白山市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（ ）
A． B．C．
D．
2． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7
B.8
C. 9
D. 10
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【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 3． 函数f（x）=x3﹣3x2+5的单调减区间是（ ）
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，1） D．（0，5）
4． 已知命题p：∃x∈R，cosx≥a，下列a的取值能使“￢p”是真命题的是（ ） A．﹣1 B．0
C．1
D．2
5． 已知函数f（x）=xex﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
6． 满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是（ ）
xx2x2A.f(e)|x| B.f(e)e C.f(lnx)lnx D.f(lnx)x1 x【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 7． 双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（ ） A．
B．﹣2t C．
D．4
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8． 设,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若l，，则l B．若l//， //，则l C．若l，//，则l D．若l//，，则l
9． （文科）要得到gxlog22x的图象，只需将函数fxlog2x的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位 10．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ） A．
B．|a|＞|b|
C．a2＞b2
D．a3＞b3
11．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A． = B．∥ C． D．
12．设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），
22
则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a|﹣a，且
函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤ C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2
二、填空题
13．已知（1+x+x2）（x
n+
）（n∈N）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n= ．
2
14．函数y=sinx﹣2sinx的值域是y∈ ． 15．在极坐标系中，直线l的方程为ρcosθ=5，则点（4，
）到直线l的距离为 ．
2
16．M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，已知点F是抛物线y=4x的焦点，则△MNF的重心到准线距离为 ．
17．已知x，y满足条件
，则函数z=﹣2x+y的最大值是 ．
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18．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为
，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为 ．
三、解答题
19．设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．
20．
221．设集合Ax|x8x150,Bx|ax10．
1，判断集合A与B的关系； 5（2）若ABB，求实数组成的集合C．
（1）若a
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22．已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为
23．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．
24．若{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）均在函数y=（1）求数列{an}的通项公式； （2）设
，Tn是数列{bn}的前n项和，求：使得
对所有n∈N都成立的最大正整数m．
*
，求此抛物线方程．
的图象上．
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白山市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵y=f（|x|）是偶函数， x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的． 故选B．
∴y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，
【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，函数y=f（x）的图象和函数|f（x）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．
2． 【答案】A
【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n10，i1；n5，i2；n16，i3；n8，i4；n4，i5；n2，i6；n1，i7，到此循环终止，故选 A. 3． 【答案】A
32
【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+5，
2
∴f′（x）=3x﹣6x，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2， 故选：A．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
4． 【答案】D
【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1． 下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2． 故选；D．
5． 【答案】C
【解析】解：设g（x）=xex，y=mx﹣m， 由题设原不等式有唯一整数解， 即g（x）=xex在直线y=mx﹣m下方， g′（x）=（x+1）ex，
g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），
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结合函数图象得KPA≤m＜KPB， 即
≤m＜
，
，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
6． 【答案】D. 【
解
析
】
7． 【答案】C
22
【解析】解：双曲线4x+ty﹣4t=0可化为：
∴
22
∴双曲线4x+ty﹣4t=0的虚轴长等于
故选C．
8． 【答案】C111] 【解析】
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考
点：线线，线面，面面的位置关系 9． 【答案】C 【解析】
试题分析：gxlog22xlog22log2x1log2x，故向上平移个单位. 考点：图象平移．
10．【答案】D
【解析】解：若a＞0＞b，则
，故A错误；
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误； 若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误； 函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确； 故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：由图可知，，但不共线，故， 故选D．
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．
12．【答案】 B
【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数， 当x≥0时， f（x）=|x﹣a2|﹣a2=
图象如图，
2
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a，要满足f（x+l）≥f（x），
1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），
22
∴1≥3a﹣（﹣a），
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∴﹣≤a≤ 故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．
二、填空题
13．【答案】 5 ．
【解析】二项式定理． 【专题】计算题．
n+12
）（n∈N）的展开式中无常数项、x﹣项、x﹣项，利
【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x用（x
n+
）（n∈N）的通项公式讨论即可．
xn﹣rx﹣3r=
xn﹣4r，2≤n≤8，
【解答】解：设（x
）（n∈N）的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=
n
+
当n=2时，若r=0，（1+x+x）（x
2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；
n
+
当n=3时，若r=1，（1+x+x）（x
2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠3；
n
+
当n=4时，若r=1，（1+x+x）（x
2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠4；
n
+
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2
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x）（x）（n∈N）的展开式中均没有常数项，故n=5适合
