ＮＯ．６ ２Ｏ１２ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ２０１２年第６期 摘要：利用类比法进行开放式教学是突破难点的一种教学 百分比／一…． ％ 知识掌握方面统计图 模式，它是充分调动每个学生的主观能动性，培养学生创造性 的有效教学模式．在前期操作中，包括描述难点以及难点的类比 阶段，其主要是培养学生发现学习的能力．发现学＞－－ｊ能让学生体 －验产生概念和原理的过程，从而掌握发现事实和法则的手段的 学习，是以体验发现过程为主的学习． 关键词：难点教学；类比法；教学模式；突破 一、问题的提出 一直以来，许多学生都抱怨数学难学，尤其是高中数学， 因为高中数学语言表述比较抽象，逻辑推理严密，思维要求严 谨，知识连贯性和系统性比较强．基础教育新课程改革的核心理 念是“一切为了每一位学生的发展”．如何培养数学优秀生与如 何转化数学困难生是两个责无旁贷而又极富挑战的问题，而部 分学生之所以学习数学困难，主要原因并非智力因素，如果教 师上课采用“满堂灌”的方式进行教学，客观上导致了学生思 维的依赖性以及思考问题的惰性，也就根本谈不上引导学生主 动学习、主动探索了，久而久之学生便可能丧失创造力．那么怎 这一调查结果表明，个人因素方面的数据体现七成以上的 样才能使数学教育面向全体学生呢？ ～一～～飘一一一一 一～一一删白 一一一 学生对数学学习有兴趣也有信心，有部分学生存在对数学的抽 本课题实施初期，笔者对所教班级的学生进行了问卷调查， 象性理解有障碍；知识掌握方面的数据体现学困生的知识掌握 方面的成因呈现多元化；由知识应用方面的数据能看出主要成 一耥一一一一椰 铋僦㈣黼一 共计１０２人．笔者与几名学生共同拟定了形成数学学习困难的三 方面原因（包括：个人因素方面、知识掌握方面、知识运用方 因也呈环节多样性． 面）的多个项目，要求学生根据自己的实际情况，对每个项目 部分学生对学过的知识理解不透彻，掌握的知识不能灵活 选择“是”、“不是”、“不确定”．统计后作为资料存档，在此基础 运用于解决问题过程中．遇到题目与例题稍不同甚至是数据稍有 上进行归纳总结，从而得出比较客观的结果． 变化就心慌，不能细心地读懂题目的要求，抓住问题的关键， 综合利用所学的知识解答题目． 计图 部分学生对书本上的例题掌握比较好，会做“死”题目， 理解力偏低，跟不上学习要求 但应变能力差．所学的知识对他们来说只是知识的终结，不能用 自我控制能力不强，不专心学习 作再学习的工具，缺乏基本的自学能力，属于“死读书，读死 不重视考试，缺乏竞争意识 书”之列．学习成绩会随着学习内容的增多，学习层次的提高而 学习方法、学习习惯不佳 逐渐下降，到较高年级也可能成为学习困难生． 对数学有兴趣，喜欢上数学课 综上问题，笔者在十几年的高中数学教学实践中积极探求 通过勤奋学习，有信心会更好 一些教学模式，以求更好地突破数学难点教学，在此本文介绍 利用类比法突破数学难点的教学模式． 收稿日期：２０１２～０３—１２ 作者简介：刘窗洲（１９７６一），男，湖南衡阳人，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究 ２５ 二、理论基础、原则以及操作流程图 １．理论基础 （４）复合型知识难点．这类知识难点具有多层次的逻辑结构． 知识难点与支点是相对而言的，某一逻辑层次中的难点，在低 一类比法是根据两个对象或两类事物间存在着相同或不同属 级逻辑层次上可能是知识支点，还可以继续进行分解，得到 性，联想到另一类事物也可能具有某种属性的思想方法．