圆锥曲线经典例题及总结

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：

椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；

双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

抛物线中：

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x轴上时 焦点在y轴上时 。

方程AxByC表示椭圆的充要条件是什么？

（2）双曲线：焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么？

（3）抛物线：

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆： （2）双曲线： （3）抛物线：

提醒：在椭圆中，a最大，abc，在双曲线中，c最大，cab。

4.圆锥曲线的几何性质：

2222222222x2y2（1）椭圆（以221（ab0）为例）：①范围： ；

ab②焦点： ；③对称性： （如何通过方程证

明）四个顶点 ，其中长轴长为 ，短轴长为 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，椭圆0e1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

x2y221（a0,b0）为例）（2）双曲线（以：①范围： ；②焦点：2ab两个焦点 ；③对称性： 一个对称中心 ，两个顶点 ，其中实轴长为 ，虚轴长为 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，双曲线e1，等轴双曲线e⑥两条渐近线： 。

22，e越小，开口越小，e越大，开口越大；

（3）抛物线（以y2px(p0)为例）：①范围： ；②焦点：一个焦点 ，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点 ；④准线：一条准线 ； ⑤离心率： 抛物线e1。

22x0y0x2y25、点P(x0,y0)和椭圆221（ab0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外221；

abab2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上22＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内221

abab

6．直线与圆锥曲线的位置关系：（注意什么？ ）

（1）相交：0直线与椭圆相交；

0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；

（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

x2y22）过双曲线22＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

ab①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时， （共 条）

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， （共 条） ③P在两条渐近线上但非原点，只有两条： ④P为原点时这样的直线 ； 3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点： （哪三条） 7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： Sbtan当|y0|b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线S22c|y0|，

b2tan2。

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（最好自己能推证）： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；

（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；

（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；

（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1k2x1x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝121y1y2，若弦AB所在直线2k方程设为xkyb，则AB＝1ky1y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计

算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

b2x0x2y2在双曲线221中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线

abay0py22px(p0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。

y0提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！

11．了解下列结论

2222（1）双曲线xy1的渐近线方程为xy0；

a2b2a2b222b（2）以yx为渐近线（即与双曲线xy1共渐近线）的双曲线方程为 。

22aab（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

2（6）若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|x1x2p；

22p2,y1y2p2 ②x1x24（7）若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量u1,k或um,n；

（2）给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;

2（3）给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;

rr（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数,使ABAC；③若存在实数

uuuruuuruuur,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

（6） 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角,

（4）给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

MAMB（8）给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/

MAMB（9）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形;

uuuruuuruuuruuur（10） 在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形;

（11）在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

222uuuruuurABACruuur)(R)等于已知AP通过ABC的内（14）在ABC中，给出OPOA(uuu|AB||AC|心；

（15）在ABC中，给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

uuur1uuuruuur （16） 在ABC中，给出ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线;

2uuuruuur2

例：已知A,B为抛物线x=2py(p>0)上异于原点的两点，OAOB0，点C坐标为（0，2p）

（1）求证：A,B,C三点共线；

13.圆锥曲线中线段的最值问题：

uuuuruuur（2）若AM＝BM（R）且OMAB0试求点M的轨迹方程。

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为____ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

x2y21，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的练习1、已知椭圆C1的方程为4左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程； (2) 若直线l：ykx2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足OAOB6(其中O为原点)，求k的取值范围。

练习2在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

1. 2. 3. 4.

一、椭 圆

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

xxyyx2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭圆的切线方程是02021.

ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直

abxxyy线方程是02021.

abx2y27. 椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则

ab椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2btan22.

x2y28. 椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相

应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，

A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b211. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB2，

abab2x0即KAB2。

ay0x0xy0yx02y02x2y212. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被Po所平分的中点弦的方程是2222.

abababx2y2x0xy0yx2y213. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2222.

ababab1.

2. 3. 4.