n
+
题意；
2
n
+
当n=6时，若r=1，（1+x+x）（x当n=7时，若r=2，（1+x+x）（x
2
）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠6； ）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠7；
n
+
当n=8时，若r=2，（1+x+x）（x
2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；
n
+
综上所述，n=5时，满足题意． 故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．14．【答案】 [﹣1，3] ．
22
【解析】解：∵函数y=sinx﹣2sinx=（sinx﹣1）﹣1，﹣1≤sinx≤1，
22
∴0≤（sinx﹣1）≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）﹣1≤3． 2
∴函数y=sinx﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
15．【答案】 3 ．
【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5． 点（4，
）化为
．
∴点到直线l的距离d=5﹣2=3． 故答案为：3．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．
16．【答案】
．
2
【解析】解：∵F是抛物线y=4x的焦点， ∴F（1，0），准线方程x=﹣1， 设M（x1，y1），N（x2，y2），
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∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6， 解得x1+x2=4，
∴△MNF的重心的横坐标为， ∴△MNF的重心到准线距离为． 故答案为：．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
17．【答案】 4 ．
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时， 直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4． 故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
18．【答案】 4或 ．
【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=， ∴AC=
，
×
，
22
由余弦定理可得x=9+3x+9﹣2×3×
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∴x=1或或AB=2
，
，球O的直径为，球O的直径为．
=4，
=
．
，BC=
∴AB=2，BC=2故答案为：4或
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（e﹣1）+2x．
mx
mxmx
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e﹣1≥0，f′（x）＞0．mxmx
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值． 所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是
即
t
t
设函数g（t）=e﹣t﹣e+1，则g′（t）=e﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
1
又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．
当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e﹣m＞e﹣1．
m
m
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是
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20．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计．
【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20 根据平均数值公式求解即可．
（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=求解数学期望即可．
【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1 解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为：
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克） 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2； 则X～B（3，）， X=0，1，2，3； P（X=0）=P（X=1）=
×（）3=×（）2×=
； ；
，P（X=3），列出分布列，
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P（X=2）=P（X=3）=
×（）×（）2=×（）3=
，
；
∴X的分布列为： X 0 P 即E（X）=0×
1 =．
2 3 【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力
21．【答案】（1）BA；（2）C0,3,5. 【解析】
考
点：1、集合的表示；2、子集的性质.
22．【答案】
2
【解析】解：由题意可设抛物线的方程y=2px（p≠0），直线与抛物线交与A（x1，y1），B（x2，y2） 联立方程则
2
可得，4x+（4﹣2p）x+1=0
，，y1﹣y2=2（x1﹣x2）
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=
=
解得p=6或p=﹣2
=
=
22
∴抛物线的方程为y=12x或y=﹣4x
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用
23．【答案】
【解析】满分（14分）．
解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），
．…（1分）
由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得
．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表： x f′（x） ﹣ f（x） ↘ 故函数f（x）在无极大值．…（4分） （Ⅱ）
，
0 + 极小值 ↗ 单调递减，在
单调递增，…（3分）f（x）有极小值
，
令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．
则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0 当a=0时，方程的解为
，满足题意；…（5分）
，函数h（x）在（0，1）上单调递增，
当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴
且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分） 当a＜0，△=0时，
，此时方程的解为x=1，不符合题意；
当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1， 只需h（1）=2a+1＞0，得综上，
．…（8分）
．…（7分）
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（说明：△=0未讨论扣1分）
（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分）由
，故由（Ⅱ）可知，
，
方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，
且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）
又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分） 取t=e﹣3+2a∈（0，1），
则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0， 从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0， 即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，
从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分） 解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分） （Ⅱ）
令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得设
，则m∈（1，+∞），
，
．…（5分）
，…（6分）
的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
问题转化为直线y=a与函数
又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分） 故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）
【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．
24．【答案】
2
【解析】解：（1）由题意知：Sn=n﹣n，
．…（8分）
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2， 当n=1时，a1=1，适合上式， 则an=3n﹣2；
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bn=（2）根据题意得：﹣
=1﹣
，
==﹣Tn=b1+b2+…+bn=1﹣+﹣+…+，
*
∴{Tn}在n∈N上是增函数，∴（Tn）min=T1=，
要使Tn＞对所有n∈N都成立，只需
*
＜，即m＜15，
则最大的正整数m为14．
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