(完整word版)高等数学辅导讲义

函数、极限、连续 函数 极限 连续 函数概念 函数的四种特征 反函数与复合函数 初等函数 数列极限函数极限连续概念 间断点分类 初等函数的连闭区间上连续函数的性质 续性 函数的有界性 数列极限的定义 函数极限的定义 第一类间断点 有界性与最大值最小值定理 函数的单调性 收敛数列的性质 函数极限的性质 可去间断点零点定理 函数的奇偶性 极限的唯一性 函数极限的唯一性 跳跃间断点 函数的周期性 收敛数列的有界性 函数极限的局部有界性 第二类间断点 收敛数列的保号性 函数极限的局部保号性 数列极限四则运算法则 函数极限与数列极限的关系 极限存在准则 函数极限四则运算法则 夹逼准则 两个重要极限 单调有界准则 无穷小的比较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小

历年试题分类统计及考点分布

考点 年份 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 合计 复合函数 极限四则运算法则 3 3 3 5 4 18 两个重要极限 3 5 5 3 3 4 4 10 37 单调有界准则 6 12 4 10 32 无穷小的阶 3 3 3 3 4 3 4 4 27 合计 5 3 8 8 6 8 3 8 3 3 12 3 5 8 4 15 4 4 4 4 20 本部分常见的题型

1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数

例1 (1988, 5分) 设f(x)ex,f[(x)]1x且(x)0,求(x)及其定义域。

解: 由f(x)ex知f[(x)]e(x)1x,又(x)0,则(x)ln(1x),x0.

1,x1例2 (1990, 3分) 设函数f(x),则f[f(x)]1.

0,x12221,x1,练习题: (1)设 f(x)0,x1,g(x)ex,求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出这

1,x1,两个函数的图形。 (2)

设

0,x0,0,x0,f(x)g(x)2,x,x0,x,x0,求

f[f(x)],g[g(x)],f[g(x)],g[f(x)].

二、 求数列的极限

方法一 利用收敛数列的常用性质

一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。

性质1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛,那么数列xn一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果limxna,且a0(或a0),那么存在

nn0N,使得当nn0时,都有xn0(或xn0).

性质4(数列极限的四则运算法则) 如果limxna,limynb,那么

nn(1)lim(xnyn)ab;

n(2)limxn•yna•b;

n(3)当yn0(nN)且b0时,limnxna. ynb例3 若

limxnna,则

limxnna.

注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取xn(1)n, 显然limxn1,

n但数列xn(1)n没有极限。

例4 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界。

注: 例4的逆命题是不对的, 例如我们取xn(1)n, 显然数列xn有界, 但数列xn(1)n没有极限。

例5 设an,bn,cn均为非负数列, 且liman0,limbn1,limcn.

nnn下列陈述中哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由;如果是错的, 试给出一个反例。

(1) anbn,nN; (2) bncn,nN; (3)

limacnnn不存在; (4)

limbcnnn不存在.

1nn, 显然liman0,limbn1, n1nn解: (1)是错的, 我们可以令an,bn但a11,b1, 从而a1b1.

12 (2)是错的, 我们可以令bn11b1,c, 但, 从而b1c1. b,cnn11limlim23nnn1,cnn, n13显然

(3)是错的, 我们可以令an,cnn, 显然liman0,limcn,

nn1n13但limancnlim(•n).

nn11n313 (4)是对的, 由于limbn10,limcn, 则limbncn, 即极

nnn限limbncn不存在。

n注1: 极限的保序性是说, “若limana,limbnb,ab, 则存在n0Nnn使得当nn0时有anbn.”, 而不是对任意的nN有anbn. 注2: 事实上我们可以得到如下一个常用的结论:

若limana0,limbn, 则limanbn.

nnn练习题: 设数列xn与yn满足limxnyn0, 则下列断言正确的是( )

n(A) 若xn发散, 则yn必发散. (B) 若xn无界, 则yn必无界. (C) 若xn有界, 则yn必为无穷小. (D) 若为无穷小, 则yn必为无穷小. 方法二 利用一些常用的结论

(1) 设数列xn有界, 又limyn0, 则limxnyn0.

nn1xn0,q1n(2) limqn0(q1),limq1,q1.

nn,q1(3)

liman1n1(a0).

