2022年上海市黄浦区中考数学二模试卷
1. 下列根式中，与√2是同类二次根式的是( ) A. √3
B. √6
C. √8 D. √12
2. 下列运算中，计算结果正确的是( ) A. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎6
B. 𝑎2+𝑎3=𝑎5
C. 𝑎2÷𝑎3=𝑎
D. (𝑎2)3=𝑎6
3. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示，下列统计图中，能凸
显数据变化趋势的是( )
A. 条形图 B. 扇形图 C. 折线图 D. 频数分布直方图
4. 下列函数中，当𝑥>0时，𝑦值随𝑥值增大而减小的是( ) A. 𝑦=3𝑥
2
B. 𝑦=−𝑥+1
C. 𝑦=−𝑥 2
D. 𝑦=𝑥2+1
5. 关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑥−1=0根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 6. 下列命题中，真命题是( )
A. 正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形 B. 正六边形的每一个外角都等于中心角 C. 正六边形每条对角线都相等 D. 正六边形的边心距等了边长的一半 7. 5的倒数是______．
8. 如果分式3+𝑥有意义，那么𝑥的取值范围是______． 9. 方程√𝑥+2=1的解是______． 10. 不等式组{𝑥+1>0的解集是______．
𝑥−4<2
2𝑥
B. 没有实数根 D. 根的情况无法确定
11. 将抛物线𝑦=𝑥2+𝑥+1向下平移1个单位，所得新的抛物线的表达式是______． 12. 一副52张的扑克牌(无大王、小王)，从中任意抽出一张，抽到红桃𝐾的概率是______．
⃗ ，请用向量𝑎⃗ 表示向⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏 ，𝑏13. 如图，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=2𝐶𝐷，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=𝑎 ，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 量𝐴𝐶
14. 如图，已知𝐴𝐵//𝐷𝐸，如果∠𝐴𝐵𝐶=70°，∠𝐶𝐷𝐸=147°，那么∠𝐵𝐶𝐷=______°.
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新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，15. 一辆汽车，
但它在第二，三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为𝑥，那么根据题意，列出的方程为______．
16. 已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐶=10，𝑐𝑜𝑡𝐵=12，如果顶点𝐶在⊙𝐵内，顶点𝐴在⊙𝐵
外，那么⊙𝐵的半径𝑟的取值范围是______．
5
17. 如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍𝐴𝐵垂直立于水平的地面上，把木棍𝐶𝐷斜钉
在木棍𝐴𝐵上，点𝐷是木棍𝐴𝐵的中点，再把木棍𝐸𝐹斜钉在木棍𝐶𝐷上，点𝐹是木棍𝐶𝐷的中点，如果𝐴、𝐶、𝐸在一条直线上，那么
𝐴𝐶
的值为______． 𝐴𝐸
18. 如图，已知边长为1的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴、𝐵在半径与这个正方形边长相等的圆𝑂上，
顶点𝐶、𝐷在该圆内．如果将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴逆时针旋转，当点𝐷第一次落在圆上时，此时点𝐶与点𝐶′重合，那么△𝐴𝐶𝐶′的面积=______．
19. 计第：|√3−2|+20220−(−2)−1+2𝑐𝑜𝑠30°． 20. 解方程：𝑥2−9=1+𝑥−3−𝑥+3．
21. 如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶=𝐶𝐷，𝐵𝐷、𝐴𝐶交于点𝐸．
(1)求证：𝐴𝐵//𝐶𝐷；
(2)已知𝐵𝐶=6，𝐴𝐵=10，求tan∠𝐸𝐵𝐶的值．
4𝑥
2
2
1
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22. 某校举办了首届“英语原创演讲比赛”，经选拔后有若干名学生参加决赛，根据测试成