一般由 更低一级的支点．对知识难点的分解不是越细越好，应根据学生 特殊向一般类比，抽象向具体类比，低维向高维类比，平行类 的具体情况，以有利于教学为限度．如数学归纳法证明数列问题 比等． ２．类比思想方法应遵循的原则 与不等式问题、复合函数求最值、复合函数求单调区间时所涉 及各基本初等函数的定义域问题等． 以下介绍利用类比法突破难点教学模式在函数教学中的一 （１）熟悉化原则．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于 我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． （２）简单化原则．将复杂问题类比简单问题，通过对简单问 题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示 和依据． （３）和谐化原则．类比问题的条件和结论，使其表现形式更 符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者类比命题，使 其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． ３．利用类比法突破难点教学模式的实施流程图 图４ 该流程图是笔者改良并创造性地将类比法思想渗透人数学 难点教学的尝试结果，体现出帮助学生以一种新的和更具有创 造性的观点看待老问题、老观念或老成果的设计理念． 三、数学难点知识进行类比前应采取的分解思想 数学教材中的知识难点大体可分成并列型、论证型、概括 型和复合型四种类型． （１）并列型知识难点．若是时间型则按“开始一接着一后 来”或“过去一现在一将来”等有关时间顺序的方法进行分解； 若是空间型则可以根据“上下、前后、左右、里外、远近”等 一些表示位置关系的顺序进行分解；若是事问型则按几个并列 的部分或几个并列的方面进行分解．如：函数中的分段函数、增 减函数，三角函数中的正弦与余弦函数，数列中的等差与等比 数列，立体几何，圆锥曲线的几类曲线，排列与组合等． （２）论证型知识难点．这类知识点的分解，应该明确“推理 的大前提一小前提一结论一共计几步一最后结论”．如：均值不 等式的应用，立体几何的平行与垂直证明等． （３）概括型知识难点．这类知识难点可以分解成“概括对象 有哪些素材一概括思维过程一概括这些素材的因素一本质要 素一非本质的个别因素一概括的结论”．如线性规划求最值，导 数法求单调区间等． ２６ 个具体操作． 函数是中学数学新教材的核心内容，从常量数学到变量数 学的转变，是从函数概念的系统学习开始的．函数知识的学习对 学生思维能力的发展具有重要意义．从中学数学知识的组织结构 看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排 列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系． 例如，在教授（（蓝通高中课程标准实验教科书・数学（必修１）》 （人教Ｂ版）第二章“２．２．２二次函数的性质与图象”时，教师 可采取如下利用类比法突破难点的教学模式进行教学设计． 教师先提供一组知识支点信息给学生： ①代数式２ａｚ＋３ａ一１； ②二次函数Ｙ＝２ｘ ＋３ｘ一１； ③一元二次方程 ＋３ —ｌ：０的根； ④一元二次不等式 ＋３ｘ一１＞０的解； ⑤二次函数ｆ（ ）＝２ｘ ＋３ｘ一１的图象． 