例6

1ncos0. lim2nnn_______. 2练习题: (1)lim(nn211)sinn (2)lim(nn1)sinnn__________. 2例7

lim(annbc)maxa,b,c(a0,b0,c0).

n1nn解: 由于maxa,b,c(abc)3maxa,b,c,故lim(abc)

nnnnn1nn1n1nnmaxa,b,c.

练习题: 已知a10,......,am0, 求极限lim(a......am).

n1n1nn例8

1xlim2nn1x2nx,x1x0,x1. x,x11x2nxx; 解: 当x1时 lim2n1xn1x2nx0; 当x1时 lim2nn1x当x1时

1xxlimlim2nn1xnx,x1x0,x1. x,x12n112nxxx. 11x2n故

1xlim2nn1x2n练习题:

1x________. lim2nn1x方法三 利用Heine定理将抽象数列的极限转化为具体函数的极限 Heine定理:

nlimf(x)A的充分必要条件是: 对于任意满足条件

xx0xx(nN)的数列xn, 相应的函数值数列f(xn)成立xx且n0n0limlimf(x)A.

nnsinxnxn2). 例9 设数列xn满足xn0(nN)且limxn0, 计算lim(xnnn1解: 我们考虑函数极限

sinxx2()limelimxx0x01ln(sinx)xx2ln(1limex0sinx1)xx2limex0sinx1xx2sinxxcosx1limex0x3limex03x2

limex0sinx6xe

11161sinxnxn2sinxx2从而lim()lim()e6.

xnxnx0ln(1xn)xn练习题: 设数列xn满足xn0(nN)且limxn0,计算lim[].

xnnn1方法四 利用夹逼准则 例10 计算limn(n111......). n2n22n2nn2111n2n(2......2)2解: 由于2, 故 nnnn22nnn

limn(n111......)1. n2n22n2n1n12练习题: (1) 计算lim(n1n22......1nn2).

(2) 计算lim(n12n......).

n2n1n2n2n2nn1111 (3) 计算lim(1......)n.

23nn (4) 计算lim(n111......). n1n2nn方法五 利用单调有界准则

适用题型: (1)由递推关系xn1f(xn)定义的数列xn极限问题, 一般先用单调有界准则证明极限存在, 然后等式两边取极限求出极限。 (2)有些题目直接给出了数列xn的通项公式, 要求我们证明数列xn的极限存在, 这时优先考虑用单调有界准则证明其极限存在。

例11 (1996, 6分) 设x110,xn16xn(nN), 试证数列xn极限存在, 并求此极限。

证明: 先证明数列xn是单调减少的。 由于xn1xn6xnxn调减少的。

注意到0xnx1(nN), 于是数列xn有界, 故数列xn极限存在。设limxna, 等式xn16xn两边取极限得a6a, 即a3或

n(3xn)(2xn)6xnxn0(nN), 所以数列xn是单

a2, 又0ax110, 所以a3, 亦即limxn3.

n练习题: (1)证明数列2,22,222,......的极限存在, 并求此极限。

(2) 设x12,xn12xn(nN), 试证数列xn极限存在, 并求此极限。

(3) 设x11,xn143xn(nN), 试证数列xn极限存在, 并求此极限。

(4) 设0x11,xn1xn(2xn)(nN), 试证数列xn极限存在, 并求此极限。

例12 (2008, 4分) 设函数f(x)在(,)内单调有界, xn为数列, 下列命题正确的是( B )

( A ) 若xn收敛, 则f(xn)收敛. ( B ) 若xn单调, 则f(xn)收敛. ( C ) 若f(xn)收敛, 则xn收敛. ( D ) 若f(xn)单调, 则xn收敛.