绩(成绩都不低于60分)绘制出如下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表提供的信息完成下列各题． 分数段 频数 频率 60−70 6 15% 70−80 19 𝑛 80−90 90−100 𝑚 25% 5 12.5% (1)参加决赛的学生有______名，请将图𝑏补充完整； (2)表𝑎中的𝑚=______，𝑛=______；
(3)如果测试成绩不低于80分为优秀，那么本次测试的优秀率是
______．
23. 如图，已知𝐴、𝐵、𝐶是圆𝑂上的三点，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝑀、𝑁分别是𝐴𝐵、𝐴𝐶的中点，𝐸、𝐹分
别是𝑂𝑀、𝑂𝑁上的点． (1)求证：∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐴𝑂𝑁；
(2)如果𝐴𝐸//𝑂𝑁，𝐴𝐹//𝑂𝑀，求证：𝑂𝐸⋅𝑂𝑀=𝐴𝑂2． 2
1
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24. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)经过点𝐴(4,0)，顶点为
𝐻(2,4)，对称轴𝑙与𝑥轴交于点𝐵，点𝐶、𝑃是抛物线上的点，且都在第一象限内． (1)求抛物线的表达式；
(2)当点𝐶位于对称轴左侧，∠𝐶𝐻𝐵=∠𝐶𝐴𝑂，求点𝐶的坐标；
(3)在(2)的条件下，已知点𝑃位于对称轴的右侧，过点𝑃作𝑃𝑄//𝐶𝐻，交对称轴𝑙于点𝑄，且𝑆△𝑃𝑂𝑄：𝑆△𝑃𝐴𝑄=1：5，求直线𝑃𝑄的表达式．
25. 已知：在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶：𝐴𝐷=1：3，𝑂是𝐴𝐶的
中点，过点𝑂作𝑂𝐸⊥𝑂𝐵，交𝐵𝐶的延长线于点𝐸． (1)当𝐵𝐶=𝐸𝐶时，求证：𝐴𝐵=𝑂𝐸；
(2)设𝐵𝐶=𝑎，用含𝑎的代数式表示线段𝐵𝐸的长，并写出𝑎的取值范围； (3)联结𝑂𝐷、𝐷𝐸，当△𝐷𝑂𝐸是以𝐷𝐸为直角边的直角三角形时，求𝐵𝐶的长．
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答案和解析
1.【答案】𝐶
【解析】解：√3与√2不是同类二次根式，所以选项A不符合题意； √6与√2不是同类二次根式，所以选项B不符合题意； √8=2√2，与√2是同类二次根式，所以选项C符合题意； √12=2√3，与√2不是同类二次根式，所以选项D不符合题意； 故选：𝐶．
将二次根式化成最简二次根式后，再根据同类二次根式的定义进行判断即可．
本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是正确判断的前提，将二次根式化成最简二次根式是正确判断的关键．
2.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故A不符合题意； B、𝑎2与𝑎3不能合并，故B不符合题意； C、𝑎2÷𝑎3=，故C不符合题意；
𝑎D、(𝑎2)3=𝑎6，故D符合题意； 故选：𝐷．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的乘方，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的乘方，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
1
3.【答案】𝐶
【解析】解：统计图中，能凸显数据变化趋势的是折线图， 故选：𝐶．
根据统计图的特点判定即可．
本题考查了统计图，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．
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4.【答案】𝐵
【解析】解：在𝑦=𝑥中，𝑘=>0，
33∴当𝑥>0时，𝑦随着𝑥增大而增大， 故A选项不符合题意， 在𝑦=−𝑥+1中，𝑘=−1<0， ∴当𝑥>0时，𝑦随着𝑥增大而减小， 故B选项符合题意； 在𝑦=−中，𝑘=−2<0， ∴当𝑥>0时，𝑦随着𝑥增大而增大， 故C选项不符合题意；
在𝑦=𝑥2+1中，当𝑥>0时，𝑦随着𝑥增大而增大， 故D选项不符合题意， 故选：𝐵．
根据一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性进行判断即可．
本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
2
𝑥2
2
5.【答案】𝐶
【解析】解：∵𝛥=(−1)2−4×1×(−1)=1+4=5>0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：𝐶．
