对函数极限概念的理解

函数极限概念，不易理解。由于极限概念具有高度的抽象性，因此，令人很难快速正确理解和掌握极限数学语言的真正内涵，以致于学完了极限，极限的意识还很薄弱。因此，要抓住理解的关键，我们体会，宜抓住以下三点：

（一） 将“任意近处”的描绘性语言，转化为可进行量化比较的准确表达

考察数集X={x},若在点𝑥0的任意近处包含有X中异于𝑥0的x的值，则点𝑥0称为这数集的聚点。

为着要更准确地表达这定义，我们引入点𝑥0的邻域的概念：以点𝑥0为中心的开区间（𝑥0−𝛿，𝑥0+δ）称为点𝑥0的邻域。下边我们将聚点做可进行量化比较的准确表达：若在点𝑥0的任一邻域内包含X中异于𝑥0的x的值，则𝑥0是数集X的聚点。关于“任一邻域”，δ=1cm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1mm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1nm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；„„,点𝑥0的邻域可以无穷小。因此，“任一邻域”是一个无穷集。

对聚点𝑥0本身来说，可以属于X，或不属于X。也就是说𝑥0在X上可以有定义或无定义。𝑥0在X上无定义时，它的邻域也存在，叫做空心领域。

（二） 注意函数f(x)在x接近于𝑥0时的性态。 设在区域X内给定函数f(x)，且𝑥0是X的聚点。这函数f(x)在x接近于𝑥0时的性态是值得注意的。相对于自变量x,通过法则f,得到f(x)，若出现了f(x)无限趋近于数A的性态，或者叫做f(x)与数A的差距无限小的性态，则可类似于𝑥0的邻域𝛿，把ε看作A的邻域，而把这种性态更准确地表达为：Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)。这个表达就具备了可进行量化比较性。

（三） 𝛿与ε的关系 从x与f(x)的关系看，前者为因，后者为果。但是从𝑥0的邻域𝛿与A的邻域ε的关系看，则是前者依赖后者，总是要先给定任一ε>0，而后求那个能保证ε成立的𝛿。即𝛿的几何空间受ε的几何空间的约束。既然f(x)无限趋近于数A的性态，可更准确地表达为：Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)，那么，使Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)成立的𝛿应是什么样呢？也就是如何依赖Ⅰf(x)- AⅠ<ε求𝛿呢？具体过程如下：

将Ⅰf(x)- AⅠ变形：Ⅰf(x)- AⅠ=MⅠx-𝑥0Ⅰ,其中M是一个与x无关的常量。 再取𝛿=𝑀，则当0<Ⅰx-𝑥0Ⅰ<𝛿时，有0<Ⅰx-𝑥0Ⅰ<𝑀，整理为0ε

ε

结论若对于任一数ε

>0能求出𝛿>0,只须Ⅰx-𝑥0Ⅰ<𝛿能使Ⅰf(x)- AⅠ<ε （式中的x取自X

内且异于𝑥0）成立，则称当x趋向于𝑥0时（或在𝑥0）函数f(x)以数A为极限。

记成：𝐥𝐢𝐦𝒙→𝑥0𝒇 𝒙 =𝑨