解: 由于f(x)在(,)上单调有界, 若xn单调, 则f(xn)是单调有界数列, 故f(xn)收敛。

(1)n(nN), 显然事实上(A)、(C)、(D)都是错误的。若令xnn1arctanx,x0(1)n0, 即收敛, 再令, 显然f(x)在f(x)xnlimnnarctanx,x0(,)上单调有界,

但f(xn)不收敛。由于

11arctan,n2k(kN)nf(xn), 所以limf(xn)不存在, 故(A)不正

narctan(1),n2k1(kN)n确。

若令xnn(nN),f(x)arctanx, 显然f(xn)收敛且单调, 但xn不收敛, 故(C)和(D)不正确。

例13 (2006, 12分) 设数列xn满足0x1,xn1sinxn(nN). ( I )证明limxn存在, 并求该极限;

n2x( II )计算lim(n1)xn.

xnn1解: ( I )用数学归纳法证明数列xn是单调减少的且有界。 由0x1得0x2sinx1x1;

设0xn, 则0xn1sinxnxn, 所以数列xn是单调减少的且有界, 故limxn存在。

nn记

limxna, 于是0a.由xn1sinxn得asina, 注意到函数

f(x)xsinx在区间[0,]上是单调增加的, 所以a0, 即limxn0.

n ( II )见例9.

注1: 在判别一个函数f(x)的单调性时, 我们经常用到下面两个孰知的结论。

(1) 设函数f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 若(a,b)中除至多有限个点有f'(x)0之外都有f'(x)0, 则f(x)在[a,b]上单调增加。

(2) 设函数f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 若(a,b)中除至多有限个点有f'(x)0之外都有f'(x)0, 则f(x)在[a,b]上单调减少。

注2: 记住一些基本的不等式可以帮助考研学子在考试时节省大量的时间, 例如sinxx(xR),ln(1x)x(x0)等。 练习题: 设数列xn满足x10,xn1ln(1xn)(nN). ( I )证明limxn存在, 并求该极限;

nx( II )计算lim(n1)xn.

xnn1例14 (2011, 10分) 证明: (1)对任意正整数n, 都有

121n111ln(1); n1nn(2)设xn1......lnn(nN), 证明数列xn收敛。

证明: (1)由于函数f(x)xln(1x)在[0,)上单调增加, 从而当x0时f(x)f(0)0, 所以对任意正整数n, 都有ln(1).

x在[0,)上单调增加, 从而当x0时x111g(x)g(0)0, 所以对任意正整数n, 都有ln(1).

n1n111ln(1). 故对任意正整数n, 都有n1nn1n1n由于函数g(x)ln(1x)(2)先证明数列xn是单调减少的。

我们考虑 xn1xn[1......12111ln(n1)](1......lnn) n12n11ln(1)0(nN), 这表明数列xn是单调减少的。 n1n注意到

1131xn1......lnnln2ln......ln(1)lnnln(n1)lnn0(nN)2n2n从而数列xn有界, 故数列xn收敛。 练习题: 设xn1122......1n2(nN), 证明数列xn收敛。 方法六 利用定积分的定义

b设函数f(x)在[a,b]上连续, 则lim1nf[ai(ba)]f(x)dx.

nni1na例15 计算极限lim(1nn11n2......12n). 解:

1lim(1nn11n2......12n)lim1nn(11112......111)11dxln2. n1n0xsinsin2例16 (1998, 6分) 求lim(nnnn1......sin). n12n1n解: 注意到

1nnn1sinisini1nsinii1ni1n1n i1ni1而

lim1ni2nnsini1nsinxdx01nin1limnn1sinlim(•1i1nnn1nnsini)i1nsinxdx2 0,

2n......sin)2. 故lim(nnn111nn2nsinsin1ni练习题: (1) 计算lim1. nnni11p2p......np(p0). (2) 计算limp1nn (3) 计算lim[sinsinn1nn2(n1)......sin]. nn三、 求函数的极限

方法一 利用函数极限的常用性质

一般而言,函数极限有以下四种常用的性质。

性质1(函数极限的唯一性) 如果xlimf(x)存在,那么这极限唯一。 x0性质2(函数极限的局部有界性) 如果xlimf(x)A,那么存在常数M0x0和0,使得当0xx0时,有f(x)M.