先计算根的判别式的值得到𝛥>0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当𝛥>0时，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=0时，方程有两个相等的实数根；当𝛥<0时，方程无实数根．
6.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴、正六边形是轴对称图形页是中心对称图形，故错误，是假命题，不符合题意； B、正六边形的每一个外角都等于中心角，正确，是真命题，符合题意；
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C、正六边形的每条对角线不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意； D、正六边形的边心距等于边长的√3倍，故错误，是假命题，不符合题意．
3故选：𝐵．
利用正六边形的对称性及正多边形的计算分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正六边形的对称性及正多边形的计算，难度不大．
7.【答案】5
【解析】解：∵5×=1， ∴5的倒数是． 根据倒数的定义作答．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
15
151
8.【答案】𝑥≠−3
【解析】解：∵分式∴3+𝑥≠0，
∴𝑥的取值范围是𝑥≠−3． 故答案为：𝑥≠−3．
根据分式有意义的条件，可得：3+𝑥≠0，据此求出𝑥的取值范围即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
2𝑥
有意义， 3+𝑥
9.【答案】𝑥=−1
【解析】解：√𝑥+2=1， 两边平方得：𝑥+2=1， 解得：𝑥=−1，
经检验𝑥=−1是原方程的解， 即原方程的解是𝑥=−1， 故答案为：𝑥=−1．
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两边平方得出𝑥+2=1，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
10.【答案】−1<𝑥<6
【解析】解：由𝑥+1>0，得：𝑥>−1， 由𝑥−4<2，得：𝑥<6， 则不等式组的解集为−1<𝑥<6． 故答案为：−1<𝑥<6．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11.【答案】𝑦=𝑥2+𝑥
【解析】解：∵抛物线𝑦=𝑥2+𝑥+1可化为𝑦=(𝑥+)2+，
∴抛物线𝑦=𝑥2+𝑥+1向下平移1个单位，所得新抛物线的表达式为𝑦=(𝑥+)2+−1，即𝑦=
24𝑥2+𝑥．
故答案为：𝑦=𝑥2+𝑥．
先把函数化为顶点式的形式，再根据“上加下减”的法则即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
1
3
1
234
12.【答案】52
【解析】解：∵一副扑克牌除去大小王共52张，红桃𝐾有1张， ∴任意抽出一张，则抽到红桃𝐾的概率是：． 故答案为：．
由一副扑克牌除去大小王共52张，红桃𝐾有1张，直接利用概率公式求解即可求得答案．
1521521
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本题考查的是概率的求法．如果一个事件有𝑛种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件𝐴出现𝑚种结果，那么事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=𝑛
𝑚
⃗ 13.【答案】𝑎 +2𝑏
⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏【解析】解：∵𝐴𝐵=2𝐶𝐷，𝐴𝐵
1
∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷= ⃗ 𝑏，
2
1
⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ∵⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐷𝐷𝐶， ∵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=𝑎 ，
1⃗⃗⃗ =𝑎∴⃗⃗𝐴𝐶⃗ +⃗ 𝑏．
2
1故答案为：𝑎⃗ + ⃗ 𝑏．
2
⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ 首先根据已知求得向量𝐶𝐷，再根据向量的知识求得⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐷𝐷𝐶，代入数值即可求得． 此题考查向量的知识．题目比较简单，要注意识图．
14.【答案】37