二、双曲线

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

abx0xy0y21. a2bx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为

abxxyyP1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点

abF1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot2.

x2y28. 双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q

交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2x0b2x0KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

abx0xy0yx02y02222. a2babx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

abx2y2x0xy0y222. 2abab

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

x2y21椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2

abx2y2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y2双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于ab22P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2y21. ab

x2y22.过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两

abb2x0点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y2过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,Cab两点，则直线BC有定向且kBCb2x02（常数）. ay0

x2y23.若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2,

abacPF2F1，则tancot.

ac22x2y2若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, abcacaPF2F1，则tancot（或tancot） ca22ca22x2y24.设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2

absince. 中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

sinsinax2y2设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为ab中，记F1PF2F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2, PF1F2,F1F2P，则有since. (sinsin)ax2y25.若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，

ab可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21时，可在双ab曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26.P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

ab2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

x2y2P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则ab|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是7.椭圆

a2b2A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y222222双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC. ab

x2y28.已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

ab4a2b2a2b2111122

;（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）SOPQ的最小值是2.

ab2ab2|OP|2|OQ|2a2b2x2y2已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ. ab4a2b2a2b211112222;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1） ;（3）SOPQ的最小值是2222baba2|OP||OQ|ab

. x2y29.过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交

ab|PF|e. x轴于P，则

|MN|2x2y2过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交xab|PF|e. 轴于P，则|MN|2

x2y210.已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交

aba2b2a2b2x0于点P(x0,0), 则. aax2y2已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), aba2b2a2b2则x0或x0. aa

x2y211.设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，

ab2b22则(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2btan.

1cos2x2y2设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则ab2b22(1)|PF1||PF2|.(2) SPFFbcot. 121cos2

x2y212.设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

ab2ab2|cos|.(2) PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|22accos2tantan1e.(3) SPAB22a2b22cot. 2ba设A、B是双曲线x2y21（a＞0,b＞0）的长轴两端点，Pa2b2是双曲线上的一点，PAB, 2ab2|cos|. PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|222|accos|(2) tantan1e.(3) SPAB22a2b22cot2ba.

x2y213.已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆

ab相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

x2y2已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交ab于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

攻克圆锥曲线解答题的策略

可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 第一、知识储备：

1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

x2y21(m0,n0且mn)；距离式方程：(xc)2y2(xc)2y22a 标准方程：

mn 参数方程：xacos,ybsin (2)、双曲线的方程的形式有两种

x2y21(mn0)距离式方程：|(xc)2y2(xc)2y2|2a 标准方程：

mn(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

2b22b22p 椭圆：；双曲线：；抛物线：aa(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

x2y21的两个焦点，平面内一个动点M满足MF1MF22则动点M如：已知F1、F2是椭圆43的轨迹是（ ）A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线

(5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，SF1PF2b2tan2

P在双曲线上时，SF1PF2b2cot2ruuuuruuuruuuur|PF1|2|PF2|24c2uuu（其中F1PF2,cos,PF1•PF2|PF1||PF2|cos）

|PF1||PF2|(6)、记住焦半径公式：（1）椭圆焦点在x轴上时为aex0;焦点在y轴上时为aey0，可简记为“左

加右减，上加下减”。

（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0|a （3）抛物线焦点在x轴上时为|x1|pp,焦点在y轴上时为|y1| 22(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？

第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题）

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如

果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用

判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点

A(x1,y1),B(x2,y2)，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消

元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y280上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A

在y轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为90，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

0

3、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD中AB2CD，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当233时，求双曲线离心率e的取值范围。 4

分析：考虑AE,AC为焦半径,可用焦半径公式, AE,AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算, 达到设而不求的解题策略． 解法二：

4、判别式法

例3

22yx已知双曲线C:1，直线l过点A222,0，斜率为k，当0k1时，双曲线

的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。

5、求根公式法

x2y2AP的取值范围. 例5设直线l过点P（0，3），和椭圆1顺次交于A、B两点，试求

94PB

例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AFFB1，OF1．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。

3例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)、B(2,0)、C1,2三点． （Ⅰ）求椭圆E的方程：

（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(1,0),H(1,0)，当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH内心的坐标；

0)及椭圆x23y25，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点. 例8、已知定点C(1，1（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；

2（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

23x2y2例10、已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离

3ab是

3. 2 （1）求双曲线的方程；

（2）已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为

直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

x2y2例12、已知双曲线221(a0,b0)的左右两个焦点分别为F1、F2,点P在双曲线右支上.

ab34116,)时,PF1PF2,求双曲线的方程； 55（Ⅱ）若|PF1|3|PF2|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

（Ⅰ）若当点P的坐标为(