性质3(函数极限的局部保号性) 如果limf(x)A,且A0(或A0),

xx0那么存在常数0,使得当0xx0时,有f(x)0(或f(x)0). 性质4(函数极限的四则运算法则)如果limf(x)A,limg(x)B,那么

xx0()xx0()(1)lim[f(x)g(x)]AB;

xx0()(2)lim[f(x)•g(x)]A•B;

xx0()(3)若又有B0,则

xx0()limf(x)A. g(x)B例17下列陈述中哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由;如果是错的, 试给出一个反例。

(1)如果limf(x)存在, 但limg(x)不存在, 那么lim[f(x)g(x)]不存在;

xx0xx0xx0(2)如果limf(x)和limg(x)都不存在, 那么lim[f(x)g(x)]不存在;

xx0xx0xx0(3)如果limf(x)存在, 但limg(x)不存在, 那么limf(x)•g(x)不存在.

xx0xx0xx0解: (1)对, 因为, 假若

xx0xx0xx0lim[f(x)g(x)]xx0存在, 则

limg(x)lim[g(x)f(x)]limf(x)也存在, 这与已知条件矛盾。

1,x01,x0(2)错, 例如f(x)0,x0,g(x)0,x0当x0时的极限都不

1,x01,x0存在, 但f(x)g(x)0当x0时的极限存在。

1,x0(3)错, 例如f(x)0,limf(x)0,g(x)0,x0,limg(x)不存在,

x0x01,x0但limf(x)•g(x)0.

xx0例18(函数极限的局部保号性) (1)如果limf(x)A,且A0(或A0),

xx0那么存在常数0,使得当0xx0时,有f(x)0(或f(x)0); (2)如果limf(x)A且A0(或A0), 那么存在常数X0使得当xXx时有f(x)0(或f(x)0).

注: 例18是一些非常适用的结论, 它们经常可以帮助我们确定方程在给定区间上实根的个数。 方法二 利用一些常用的结论

(1) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 (2) 当a00,b00,m和n为非负整数时, 有

a0b,nm0mm1a0xa1x......am0,nmlimnn1 ......bnxb0xb1x,nm例19 注:

sinx0. limxxsinxsinx01, 我们强烈建议考研学子在计算函数, 但limlimxxxx0极限时务必要仔细地观察自变量的变化过程, 稍有不慎就会出现重大差错。

练习题: (1)limx2sin________.

x01x (2)limxarctanx________. x3x34x213. 例20 lim327x7x5x13x22x1练习题: (1) lim32________.

x2xx12x3x21________. (2) lim24x6x1xx21________. (3) lim2x2xx1方法三 利用左、右极限

由于limf(x)Alimf(x)limf(x)A, 鉴于此, 如果我们要考查

xx0xx0xx0函数f(x)当xx0时极限是否存在, 我们可以去考查函数f(x)在x0处

的左、右极限是否存在并相等。

适用题型:多用于判别一个分段函数f(x)在分段点x0处的极限是否存在。

x21x1e1的极限 ( D ) 例21 (1992, 3分) 当x1时, 函数x1(A)等于2. (B)等于0. (C)为. (D)不存在但不为. 解: 由于

11x21x1x21x11x11x1elim(x1)e0,limelim(x1)e limx1x1x1x1x1x1x21x1e1的极限不存在但不为. 则当x1时, 函数x1注: 这里特别应注意的是lime,lime0.

x0x01x1x练习题: (1) (2000, 5分) 求lim[x02e1e1x4xsinx]. x1xsin,x0(2)设f(x), 求limf(x). xx0x2,x0ln(1x),x0(3) 设f(x)1, 求limf(x).

