2019北师大二附高三上期中练习

一、选择题（共8小题；共40分）

11

1. 设集合 𝐴=𝑥{𝑥∣∣𝑥>1} ， 𝐵={−2,2,3} ，则 𝐴∩𝐵= (  )

A. {−2,2} (  )

1

B. {2}

1

C. {2,3}

1

D. ∅

2. 设 𝑎∈𝐑 ，则“ 𝑎=1 ”是“直线 𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦+4=0 与直线 𝑙2:𝑥+(𝑎+1)𝑦+𝑎=0 平行”的

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 若实数 𝑥 ， 𝑦 ， 𝑧 互不相等，且满足 2𝑥=3𝑦=log4𝑧 ，则 (  )

A. 𝑧>𝑥>𝑦

B. 𝑧>𝑦>𝑥

C. 𝑧>𝑥 ， 𝑧>𝑦

D. 𝑥>𝑦 ， 𝑥>𝑧

⃗⃗ 满足 ∣𝑎⃗⃗∣⃗⃗⟩=60∘ ，则 ∣⃗⃗∣4. 设向量 𝑎⃗ ， 𝑏⃗∣=2 ， ∣⃗,𝑏⃗+2𝑏∣𝑏∣=1 ， ⟨𝑎∣𝑎∣= (  )

A. 2√2 B. 2√3 C. √10 5

D. 12

5. 若等比数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，且 𝑎2𝑎3=2𝑎1，4 为 𝑎4 与 2𝑎7 的等差中项，则 𝑆4= (  )

A. 29

6. 已知双曲线 𝑎2−

A. 1 (  )

𝑥2

𝑦23

B. 30 C. 31 D. 33

=1(𝑎>0) 的右顶点和抛物线 𝑦2=8𝑥 的焦点重合，则 𝑎 的值为 (  )

B. 2

C. 3

D. 4

7. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3−3𝑥2+1，若 𝑓(𝑥) 存在唯一的零点 𝑥0，且 𝑥0>0，则 𝑎 的取值范围为

A. (2,+∞)

1𝑎

B. (−∞,−2) C. (1,+∞) D. (−∞,−1)

8. 直线 𝑙:𝑎𝑥+𝑦−1=0 与 𝑥，𝑦 轴的交点分别为 𝐴，𝐵，直线 𝑙 与圆 𝑂:𝑥2+𝑦2=1 的交点为 𝐶，𝐷，给出下面三个结论： ①∀𝑎≥1，𝑆△𝐴𝑂𝐵=2 ； ②∃𝑎≥1，∣𝐴𝐵∣<∣𝐶𝐷∣ ； ③∃𝑎≥1，𝑆△𝐶𝑂𝐷<2．

其中，所有正确结论的序号是 (  )

11

A. ①② B. ②③

二、填空题（共6小题；共30分）

9. 已知复数 𝑧=

1−i2i

C. ①③ D. ①②③

在复平面内对应的点为 𝑍 ，则 𝑍 关于虚轴对称的点位于第 象限．

π6

10. 将函数 𝑦=sin2𝑥−√3cos2𝑥 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 𝑦=𝑔(𝑥) 的图象，则

𝑔(π)= ．

65

第1页（共13 页）

11. 椭圆 𝐶1:

𝑥24

+

𝑦2𝑏2=1 与曲线 𝐶2 关于直线 𝑦=−𝑥 对称， 𝐶1 与 𝐶2 分别在第一、二、三、四

象限交于点 𝑃1 ， 𝑃2 若四边形 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4 的面积为 4 ，则点 𝑃1 的坐标为 ， 𝐶1 的离

心率为 ．

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值12. 如图，矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=1，𝑂 为 𝐴𝐵 的中点．当点 𝑃 在 𝐵𝐶 边上时，𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ． 为 ；当点 𝑃 沿着 𝐵𝐶，𝐶𝐷 与 𝐷𝐴 边运动时，𝐴𝐵

13. 能说明“设数列 𝑎𝑛 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛 ，对于任意的 𝑛∈𝐍∗ ，若 𝑎𝑛+1>𝑎𝑛 ，则 𝑆𝑛+1>𝑆𝑛 ”