【解析】解：如图，过点𝐶作𝐶𝐹//𝐴𝐵，则∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐴𝐵𝐶=70°，
∵𝐴𝐵//𝐷𝐸， ∴𝐷𝐸//𝐶𝐹，
∴∠𝐷𝐶𝐹=180°−∠𝐶𝐷𝐸=180°−147°=33°， ∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐹−∠𝐷𝐶𝐹=70°−33°=37°． 故答案为：37．
过点𝐶作𝐶𝐹//𝐴𝐵，则∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐴𝐵𝐶=70°，结合𝐴𝐵//𝐷𝐸可得𝐷𝐸//𝐶𝐹，进而可得∠𝐷𝐶𝐹的度数，进而可得∠𝐵𝐶𝐷的度数．
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本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线解题是解题关键．
15.【答案】20(1−20%)(1−𝑥)2=11.56
【解析】 【分析】
一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．
设这辆车第二、三年的年折旧率为𝑥，则第二年这就后的价格为20(1−20%)(1−𝑥)元，第三年折旧后的而价格为20(1−20%)(1−𝑥)2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程． 【解答】
解：设这辆车第二、三年的年折旧率为𝑥，有题意，得 20(1−20%)(1−𝑥)2=11.56．
故答案是20(1−20%)(1−𝑥)2=11.56．
16.【答案】10<𝑟<13
【解析】解：如图，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐶=10， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶=5， ∵𝑐𝑜𝑡𝐵=
𝐵𝐷𝐴𝐷
12
=
5𝐴𝐷
=
5
， 12
∴𝐴𝐷=12，
∴𝐴𝐵=√𝐵𝐷2+𝐴𝐷2=√52+122=13， ∵顶点𝐶在⊙𝐵内，顶点𝐴在⊙𝐵外， ∴10<𝑟<13．
故答案为：10<𝑟<13．
过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，根据等腰三角形三线合一的性质得到𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶=5，根据𝑐𝑜𝑡𝐵=
5
求出𝐴𝐷的长，根据勾股定理求出𝐴𝐵的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 12
12
本题考查了点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握点与圆的位置关系有3种，设⊙𝑂的半径为𝑟，点𝑃到圆心的距离𝑂𝑃=𝑑，则有：①点𝑃在圆外⇔𝑑>𝑟；②点𝑃在圆上⇔𝑑=𝑟；
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③点𝑃在圆内⇔𝑑<𝑟是解题的关键．
17.【答案】√5−1
2
【解析】解：设木棍的长度为2𝑎， ∵点𝐷是𝐴𝐵的中点， ∴𝐴𝐷=2𝐴𝐵=𝑎，
∴𝐴𝐶=√𝐶𝐷2−𝐴𝐷2=√(2𝑎)2−𝑎2=√3𝑎， 在𝑅𝑡△𝐷𝐴𝐶中，点𝐹是𝐶𝐷的中点， ∴𝐴𝐹=2𝐶𝐷=𝐶𝐹=𝑎， ∴𝐴𝐻=𝐻𝐶=
√3
1
1
2
𝑎，
∵𝐷𝐹=𝐹𝐶， ∴𝐹𝐻=2𝐴𝐷=2𝑎，
∴𝐸𝐻=√𝐸𝐹2−𝐹𝐻2=√(2𝑎)2−(2𝑎)2=2𝑎， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐻+𝐸𝐻=∴𝐴𝐸=√3+√15=
2
11
1√15
√3+√15
2
𝑎，
𝐴𝐶√3𝑎√5−1
𝑎2
，
故答案为：√5−1．
2
根据勾股定理求出𝐴𝐶，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到𝐴𝐹=𝐹𝐶，根据等腰三角形的性质求出𝐴𝐻，根据三角形中位线定理求出𝐹𝐻，根据勾股定理求出𝐻𝐸，计算即可．
𝐻𝐸本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，用𝑎表示出𝐴𝐶、是解题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：如图，分别连接𝑂𝐴、𝑂𝐵、𝑂𝐷′、𝑂𝐶、𝑂𝐶′； ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝐴𝐵， ∴△𝑂𝐴𝐵是等边三角形， ∴∠𝑂𝐴𝐵=60°；
1
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同理可证：∠𝑂𝐴𝐷′=60°， ∴∠𝐷′𝐴𝐵=120°； ∵∠𝐷′𝐴𝐵′=90°，
