。在只能存入银行时，关于10年捐赠最大金额H与每年存储额xi和不同年份的最大利率zi的函数关系如下：

Max Hxizi

i110x1(12.25%)yx2(122.79%)yx3(133.33%)yx4(133.9%)(12.25%)yx(153.6%)y5s..tx6(153.6%)(12.25%)y x(153.6%)(122.79%)y7x8(153.6%)(133.33%)yx9(153.6%)(133.33%)(12.25%)yx10(153.6%)(153.6%)5500yx1x2x3x4x5x6x7x8x9x105500由lingo求解得：

x1163.9267x2158.7565x3152.3912x4149.0379x5142.0467x6138.9210 x7134.5394x8129.1451x9126.3033x104070.393y167.6151

即： 存款年限 一年（x1） 二年（x2） 三年（x3） 四年（x4） 五年（x5） 六年（x6） 七年（x7） 八年（x8） 九年（x9） 十年（x10） 每年捐款额（y） 10年总捐款额（H） 存款金额（万元） 163.9267 158.7565 152.3912 149.0379 142.0467 138.9210 134.5394 129.1451 126.3033 4070.393 167.6151 1676.151 由此可知，此时H10y，在即购买国债也存储银行时每年最大捐赠额y为167.615万元，则10年最大捐赠额H为1676.150万元。

2.2问题二

模型分析：

由于2009年3年国债发行日为7月14日，所以如果想购买3年国债则需要花4年时间。假设到期时即2012年，购买5年国债则需6年银行存款利率与2009年相同，不变。

则购买国债和存银行4年利率为：

(111.7%)(10.99%)(10.090%)(10.2925%)大于银行存储4年利率。

则购买国债和存银行6年利率为：

(122.1%)(10.99%)(10.089%)(10.2925%)大于银行存储6年利率。

而购买国债5年的利率为(111.7%)(10.99%)(10.090%)(10.2925%)(12.25%)，则小于存入银行5年利率。

设同时购买国债和存入银行4年的利率为n4，则：

n4(111.7%)(10.99%)(10.090%)(10.2925%)1.133909 设同时购买国债和存入银行6年的利率为n6，则：

n6(122.1%)(10.99%)(10.089%)(10.2925%)1.239471 综上所述，建立规划模型，此时H10y。在即可存入银行又可购买国债的条件下，关于10年捐赠最大金额H与每年存储额xi和不同年份的最大利率zi的函数关系如下：

Max Hxizi

i110

x1(12.25%)yx2(122.79%)yx3(133.33%)yx4n4yx(153.6%)y5 s..tx6n6yxn(12.25%)y76x8n6(122.79%)yx9n6(133.33%)yx10n6n45500yx1x2x3x4x5x6x7x8x9x105500

用lingo求解得

x1169.4455x2164.1011x3157.5217x4152.5217x5146.8288x6139.7838 x7136.7079x8132.3961x9127.0878x104036.622y173.2580 存款年限 一年（x1） 二年（x2） 三年（x3） 四年（x4） 五年（x5） 六年（x6） 存款金额（万元） 169.4455 164.1011 157.5217 152.7971 146.8288 139.7838 七年（x7） 八年（x8） 九年（x9） 十年（x10） 每年捐款额（y） 10年总捐款额（H）

136.7079 132.3961 127.0878 4036.622 173.2580 1732.580 由此可知，在即购买国债也存储银行时每年最大捐赠额y为173.258万元，则10年最大捐赠额H为1732.580万元。

2.3问题三

2.3.1模型分析（针对问题一）：

在只存入银行的前提下，要求第三年的捐款金额为其他每年的1.15倍，所以设第三年的捐款金额为1.15y，其他约束条件不变，建立模型，此时

H9y1.15y。则关于10年捐赠最大金额H与每年存储额xi和不同年份的最大

利率zi的函数关系如下

Max Hxizi

i110

x1(12.25%)yx2(122.79%)yx3(133.33%)1.15yx4(133.9%)(12.25%)yx(153.6%)y5 s..tx6(153.6%)(12.25%)yx(153.6%)(122.79%)y7x8(153.6%)(133.33%)yx9(153.6%)(133.33%)(12.25%)yx10(153.6%)(153.6%)5500yx1x2x3x4x5x6x7x8x9x105500用lingo求解得：

x1161.5443x2156.4492x3172.7029x4146.8718x5139.9823x6136.9020 x7132.5841x8127.2682x9124.4677x104068.643y165.1791

即： 存款年限 一年（x1） 二年（x2） 三年（x3） 四年（x4） 五年（x5） 六年（x6） 存款金额（万元） 161.5443 156.4492 172.7029 146.8718 139.9823 136.9020 七年（x7） 八年（x8） 九年（x9） 十年（x10） 每年捐款额（y） 10年总捐款额（H） 132.5841 129.1451 127.2682 4068.643 165.179 1650.179 由此可知，在即购买国债也存储银行时每年最大捐赠额y为165.179万元，则10年最大捐赠额H为1674.750万元。

2.3.2模型建立（针对问题二）：

在既可以存入银行，又可以购买国债的条件下，由于要求第三年的捐款金额为其他年的1.15倍，所以设第三年的捐款金额为1.15y，其他约束条件不变，建立模型，此时H9y1.15y。则关于10年捐赠最大金额H与每年存储额xi和不同年份的最大利率zi的函数关系如下

Max Hxizi

i110

x1(12.25%)yx2(122.79%)yx3(133.33%)1.15yx4n4yx(153.6%)y5s..tx6n6y xn(12.25%)y76x8n6(122.79%)yx9n6(133.33%)yx10n6n45500yx1x2x3x4x5x6x7x8x9x105500

用lingo求解得：

x1166.9591x2161.6932x3178.4917x4150.5551x5144.6743x6137.7327 x7134.7019x8130.4534x9125.2230x104034.814y170.7157

即： 存款年限 一年（x1） 二年（x2） 三年（x3） 四年（x4） 五年（x5） 六年（x6） 七年（x7） 八年（x8） 九年（x9） 十年（x10） 每年捐款额（y） 10年总捐款额（H） 存款金额（万元） 166.9591 161.6932 178.4917 150.5551 144.6743 137.7327 134.7019 130.4534 125.2230 4034.814 170.716 1707.16 由此可知，在即购买国债也存储银行时每年最大捐赠额y为170.716万元，则10年最大捐赠额H为1732.767万元。

则在问题二上实行计划能够达到10年捐款金额为1732.767万元。

三、参考文献

[1]何中士．数学实验[M]．科学出版社．2000

[2] 朱道元.数学建模案例精选[M].基金使用计划.北京：科学出版社.2003年 [3]中国人民银行利率表

http://www.pbc.gov.cn/publish/zhengcehuobisi/631/2012/20120706180100684952896/20120706180100684952896_.html