一、 遇到角平分线时的辅助线作法（下图中AE为∠BAC的角平分线）-------翻折思想
A A
A F F
E D D 的
B C B E B E C
类型1：作辅助线EF⊥AC） 类型2:（在AC上截取AF=AD）
F
C
类型3：（延长BE交AC于点F）
例1：如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE,垂足为D.证明： ∠2= ∠1+∠ C
证明：延长AD交BC于点F
∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE=∠EBC 又∵BD⊥A ∴∠BDA=∠BDF=90° ∵在△ABD和△FBD中： ∠ABE=∠EBC
BD=BD
F
∠BDA=∠BDF=90° ∴ △ABD≌△FBD（ASA） ∴∠BAD=∠DFA即∠2=∠DFA 又∵∠DFA=∠1＋∠C ∴∠2=∠1＋∠C
例2：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD． 证明：在AC上截取AF=AE ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠EAO=∠FAO ∵在△AEO和△AFO中， AE=AF ∠EAO=∠FAO AO=AO ∴△AEO≌△AFO（SAS） ∴∠AEO=∠AFO ∵∠AEO=∠B＋∠ECB=60°＋∠ECB② ∠AFO=∠ACE+∠FOC③ ∠ACE=∠ECB(EC是角平分线)④ 由①②③④得：∠FOC=60° ∵∠DOC=∠OAC＋∠ACO=2∠BAC＋2∠ACB=2（180°－∠B）=60° ∴∠FOC=∠DOC ∵在△CFO和△CDO中： ∠FOC=∠DOC OC=OC ∠ACE=∠ECB ∴△CFO≌△CDO ∴FC=CD ∴AC=AF+FC=AE+CD 111F
二： 遇到中线的辅助线作法--------倍长中线法----------旋转思想 例1：如图，在△ABC中，D为BC中点
解：（1）延长AD至F使DF=AD （1）试说明:AB+AC＞2AD
∵在△ADB和△FDC中 （2）若AB=5,AC=3，求AD 的取值范围
BD=DC
∠ADB=∠FDC
AD=DF
三：遇到线段倍数，和，差关系-------截长补短法
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD=60°，试证明:BD+DC=AB
证明：（1）延长BD至E使BE=AB，连接CE
∵∠ABD=60°，∴△ABE是等边三角形 ∴AE=AB，∠AEB=60°
又∵AB=AC∴AE=AC∴∠ACE=∠AEC ∵∠ACD=∠AEB=60°
∴∠ACE－∠ACD=∠AEC－∠AEB 即∠DCE=∠DEC∴DC=DE ∴BD+DC=BD+DE=BE=AB
（补短法）
例2：如图，AB∥CD,CE,BE平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上。试说明：BC=AB+CD
证明：在BC上截取BF=BA ∵在△ABE和△FBE中：
AB=BF
∠ABE=∠FBE
BE=BE
∴△ABE≌△FBE ∴∠A=∠EFB，AB=BF ∵AB∥CD ∴∠A＋∠D=180° ∵∠EFB+∠EFC=180° ∴∠EFC=∠D
∵在△EFC和△EDC ∠EFC=∠D ∠ECF=∠ECD EC=EC
∴△EFC≌△EDC（AAS）∴FC=CD ∴BC=BF+FC=AB+CD ∴△ADB≌FDC ∴AB=CF
在△ACF中，AC+CF＞AF即AC+AB＞2AD
（2）在△ACF中，AC+CF＞AF即AC+AB＞2AD CF-AC＜AF即AB-AC＜2AD 得出： 1＜ AD＜4
F
F
（截长法） 还可延长BE,CD使其交于点M，思考下接下来 怎么做？
四：平行线法-------运用平移的思想
例1：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。
证明：作EG∥AC
∵EG∥AC ∴∠EGB=∠ACB∴∠EGD=∠DCF ∵AB=AC，∴∠B=∠ACB ∴∠EGB=∠B ∴EB=EG 又∵EB=CF，∴EG=CF ∵在△EGD和△FCD中 ∠EGD=∠DCF G
∠EDG=∠FDC
EG=CF
∴ △EGD≌△FCD ∴DE=DF
五：遇到等腰三角形-------可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法 构造全等三角形．
六：遇到某线段的垂直平分线:可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线，出一对全等三角形
七：直接连接顶点/或延长线段交于一点等特殊方法
练习题：
1.如图农科所有一块五边形的试验田如图所示，已知在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=20m,求这块试验田的面积
解:
提示：延长DE至F使 EF=BC，证△ABC≌△AEF，△ACD≌△AFD，答案为400m2
2. 如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证AC=BF
解:
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC,交BC于点D,求证:BD=2CD
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