∴∠𝐵𝐴𝐵′=120°−90°=30°，
由旋转变换的性质可知∠𝐶′𝐴𝐶=∠𝐵′𝐴𝐵=30°； ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，且边长为2， ∴∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐶=√12+12=√2， ∴△𝐴𝐶𝐶′的面积为1×√2×√2=1，
2
2
2
故答案为：．
连接𝑂𝐴、𝑂𝐵、𝑂𝐷′、𝑂𝐶、𝑂𝐶′，首先求出∠𝐷′𝐴𝐵的大小，进而求出旋转的角度，利用三角形面积公式即可得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
1
2
19.【答案】解：|√3−2|+20220−(−2)−1+2𝑐𝑜𝑠30°
=2−√3+1−(−2)+2×=2−√3+1+2+√3 =5．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
√31
2
20.【答案】解：方程两边同乘以(𝑥+3)(𝑥−3)得：(1分)
4𝑥=𝑥2−9+2(𝑥+3)−2(𝑥−3)，(2分) 整理得：𝑥2−4𝑥+3=0，(2分) 解得：𝑥1=1，𝑥2=3，(3分)
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经检验：𝑥2=3是原方程的增根，(1分) 所以，原方程的解为𝑥=1.(1分)
【解析】观察可得方程最简公分母为(𝑥2−9).去分母，转化为整式方程求解．结果要检验． (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解； (2)解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】(1)证明：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶， ∵𝐵𝐶=𝐶𝐷， ∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷；
(2)解：过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为𝐹，
∴∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐴𝐹𝐸=90°，
∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐵𝐶=6，𝐴𝐵=10， ∴𝐴𝐶=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=√102−62=8，
∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐹𝐸=90°，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶，𝐵𝐸=𝐵𝐸， ∴△𝐵𝐹𝐸≌△𝐵𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐹=𝐵𝐶=6， ∴𝐴𝐹=𝐴𝐵−𝐵𝐹=4，
∵∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=∠𝐴， ∴△𝐴𝐹𝐸∽△𝐴𝐶𝐵， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐵，
𝐴𝐹
𝐴𝐸
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∴8=10， ∴𝐴𝐸=5，
∴𝐶𝐸=𝐴𝐶−𝐴𝐸=3，
在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸中，tan∠𝐸𝐵𝐶==6=2， 𝐵𝐶∴tan∠𝐸𝐵𝐶的值为．
【解析】(1)根据角平分线和等腰三角形的性质可证𝐴𝐵//𝐶𝐷，即可解答；
(2)过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为𝐹，先在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，利用勾股定理求出𝐴𝐶的长，再证明△𝐵𝐹𝐸≌△𝐵𝐶𝐸，从而利用全等三角形的性质可得𝐵𝐹=𝐵𝐶=6，进而求出𝐴𝐹的长，然后证明△𝐴𝐹𝐸∽△𝐴𝐶𝐵，利用相似三角形的性质求出𝐴𝐸的长，从而求出𝐶𝐸的长，最后在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
1
2
𝐸𝐶
3
1
4𝐴𝐸
22.【答案】40 10 47.5% 37.5%
【解析】解：(1)6÷15%=40(人)， 故答案为：40，补全统计图如图所示； (2)𝑚=40×25%=10(人)， 𝑛=19÷40×100%=47.5%， 故答案为：10，47.5%； (3)25%+12.5%=37.5%， 故答案为：37.5%． (1)根据频率=(2)根据频率=