为假命题的一个等差数列是 ．（写出数列的通项公式）

2𝑥−𝑎,𝑥≤0

14. 已知函数 𝑓(𝑥)={2 ，当 𝑎=0 时， 𝑓(𝑥) 的值域为 ；若 𝑓(𝑥) 有

𝑥−3𝑎𝑥+𝑎,𝑥>0

三个零点，则 𝑎 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）

15. 在等差数列 {𝑎𝑛} 中， 𝑎2=8 ，且 𝑎3+𝑎5=4𝑎2 ．

（1）求等差数列 {𝑎𝑛} 的通项公式；

（2）设各项均为正数的等比数列 {𝑏𝑛} 满足 𝑏4=𝑎1 ， 𝑏6=𝑎4 ，求数列 {𝑏𝑛−𝑎𝑛} 的前 𝑛 项

和 𝑆𝑛 ．

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16. 在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，已知圆 𝑀 的圆心在直线 𝑦=−2𝑥 上，且圆 𝑀 与直线 𝑥+𝑦−1=0

相切于点 𝑃(2,−1)． （1）求圆 𝑀 的方程；

（2）过坐标原点 𝑂 的直线 𝑙 被圆 𝑀 截得的弦长为 √6，求直线 𝑙 的方程．

17. 已知在 △𝐴𝐵𝐶 中， 𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐=𝑏2 ．

（1）求角 𝐵 的大小；

（2）求 cos𝐴+cos𝐶 的最大值．

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18.已知椭圆 𝐶:

𝑥24

+

𝑦2𝑏2=1 的左顶点 𝐴 与上顶点 𝐵 的距离为 √6 ．

（1）求椭圆 𝐶 的方程和焦点的坐标；

（2）点 𝑃 在椭圆 𝐶 上，线段 𝐴𝑃 的垂直平分线与 𝑦 轴相交于点 𝑄 ，若 △ 𝑃𝐴𝑄 为等边三

角形，求点 𝑃 的横坐标．

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19. 已知函数 𝑓(𝑥)=(𝑚+1)𝑥+ln𝑥(𝑚∈𝐑) ．

（1）当 𝑚=1 时，求曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 在 (1,𝑓(1)) 处的切线方程； （2）求函数 𝑓(𝑥) 的单调区间；

（3）若函数 𝑔(𝑥)=𝑥2+−𝑓(𝑥) 在区间 (1,2) 内有且只有一个极值点，求 𝑚 的取值范围．

2

𝑥

1

1

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20. 已知无穷数列 {𝑎𝑛}(𝑎𝑛∈𝐙) 的前 𝑛 项和 𝑆𝑛，记 𝑆1，𝑆2，⋯，𝑆𝑛 中奇数的个数为 𝑏𝑛．

（1）若 𝑎𝑛=𝑛，请写出数列 {𝑏𝑛} 的前 5 项；

（2）求证：“𝑎1 为奇数，𝑎𝑖(𝑖=2,3,4,⋯) 为偶数”是“数列 {𝑏𝑛} 是单调递增数列”的充分不必要条

件；

（3）若 𝑎𝑖=𝑏𝑖，𝑖=1,2,3,⋯，求数列 {𝑎𝑛} 的通项公式．

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答案

第一部分 1. B 2. C 3. C 4. B 5. B

5

5

【解析】设等比数列 {𝑎𝑛} 的公比为 𝑞，

由 𝑎2𝑎3=2𝑎1，4 为 𝑎4 与 2𝑎7 的等差中项，可得 𝑎1𝑞⋅𝑎1𝑞2=2𝑎1，2×4=𝑎4+2𝑎7=𝑎1𝑞3+2𝑎1𝑞6， 解得 𝑞=2，𝑎1=16， 则 𝑆4=6. B 7. B

𝑎1(1−𝑞4)1−𝑞1

1211−2=

16(1−4)

