化工装备技术第34卷第2期2013年4月
流体机械用插值函数绘制离心泵叶片流线展开图
胡家顺*王冕杨明董川熊勃（武汉工程大学机电工程学院)摘要提出了一种用n次插值函数绘制离心泵叶片流线展开图的方法。利用该方法绘制叶
片流线展开图，可通过选择不同的插值节点，方便地控制或改变叶片流线展开图形，以满足不同的设计要求。关键词离心泵叶片叶片流线n次插值函数展开图中图分类号TQ050.2DrawingSpreadPictureofCentrifugalPumpBladeStreamline
UsingInterpolatingFunction
HuJiashun
WangMianYangMing
DongChuan
XiongBo
Abstract：Presentsamethodofdrawingthespreadpictureofcentrifugalpumpbladestreamlinebynthorderinterpolatingfunction.Withthemethod,itisconvenienttocontrolorchangethebladestreamlinespreadpicturebyselectingdifferentinterpolationnodes,soastomeetdifferentdesignrequirements.
Keywords:Centrifugalpump;Blade;Bladestreamline;nthorderinterpolatingfunction;Spreadpicture
在叶轮的绘型中，当完成流线的分点后需将流线在方格网图上展开。传统的绘制方法是用弹性较好的软尺，弯折其两端使与流线的入、出口安装角相等，按软尺自然形成的曲线绘出。若按此绘出的展开流线前后角度不平缓时，需修改叶片入口边在轴面投影图上的位置，再绘制流线的展开图，直到符合要求为止。可见该方法误差大、效率低。
因此不少研究者对此提出了改进的方法，如文献[1]给出的用样条函数和文献[2]给出的用贝赛尔曲线绘制流线展开图的方法都十分方便有效，但均有数值计算量偏大之疵。
本文给出了一种用n次插值函数绘制离心泵叶片流线展开图的方法。利用该方法绘制叶片流线展开图，可通过选择不同的插值节点，方便地控制或改变叶片流线展开图形，以满足不同的设计要求。
*胡家顺，男，１９５１年生，教授。武汉市，430073。
1一元n点插值函数的构成
当已知n个点时，可以通过全部n个点作一插
值函数P（x），如式（1）所示，可以用它求其任意节点间的函数插值。
P（x）=
(x-x1)(x-x2)…(x-xn)
y+
(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)0
(x-x0)(x-x2)…(x-xn)
y+…+
(x1-x0)(x1-x2)…(x1-xn)1(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
yn
(xn-x0)(xn-x1)…(xn-xn-1)即
P(x)=Σ
i=0
n
仪j=0,j≠i
仪
n
x-xj
yxi-xji
仪（1）
一元n点插值函数，虽然在应用时十分方便，但由于该插值函数为一高次方程，特别是当n值很
2013年4月胡家顺等：用插值函数绘制离心泵叶片流线展开图
9
大时（节点数很多时)，可能出现插值的不稳定性。为避其弊端，现取n=4构成插值函数，用以绘制叶片流线展开图。插值函数的具体表达式如下式所示。
P（x）=
(x-x1)(x-x2)…(x-x4)
y+
(x0-x1)(x0-x2)…(x0-x4)0(x-x0)(x-x2)…(x-x4)
y+…+
(x1-x0)(x1-x2)…(x1-x4)1(x-x0)(x-x1)…(x-x4)
y4
(x4-x0)(x4-x1)…(x4-x3)图1n=4插值函数节点确定的示意图
即
其一阶导数为
P(x)=Σ
i=0
4
仪j=0,j≠i
仪
4
x-xj
yxi-xji
仪Σ仪仪仪仪仪仪仪仪仪仪仪仪仪仪仪仪仪
（2）
（10）y21=[tgβ1-(Ay0+By1+Dy3+Ey4)]/C
（11）y22=[tgβ2-(A′y0+B′y1+D′y3+E′y4)]/C′
其中A、B、C、D、E分别为x=x0时，i=
P′(x)=Σ
i=0
4
仪仪
44仪
仪仪仪仪
仪k=0,k≠ij=0,j≠i,j≠k仪仪
4仪
仪仪仪ij仪仪j=0,j≠i仪
Σ
Σ仪
0，1，2，3，4的
（3）
仪x-xj仪仪yi
x-x仪仪k=0,k≠i
Σ
4
Σ仪
44i
j=0,j≠i,j≠k
仪x-xj仪j
仪仪（12）
j=0,j≠i
x-x仪仪仪22.1
插值函数节点的确定节点0、1、3、4的确定
节点0(x0，y0)和节点4(x4，y4)可选在流线
值；A′、B′、C′、D′、E′分别为x=x4时，i=
0，1，2，3，4的
的进出口的两个端点上（见图1），即
k=0,k≠i
Σ
4
Σ仪
44
i
j=0,j≠i,j≠k