频数总数频数总数
进行计算即可；
，各组频率之和为1进行计算即可；
(3)最后两组的频率之和即可 本题考查频数分布表，掌握频率=
频数总数
是正确解答的前提．
23.【答案】证明：(1)∵𝑀、𝑁分别是𝐴𝐵、𝐴𝐶的中点，
∴𝑂𝑀⊥𝐴𝐵，𝑂𝑁⊥𝐴𝐶，
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∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴𝐴𝑀=𝐴𝑁，
在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝑂和𝑅𝑡△𝐴𝑁𝑂中， 𝐴𝑂=𝐴𝑂{， 𝐴𝑀=𝐴𝑁
∴𝑅𝑡△𝐴𝑀𝑂≌𝑅𝑡△𝐴𝑁𝑂(𝐻𝐿)， ∴∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐴𝑂𝑁； (2)∵𝐴𝐸//𝑂𝑁，𝐴𝐹//𝑂𝑀，
∴四边形𝐴𝐸𝑂𝐹是平行四边形，∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐴𝑂𝑁， ∵∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐴𝑂𝑁， ∴∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐴𝑂𝑀， ∴𝐸𝐴=𝐸𝑂，
∴四边形𝐴𝐸𝑂𝐹是菱形， 连接𝐸𝐹，与𝐴𝑂交于点𝐻，
∴𝐴𝑂⊥𝐸𝐹，𝑂𝐻=𝑂𝐴，
2∵∠𝑂𝐻𝐸=∠𝑂𝑀𝐴=90°，∠𝐸𝑂𝐻=∠𝐴𝑂𝑀， ∴△𝑂𝐸𝐻∽△𝑂𝐴𝑀， ∴
𝑂𝐸𝑂𝐴1
=
𝑂𝐻， 𝑂𝑀∴𝑂𝐸⋅𝑂𝑀=𝑂𝐻⋅𝑂𝐴， ∴𝑂𝐸⋅𝑂𝑀=2𝐴𝑂2．
(1)根据圆的性质证明𝐴𝑀=𝐴𝑁，【解析】再证明𝑅𝑡△𝐴𝑀𝑂≌𝑅𝑡△𝐴𝑁𝑂，便可得∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐴𝑂𝑁； (2)先证明四边形𝐴𝐸𝑂𝐹为菱形，连接𝐸𝐹，与𝐴𝑂交于点𝐻，再证明△𝑂𝐸𝐻∽△𝑂𝐴𝑀，便可得出结论． 本题主要考查了圆的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，关键在于证明
1
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三角形全等与相似．
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24.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−2)2+4，
将𝐴(4,0)代入，可得4𝑎+4=0， ∴𝑎=−1， ∴𝑦=−𝑥2+4𝑥；
(2)过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑙交于𝐸，过点𝐶作𝐶𝐺⊥𝑥轴交于𝐺， 令𝑦=0，则𝑥=0或𝑥=4， ∴𝐴(4,0)， 设𝐶(𝑡,−𝑡2+4𝑡)，
∴𝐴𝐺=4−𝑡，𝐶𝐺=|−𝑡2+4𝑡|，𝐸𝐶=2−𝑡，𝐻𝐸=4−(−𝑡2+4𝑡)=𝑡2−4𝑡+4， ∵∠𝐶𝐻𝐵=∠𝐶𝐴𝑂， ∴𝐻𝐸=𝐴𝐺， ∴
2−𝑡𝑡2−4𝑡+4𝐶𝐸
𝐶𝐺
=
|−𝑡2+4𝑡|
， 4−𝑡
解得𝑡=1或𝑡=−√2+1， ∵𝐶点在第一象限， ∴𝐶(1,3)；
(3)设直线𝐶𝐻的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， ∴{
2𝑘+𝑏=4
，
𝑘+𝑏=3
𝑘=1解得{，
𝑏=2∴𝑦=𝑥+2， ∵𝑃𝑄//𝐶𝐻，
设直线𝑃𝑄的解析式为𝑦=𝑥+𝑚， 过𝑂点作𝐶𝐻的平行线，则解析式为𝑦=𝑥， 过𝐴点作𝐴𝐹//𝐶𝐻，则解析式为𝑦=𝑥−4， ∴𝐹(0,−4)， ∴𝑂𝐹=4，
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过点𝑂作𝐾𝑂⊥𝑃𝑄交𝐴𝐹于点𝐾，交𝑃𝑄于点𝐿， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐹， ∴∠𝑂𝐹𝐾=45°， ∴𝑂𝐾=2√2，
当𝑃点在直线𝑦=𝑥下方时， ∵𝑆△𝑃𝑂𝑄：𝑆△𝑃𝐴𝑄=1：5， ∴𝑂𝐿：𝐿𝐾=1：5， ∴𝑂𝐿=
√2
3
，
23
在𝑅𝑡△𝑂𝐿𝑀中，𝑂𝑀=， ∴𝑀(0,−3)，
∴𝑃𝑄的解析式为𝑦=𝑥−； 当𝑃点在直线𝑦=𝑥上方时， ∵𝑆△𝑃𝑂𝑄：𝑆△𝑃𝐴𝑄=1：5， ∴𝑂𝐿：𝐿𝐾=1：5， ∴𝑂𝐿=
√2
2
23
2
，
在𝑅𝑡△𝑂𝐿𝑀中，𝑂𝑀=1， ∴𝑀(0,1)，
∴𝑃𝑄的解析式为𝑦=𝑥+1；
综上所述：𝑃𝑄的解析式为𝑦=𝑥+1或𝑦=𝑥−．
【解析】(1)设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−2)2+4，将𝐴(4,0)代入，即可求解； (2)过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑙交于𝐸，过点𝐶作𝐶𝐺⊥𝑥轴交于𝐺，设𝐶(𝑡,−𝑡2+4𝑡)，由