xx0e,x011x方法四 利用两个重要极限：lim(1)e(或者lim(1x)xe) ,

xx0xsinx1 limxx0在处理1型极限时, 经常将所求极限“凑”成基本极限lim(1)x的

x1x形式, 然后求出极限。

注: 洛必达法则也是一种常用的处理1型极限的方法, 但鉴于它的重要性, 我们将在第二部分(一元函数微分学)做专门的总结。 例22 (1991, 5分) 求lim(cosx)x.

x0解:

lim(cosx0x)xlim[1(cosx1)]x0(cosx1)xcosx11•e2.

ln(1x)ex1]. 例23 (2011, 10分) 求极限lim[xx01解:

lim[x0ln(1x)ex1ln(1x)ln(1x)x]lim[11]e1lim[11]xxxx0x0111ln(1x)1•[1]•xln(1x)xe11x

而limx0ln(1x)1[1]•xxe11limx0ln(1x)xx•(ex1)limx0ln(1x)xx212

1ln(1x)ex1]e2. 故lim[xx0练习题: (1) (1990, 3分) 设a是非零常数, 则lim(x(2) (1993, 5分) 求极限lim(sincos)x. x(3) (1995, 3分)

2x1xxax)________. xalim(13x)x02sinx________.

(4) (1996, 3分) 设lim(x(5) (2003, 4分)

x2ax)8, 则a________. xa12ln(1x)(cosx)________. limx0(6) 求极限lim(2sinxe).

x01sinx1cos)x. (7) 求极限lim(xx02xx(1x)1]x. (8) 求极限lim[ex01x(9) 求极限lim(arctanx)x.

x2axbxcx1)x(a0,b0,c0). (10) 求极限lim(3x0(11) 求极限lim(sinx)tanx.

x2(12) 求极限limxx111x.

(13) 求极限lim(x2x3x1). 2x1方法五 利用等价无穷小代换

在处理函数极限的过程中, 如果我们能恰当地利用等价无穷小代换, 可以使计算简化。为了便于考研学子复习, 我们把常用的等价无穷小代换列举如下:

sinx~x,arcsinx~x,tanx~x,arctanx~x当x0时, 1cosx~x2,n1x1~xln(1x)~x,ex1~x121n

例24 (1994, 3分) 设limx0atanxb(1cosx)cln(12x)d(1ex)22, 其中a2c20, 则必

有( D )

(A) b4d (B) b4d (C) a4c (D) a4c

tanx1cosxbatanxb(1cosx)axx2, 从而解: limlimx2x22c)x0ln(12x)1ex0cln(12x)d(1ecdxxaa4c.

例25 (2008, 9分) 求极限limx0[sinxsin(sinx)]sinx. 4x解:

[sinxsin(sinx)]sinx[sinxsin(sinx)]sinx(tsint)t limlimlim444x(sinx)tx0x0t0tsint1cost1. limlim32t3t6t0t0练习题: (1) (1991, 3分) 已知当x0时, (1ax)1与cosx1是等价无穷小, 则常数a_______. (2) (1992, 5分) 求limx0123exsinx111xsinx2.

23 (3) (1993, 3分) 设f(x)f(x)是g(x)的( )

sintdt,g(x)x0x4, 则当x0时,

(A)等价无穷小 (B)同阶但非等价的无穷小

(C)高价无穷小 (D)低价无穷小

(4) (1994, 3分) limcotx(x011)_________. sinxx1x__________. (5) (1997, 3分) limx0(1cosx)ln(1x)3sinxx2cos(6) (1999, 3分) lim(x0(7) (2004, 4

x2x211)________. x2xtanx分) 把x0时的无穷小量

x3sintdt排列起来, 使排在后面的0costdt,tantdt,00是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是( ) (A) ,, (B) ,, (C) ,, (D) ,,

(8) (2006, 3分)

xln(1x)_________. limx01cosx(9) (2007, 4分) 当x0时, 与x等价的无穷小量是( ) (A) 1ex (B) ln1x (C) 1x1x1 (D) 1cosx (10) (2009, 4分) 当x0时, f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx) 是等价无穷小, 则( )

1 61(D) a1,b

6(A)

a1,b(B)

a1,b16 (C)

1a1,b

6(11) 求极限lim(12) limx0x01cosx.

x(1cosx)xsinx________. 2xx(e1)(13) 求极限limx0tanxsinx.