仪x-xj仪j
x1=0，y1=m，x4=φ/△φ，y4=0
式中
——流线在入口边处的分点序号；m———叶片包角；φ———任意轴面间夹角。△φ—为使流线两端点处满足和
（13）
j=0,j≠i
x-x仪仪仪值。y21应等于y22，即
y21-y22=0
（4）（5）
（14）
P′(x0)=tgβ1
P′(x4)=tgβ2
这是一个以x2为未知量的非线性方程，可用数值方法求解得x2后代回到式（10）或式（11），便可求得y2。由于用数值方法求解方程（14）过于繁复，为简化计算，在按式（6）～式（9）确定节点1、
可将节点1(x1，y1)和节点3(x3，y3)分别选在流线进出口安装夹角β1和β2的射线l1和l3上（见图1）。笔者经大量算例表明，当取和
3后，可将节点2的x2值取为x0、x4的中点，即
x2=x0+x42而将y2取为
（15）
x1=0.5~0.01x3=(0.85~0.95)x4
（6）（7）
时，流线能较好地满足式（4）、式（5）所给出的条件，且各流线在距出口端约20°～30°时具有趋于重合的特性。x1、x3确定后，y1、y3可按下式计算:
y2=y22（16）
经笔者大量算例表明，用上述简化方法确定的节点所构成的插值函数来绘制流线展开图，均获得较为满意的结果。
y1=y0-x0tgβ1y3=y4+(x4-x3)tgβ2
2.2
节点2的确定
（8）（9）
3计算实例
某电解液循环泵叶轮的绘型中，已知叶片流线
由式（4）、式（5）给出的流线两个端点处的边界条件，可分别解得
进口处的分点值及进出口安装角（见表1），叶片
10
表1流线前盖板流线a中间流线b后盖板流线c
叶片流线分点值及进出口安装角流线分点值
进口安装角
化工装备技术第34卷第2期
及由这些节点所构成的插值函数一阶导数在两个端点上的值。
在确定了各流线的插值函数的节点后可按式(2)分别计算各不同x值时的P（x），得到一系列点（x，P（x）），连接这些点即得各流线的展开图，其结果见图2。
30°30°30°
出口安装角
9.3411.4313.10
21°25°29°
包角及任意轴面间夹角为φ=110°、△φ=5°。
先确定绘制前盖板流线a插值函数的节点。节点0：取x0=0，y0=9.34；
节点4：取x4=φ/△φ=110°/5°=22，y4=0；节点1：按式(6)取x1=0.01，
y1=y0-x1tgβ1=9.34-0.01×tg21°=9.3362;
节点3：按式(7)取x3=0.95x4=21，
y3=y4+(x4-x3)tgβ2=0+(22-21)×tg30°=0.5774;
节点2：取x2=x0+x4=0+22=11，按式（16）得
22y2=y22=[tgβ2-(A′y0+B′y1+D′y3+E′y4)]/C′
图2Q25H58电解液循环泵叶片流线展开图之一
其中A′、B′、C′、D′、E′由式(13)计算得到：
将表2中节点3的x3值取为21.5而其他条件均保持不变，据此绘出的各流线展开图如图3所示。比较图2、图3可见，在90°～110°（即x=18～
A′=4.7597，B′=-4.7707，C′=0.0364D′=-1.2073，E′=1.1818
将上述数值及y0、y1、y3、y4值一并代入上式得
y2=5.5940
后盖板流线b和中间流线c插值函数的节点确定方法同上。表2列出了各流线插值函数的节点以
表2
流线
插值函数节点值
22）处有明显的差异，图2上各流线在此范围的重合度较之图3的要高，也更符合离心泵叶片流线在
出口处的走向特性。
前盖板流线a中间流线b后盖板流线c
001
插值函数节点
1223344
x0y0x1y1x2y2x3y3x4y4
09.340.019.3362115.5940（5.5794）
（21.5）
011.430.0111.4253116.1142（6.1100）
（21.5）
013.100.00113.0919116.5008（6.5040）
（21.5）
图3
Q25H58电解液循环泵叶片流线展开图之二
212121
0.5774（0.2887）2200.3838821°0.5773630°
0.5774（0.2887）2200.4663125°0.5773530°
0.5774（0.2887）2200.5543229°0.5773430°
由此可见，用插值函数绘制叶片流线展开图，通过选择不同的插值节点，即能方便地控制或改变叶片流线展开图形，以获得满意的结果。
参考文献
[1][2]
陈世亮.叶片流线展开的计算方法
P′(x0)=tgβ1
β1
P′(x4)=tgβ2
β2
[J].流体工程，
注：括号内数据是改变节点3中
点的变化值。
x3=21为x3=21.5后相应节
1992（2）：44-45.
谢俊.贝赛尔曲线设计离心泵叶轮的叶片型线[J].排灌机械，2000，18（4）：1-3.
（收稿日期：2012-08-18）
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