|−𝑡2+4𝑡|
，求出𝑡即可求解； 4−𝑡
𝐶𝐸𝐻𝐸
23
=𝐴𝐺，则
𝐶𝐺
2−𝑡𝑡2−4𝑡+4
=
(3)求出直线𝐶𝐻的解析式，设直线𝑃𝑄的解析式为𝑦=𝑥+𝑚，过𝑂点作𝐶𝐻的平行线的解析式为𝑦=𝑥，过𝐴点作𝐴𝐹//𝐶𝐻，直线𝐴𝐹的解析式为𝑦=𝑥−4，过点𝑂作𝐾𝑂⊥𝑃𝑄交𝐴𝐹于点𝐾，交𝑃𝑄于点𝐿，求出𝑂𝐾=2√2，当𝑃点在直线𝑦=𝑥下方时，由题意可知𝑂𝐿：𝐿𝐾=1：5，则𝑂𝐿=√2，在𝑅𝑡△𝑂𝐿𝑀
3
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中，𝑂𝑀=，可求𝑀(0,−)，则𝑃𝑄的解析式为𝑦=𝑥−；当𝑃点在直线𝑦=𝑥上方时，同理求出
333𝑀(0,1)，则𝑃𝑄的解析式为𝑦=𝑥+1．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用平行线间距离的关系求函数解析式是解题的关键．
222
25.【答案】(1)证明：∵∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝑂是𝐴𝐶的中点，
∴𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵， ∵𝑂𝐸⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐵𝑂𝐸=90°， ∵𝐵𝐶=𝐸𝐶， ∴𝐶𝑂=𝐵𝐶， ∴𝐵𝐶=𝐵𝑂，
∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝑂𝐸=90°， ∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝑂𝐵(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐴𝐵=𝐸𝑂；
(2)解：∵∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝑂𝐸， ∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐸𝑂𝐵， ∴𝑂𝐵=𝐵𝐸， ∵𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐵=6， ∴𝐴𝐶=√𝑎2+36， ∴12𝐵𝐶𝐴𝐶
𝑎√𝑎2+36=
√𝑎2+36𝐵𝐸
，
∴𝐵𝐸=2𝑎(0<𝑎<6)； (3)解：设𝐵𝐶=𝑎，则𝐴𝐷=3𝑎，
①当∠𝑂𝐸𝐷=90°时，延长𝐵𝑂交𝐴𝐷于点𝐺，
𝑎2+36
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∵∠𝐵𝑂𝐸=90°， ∴∠𝐵𝑂𝐸=∠𝑂𝐸𝐷， ∴𝐵𝐺//𝐸𝐷， ∵𝐵𝐸//𝐴𝐷，
∴四边形𝐵𝐺𝐷𝐸是平行四边形， ∴𝐵𝐸=𝐷𝐺， ∵𝐵𝐶//𝐴𝐷， ∴𝐴𝐺=𝐴𝑂， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐺=𝑎， ∴
𝑎2+362𝑎𝐵𝐶
𝐶𝑂
=3𝑎−𝑎，
∴𝑎=2√3(负值舍去)；
②当∠𝑂𝐷𝐸=90°时，分别过点𝑂，𝐸作𝑂𝑀⊥𝐴𝐷，𝐸𝑁⊥𝐴𝐷，垂足分别为𝑀，𝑁，
∴∠𝑂𝑀𝐷=∠𝐷𝑁𝐸，∠𝑀𝑂𝐷=∠𝐸𝐷𝑁， ∴△𝑂𝑀𝐷∽△𝐷𝑁𝐸， ∴𝐷𝑁=𝐸𝑁， ∵𝐴𝑀=2𝐶𝐵=2𝑎， ∴𝑀𝐷=2𝑎，
51
1
𝑂𝑀
𝑀𝐷
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∵𝐷𝑁=𝐴𝑁−𝐴𝐷=∴
3
𝑎2+362𝑎𝑎2+36
−3𝑎， 2𝑎=
5𝑎26，
∴𝑎=5√3(负根舍去)． 综上所述𝐵𝐶的长为2√3或√3． 5【解析】(1)由直角三角形的性质证出𝐵𝐶=𝐵𝑂，根据全等三角形的判定可得出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝑂𝐵(𝐴𝑆𝐴)，由全等三角形的性质得出结论； (2)证明△𝐴𝐵𝐶∽△𝐸𝑂𝐵，由相似三角形的性质得出
𝐵𝐶
𝑂𝐵6
6
=
𝐴𝐶
，则可得出答案； 𝐵𝐸(3)分两种情况：①当∠𝑂𝐷𝐸=90°时，分别过点𝑂，𝐸作𝑂𝑀⊥𝐴𝐷，𝐸𝑁⊥𝐴𝐷，垂足分别为𝑀，𝑁，证明四边形𝐵𝐺𝐷𝐸是平行四边形，得出𝐵𝐸=𝐷𝐺，证出
𝐵𝐶𝐴𝐺=
𝐶𝑂𝑎2+36，得出方程𝐴𝑂2𝑎
=3𝑎−𝑎，可求出
𝑎的值；②当∠𝑂𝐷𝐸=90°时，分别过点𝑂，𝐸作𝑂𝑀⊥𝐴𝐷，𝐸𝑁⊥𝐴𝐷，垂足分别为𝑀，𝑁，证明△𝑂𝑀𝐷∽△𝐷𝑁𝐸，由相似三角形的性质得出
𝑂𝑀
𝐷𝑁=
𝑀𝐷
，列出方程可求出𝑎的值． 𝐸𝑁本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
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