学生观察各信息一描述各信息一类比各信息一简缩各知识 支点冲突一再次类比各信息一获得新知识．新知识为： ①代数式２ａｚ＋３ａ一１为二次函数Ｙ＝２ｘ ＋３ｘ一１在 ＝ａ时 的值； ②一元二次方程 ＋３ｘ一１＝０的根可以看成二次函数厂（ ）＝ ２ ＋３ｘ一１的图象与 轴交点的横坐标； ③一元二次不等式 ＋３ｘ一１＞０的解可以看成是二次函 数Ｙ＝２ｘ ＋３ｘ一１的图象上位于 轴上部分点的横坐标集合． 如此进行课堂教学，可帮助高一年级的学生以一种新的且 更具有创造性的观点看待老问题、老观念或老成果．进行开放的 多样性组合研究将有利于学生的主动参与，使得学生能够在开 放的思维环境中从多维度去概括、考虑，使学生养成这个习惯 后，在解决问题时可以选择最优的策略．如若常常从一个维度去 思考，学生的思想容易受到束缚，容易造成定势，而多维度的 思想可以使得学生思维非常灵活，激发独创性． 四、利用类比法突破难点教学模式使教学方法得到优化 笔者在此处举一个“数列裂项法求和”教学设计的例子， 以此展现利用类比法突破难点教学模式的实施． （１）学生描述旧知识点阶段． 凡是学生能够读懂的教材都应指导学生阅读，要求学生将 原读材料分解成知识支点，再将知识支点组合成知识难点，领 会教材的内容和思路．因为学生的阅读能力有高有低，阅读的教 材有难有易，因此，对学生阅读的要求应逐步提高． （教学设计第一步）提供一组如下信息给学生： ｛丁一－一 ＝ ；争一｝：； 一丁 ；丁一 ；｝一｝：古；｝一｝＝ １２； 一 １（４）再次类比与验证难点阶段． 在此阶段教师要鼓励学生积极、主动地参与争辩． ①要敢于回答教师的提问，要求学生回答的问题有两类： 是记忆性问题，即复述现成的答案，主要是并列型知识点； ；…；依此类推・ 一学生能轻而易举将其特征描述并类比出：通项是＿ｌ一 ＝ 二是思维性问题，即对已知信息进行加工得到新的结论，主要 是概括型和论证型知识点． （ｎ Ｎ （２）学生直接进行类比难点阶段． 指导学生罗列阅读提纲．（１）指导学生将并列型知识难点分 ②教师要善于引导学生讨论，有些问题答案涉及多方面的 内容，或有多条解题途径，答案不易全面．还有一些问题解题 解成知识支点，然后罗列提纲，对按空间或单顺序叙述的材料， 通过想象作出分析线索图．（２）指导学生将概括型知识难点分解 成知识支点；将概括对象中的各个要素列成表格；将论证型知 识难点分解成知识支点，作出类比法推理思路图． （教学设计第二步）要求学生完成如下问题： 问题１：求数列１，丁 ，Ｔ 丁，…，Ｔ 的前 项和Ｓ ． 学生有一定的求和经验，能快速求得通项公式％＝—７＿ ｌ＿ ， ｎ ／７，十ｌ Ｊ 但新的问题同时出现在他们的面前，怎样进一步求和呢？此时教 师能做的就是让学生自己去摸索，发散地去思考，这样一来是把 学生引到了裂项法求和的路上．得 ＝ ＝２（ 一 ）， 接着教师再传授“累差叠加法”，更能调动学生的学习热情． 解：该数列的通项为％＝ ｎｔ，ｎ十ｌ Ｊ ，分裂为两项差的形式 为 ２（１－一一 ）， 令ｎ＝１，２，３，…， 则５ ＝２（１一≥＋｝一｝＋ 一｝＋…＋ 一 ）． 所以ｓ ＝２（ 一 ）＝ ． （３）简缩数学知识难点冲突阶段． 教师应多采用启发思维，原则上讲，如果学生已经了解了 新信息，那么，对这些信息的思维加工应尽量由学生自己去完 成．