(sinx)3(14) 求极限limx0sinxtanx(1x1)(1sinx1)32.

(15) 求极限lim[x011]. ln(1x)x方法六 利用Heine定理

Heine定理被经常用于证明某个函数极限的不存在性。为了证明函数

f(x)当xx0时极限不存在, 我们计划构造两个点列xn,yn满足如

下条件:

(1) limxnx0且xnx0(nN); n(2) limynx0且ynx0(nN); n(3) limf(xn)limf(yn).

nn从而我们可以说明函数f(x)当xx0时极限不存在。 例26 证明limsin不存在。 x0证明: 我们特殊地取xn11,yn(nN), 则显然有

n2n2n1xlimxn0,xn0(nN)与limyn0,yn0(nN).但由于limsinnn10而 xnlimsinn111, 故limsin不存在。

x0ynx练习题: 证明limcos不存在。 x0四、 讨论函数连续性，并判断间断点类型

1x2nx的连续性, 若有间断点, 判别其类例27 讨论函数f(x)lim2n1xn1x型。

x,x1解: 由例8知f(x)0,x1, 从而x1和x1均为f(x)的第一类间

x,x1断点。

ex,x0例28 设函数f(x), 应当怎样选择数a, 使得f(x)成为在

ax,x0(,)内的连续函数。

解: 要使f(x)成为在(,)内的连续函数, 我们只需

x0limf(x)limf(x)f(0)a, 故a1. x0x33x2x3练习题: (1)求函数f(x)的连续区间。 2xx6 (2)设函数f(x)与g(x)在点x0连续, 证明函数

(x)maxf(x),g(x),(x)minf(x),g(x)在点x0也连续。

1xsin,x0(3)设函数f(x), 要使f(x)在(,)内连续, 应xax2,x0当怎样选择数a?

x11e,x1(4)设函数f(x), 求f(x)的间断点, 并说明x,0x1ln(1x),1x0间断点所属类型。 (5)设函数f(x)e1e11x1x, 则x0是f(x)的( )

(A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)第二类间断点 (D)连续点

五、 确定方程在给定区间上有无实根

零点定理被经常用于确定方程f(x)0在给定区间上有无实根。 例29 假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续, 并且对[0,1]上任一点x有

0f(x)1。试证明[0,1]中必存在一点c使得f(c)c.

证明: 如果f(0)0或f(1)1, 命题得证。以下假设f(0)0,f(1)1. 我们构造辅助函数g(x)f(x)x(x[0,1]), 显然g(x)在闭区间[0,1]上也连续且g(0)0,g(1)0, 由零点定理知存在一点c(0,1)使得g(c)0, 亦即f(c)c.

例30 证明方程xasinxb, 其中a0,b0, 至少有一个正根, 并且它不超过ab.

证明: 我们构造辅助函数g(x)xasinxb(x[0,ab]),显然g(x)在闭

区间[0,ab]上连续且g(0)b0,g(ab)aasin(ab)0.如果

g(ab)0, 命题得证。以下假设g(ab)0.由零点定理知存在一点c(0,ab)使得g(c)0, 亦即casincb.

练习题: (1)证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间。

(2)证明方程sinxx10在开区间(,)内至少有一个根。

22(3)证明方程x3pxq0(p0)有且仅有一个实根。

(4)设函数f(x)在[0,2]上连续, 且f(0)f(2), 证明:存在

x,y[0,2],yx1, 使得f(x)f(y).