如果思维加工难度比较大，应把知识难点分解成知识支点或 展示难点思维加工推导的层次，教师从中找到难点，进行具体 指导． （教学设计第三步）教师抓住此时的热度，展示下一个问题： 问题２：已知数列｛ ｝是等差数列，％≠０，求ｊ一＋圳】一一＋…＋ １ ％＋１％ 这时，教师可多给学生一点思考的时间，让学生自觉地进 行再次类比阶段．相信思维能力强的学生能得出雷同思想的裂项 式： １ ＝（ 一 ）× １，在此过程之中可能教师并没有 说任何提示的话语，但却会是一次非常成功的教学． 思路狭窄，解题时需要进行多方面的探索．这些问题可由全班 讨论． ③教师要让学生参与评价，对自己或别人的操作进行反思， 判断其正误或优劣． （教学设计第四步）有了前三步作教学上的铺垫，多个知识 难点可被学生类比出更多的新知识难点，也就能充分发挥出学 生的创造潜力，变被动为主动，变枯燥为有趣，变困难为容易． 如此问题则可一步步深入，甚至达到高考难度，知识支点也就 逐渐组合成知识点、知识网、知识板块、知识体系等，在这一 步中将主要进行简缩数学难点冲突． 问题３：裂项 ＝ １（ 士丁一 Ｔ）． 问题４：裂项 ＝ ［（ 可一 ）］． 问题５：裂项已知数列｛ ・ ｝的前ｎ项和ｓ ＝９—６ｎ（ｎ∈Ｎ ）． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）设６ ＝ｎ・（３一ｌ。＆ ），求数列｛ １的前ｎ项和？ 解：（１）当ｎ＝１时， ＝Ｓ ＝３，当ｎ≥２时，２ ・ａａ＝ — Ｓ 一ｌ＝一６， 所以％： ≥． ｆ３ ｎ＝１）， 所以通项公式％ ｛ｌ 一 一（１一ｎ … 一２ ≥２ ）．’ （２）当ｎ＝１时，ｂｌ＝３一ｌｏｇ２１＝３， 所以 １： ， Ｏ１ 当ｎ≥２时，ｂ ＝ｎ・（３一ｌｏｇ２ ｎ（ｎ＋１）， 所以 ＝ 可． 所以（ ｝的前ｎ项和（裂项法与错位相减法）， ＝ ＋ ＋…＋ ＝｝＋ 丁＋ ＋…＋ １ —５ １ 一 一 。 应该说，学生如若能成功完成并真正理解问题５的难度且 升华｝一 ＝ ，也就真正完成了难点｝一 ＝ （下转第３２页） ２７ 容易发现：如图７， 理论，以对三角函数线的知识进行有效的拓展和恰当的延伸， 延伸和拓展的内容充分考虑学生的接受能力与生活经历，适合 学生的年龄特点与认知水平，在学生已达到的发展水平上进行 的设计，通过教学活动，笔者力争帮助学生达到可能达到的发 展水平．教学中，教师利用“几何画板”软件做出动态的同一个 角的三种三角函数线，让学生观察三角函数线的变化情况，充 图７ 分利用教学素材将静态的数学知识还原成动态的生成过程，使 信息技术与数学课程进行整合，更好地突出几何直观，引导学 生正确利用三角函数线解决实际问题，尽可能地为学生提供一 种思考、交流、探究的空间，关注学生的学习兴趣和体验，充 ｔａｎｘ＞ｃｏｔｘ成立的范围是：（ ＋｝， ＋孚）， ＥＺ； ｔａｎ ＜ｃｏｔ 成立的范围是：（ ， ‘． ＋ ），｜ｉ｝∈ｚ； 斗 分体现“数学教学是数学活动的教学”这一教育思想，为促进 学生在教师指导下主动、富有个性地学习而教．教师有目的、有 ｔａｎ ：ｃｏｔ 成立的条件是： ＝ 竹＋ ，或 ＝ 盯＋孚， 即 ＝ Ｚ ＋孚，其中｜ｉ｝∈ｚ． 斗 计划、精心设计，预设性延伸和拓展．但在实际教学时，学生常 常会出现一些创新的想法和思维火花，造成一些意想不到的延 总结：它们在第一、三象限和第二、四象限角平分线及 伸和拓展，因此，在教学中，教师兼顾预设性和生成性，珍惜 轴、Ｙ轴四条直线分成的八个区域，沿 轴正半轴开始，按逆 教学动态中延伸和拓展生成的机会，及时调整预设方案，根据 时针方向依次以“余切大于正切，正切大于余切”交潜“分疆 师生互动的实际进行，以期完成教学任务．比如，课堂上，当学 而治”，当且仅当角的终边落在第一、三象限和第二、四象限的 生提“有点像疆土的分界”时，笔者顺势将其说成“楚河汉 角平分线上时取“＝”． 二、课例总体评析 界”，使预设和生成融人到课堂教学的每一个环节中，信手拈 来，不失雕琢，妙趣横生．教学中的难点是三角函数线的运用， 本节课延伸和拓展的内容是以“三角函数线”这一核心内 而数形结合是其重点，教师在教学中充分借助三角函数线这一 容为基础，拓展的教学内容是为教材核心内容教学服务的，也 工具，延伸和拓展是水到渠成的，能达到“润物细无声”的效 是为教学实际需要进行设计，在拓展延伸中提供探究的平台， 果．本课例不经意间的延伸和拓展，却能够非常自然地突破教学 营造浓烈的学习氛围，培养学生具备全面、思辨的思维品质．本 难点，突出重点，锻炼学生的思维，既丰富了三角函数线的概 节课沿着“设置问题、探索辨析、归纳应用、延伸拓展”这条 念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创 主线进行教学，学生通过利用“几何画板”合作探究，拓展思 新意识也有了相应的提高，为后续高效教学做好铺垫．维，大胆猜想，营造一个开放的数学学习环境．整节课上，学生 有能力、有动力、有活力参与所延伸和拓展的教学环节，表现 参考文献： ［１］刘舸．试析新课程理念下信息技术与数学课程整合的切 出积极的情感体验和主动学习的愿望，切实学到新的知识，进 一入点［Ｊ］．中国数学教育（高中版），２００８（６）：１０—１１． ［２］渠东剑．让数学活动设计更精当［Ｊ］．中国数学教育 （高中版）．２０１０（６）：６—８． 步扩展自己的知识视野．教师本着“让学生充分经历知识的形 成、发展和应用过程”的教学理念，结合了“最近发展区”的 ・＋一＋・・＋”＋”＋・－＋－＋・・＋ （上接第２７页） 的内化，同时反映出利用类比法突破难点教学模式使 别是数学困难生解决学习中的难点，提供热情服务，严格要求 也是促使学生落实教学指令过程中的重要情感因素． 教学方法得到优化． ２．激发了学生积极探索客观事物的兴趣 — ． ｎ Ｌｎ＋ｌ Ｊ 利用类比法进行开放式教学是突破难点的一种教学模式， 它是充分调动每个学生的主观能动性，培养学生创造性的有效 教学模式．在前期操作中，包括描述难点以及难点的类比阶段， 众所周知，如果教师把难度较大、综合性较强的问题硬性 地灌输给学生，不但收不到预期的效果，反而会打消部分学生 的学习积极性，挫伤他们脆弱的自信心，对于教师来说是费力 其主要是培养学生的发现学习能力．发现学习能让学生体验产生 不讨好的事．所以教师此时采用类比法教学模式，学生自主将偏 概念和原理的过程，从而掌握发现事实和法则的手段的学习．发 难、综合性强的知识难点分解成知识支点，通过“化整为零” 现学习是以体验发现过程为主的学习． 五、教学策略实践后的体会与成效 使得学生去掉对复杂问题的畏惧感，找到自信心，从而增强学 习困难生对数学的学习兴趣． 参考文献： １．师生之间情感得到优化 实施中，教师以师生间的信息传递为载体，主动与学生进 行情感交流，学生每学完一个难点应根据教学需要，教师及时 主动地了解学生的学习情况，决定是否需要相应调整自己的教 学方法和进度．注意在教学评价中增强师生情感，主动为学生特 ［１］郭思乐，等．数学思维教育论［Ｍ］．上海：上海教育出 版社，１９９７． ［２］李兴业，等．非智力因素与创造力的培养［Ｍ］．武汉： 湖北教育出版社，２００２． ３２