=30．

2

【解析】解法一：𝑓ʹ(𝑥)=3𝑎𝑥2−6𝑥．令 𝑓ʹ(𝑥)=0，得 𝑥=0 或 𝑥=𝑎．由已知，若 𝑓(𝑥) 存在

𝑎<0,

2 解得 𝑎<−2． 𝑓(𝑎)>0,

唯一的零点 𝑥0，且 𝑥0>0，必须 {

解法二：代入答案中的特殊值检验． 8. C

【解析】如图，过 𝑂 作 𝑂𝐸⊥𝐶𝐷，𝐸 为垂足．

由已知可得 𝐴(𝑎,0)，𝐵(0,𝑎)，当 𝑎>0 时，𝑆△𝐴𝑂𝐵=2∣𝑂𝐵∣⋅∣𝑂𝐴∣=2𝑎⋅𝑎=2，故①正确． ∣𝐴𝐵∣=√𝑎2+

1𝑎211111

，∣𝑂𝐸∣=

1𝑎2

1√𝑎2+

4

𝑎2，∣𝐶𝐷∣=2√∣𝑂𝐶∣2−∣𝑂𝐸∣2=√4−1≥4，所以 𝑎2+

1𝑎2

41𝑎2+2𝑎

．

由均值不等式可得 𝑎2+所以②错．

+

1𝑎2+2𝑎≥4−

4

1𝑎2+2𝑎，所以 ∀𝑎≥1，都有 ∣𝐴𝐵∣≥∣𝐶𝐷∣，

对于③，因为 𝑆△𝐶𝑂𝐷=2∣𝑂𝐶∣⋅∣𝑂𝐷∣sin∠𝐶𝑂𝐷=2sin∠𝐶𝑂𝐷，当 ∠𝐶𝑂𝐷≠2 时，必有 𝑆△𝐶𝑂𝐷<2，所以③正确． 第二部分 9. 四 10. −√3 11π1

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11. (1,1)， 12. 2，−2

13. 答案不唯一，如 𝑎𝑛=𝑛−4 14. (0,+∞)，(,1]

94

√63

第三部分

𝑎+𝑑=8,

15. （1） 设数列 {𝑎𝑛} 的公差为 𝑑 ，由已知 {1

𝑎1+2𝑑+𝑎1+4𝑑=4(𝑎1+𝑑),

𝑎=4,解得 {1 所以 𝑎𝑛=4𝑛(𝑛∈𝐍∗) ．

𝑑=4,

𝑏=4,𝑏=,𝑏=−,

2 （舍）， （2） 设数列 {𝑏𝑛} 的公比为 𝑞 ，由已知 {4 解得 {12 或 {1

𝑏6=16,𝑞=2𝑞=−2所以 𝑏𝑛=×2𝑛−1=2𝑛−2 ，所以 𝑏𝑛−𝑎𝑛=2𝑛−2−4𝑛 ． 𝑆𝑛

=(2−4)+(20−8)+(21−12)+⋯+(2𝑛−2−4𝑛)

=(2−1+20+21+⋯+2𝑛−2)−(4+8+12+⋯+4𝑛)==

1

(1−2𝑛)211

1

2−1

=2

1−21

(2𝑛2

𝑛−1

−

12

(4+4𝑛)𝑛

2

−1)−2𝑛2−2𝑛−−2𝑛2−2𝑛(𝑛∈𝐍∗).

16. （1） 过点 (2,−1) 且与直线 𝑥+𝑦−1=0 垂直的直线方程为 𝑥−𝑦−3=0，

𝑦=−2𝑥,𝑥=1,由 { 解得 {

𝑦=−2,𝑥−𝑦−3=0所以圆心 𝑀 的坐标为 (1,−2)， 所以圆 𝑀 的半径为 𝑟=√2，

所以圆 𝑀 的方程为 (𝑥−1)2+(𝑦+2)2=2． （2） 因为直线 𝑙 被圆 𝑀 截得的弦长为 √6， 所以圆心 𝑀 到直线 𝑙 的距离为 𝑑=√2−=

46

√2， 2

若直线 𝑙 的斜率不存在，则 𝑙 为 𝑥=0，此时，圆心 𝑀 到 𝑙 的距离为 1，不符合题意， 若直线 𝑙 的斜率存在，设直线 𝑙 的方程为 𝑦=𝑘𝑥，即 𝑘𝑥−𝑦=0， 由 𝑑=

∣𝑘+2∣√𝑘2+1√2，整理得 𝑘22

=+8𝑘+7=0，

解得 𝑘=−1或−7，

所以直线 𝑙 的方程为 𝑥+𝑦=0 或 7𝑥+𝑦=0． 17. （1） 由余弦定理得 cos𝐵=角 𝐵 为三角形内角， 所以 ∠𝐵=3 ．

（2） 由（ 1 ）可得 ∠𝐴+∠𝐶=π−∠𝐵=所以 ∠𝐴=

2π3

2π3

π

𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎⋅𝑐

𝑎⋅𝑐2𝑎⋅𝑐

12

== ，

，

−∠𝐶 ，

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所以 cos𝐴+cos𝐶

=cos(3−𝐶)+cos𝐶=cos

122π32π

2π3

⋅cos𝐶+sin

√32

⋅sin𝐶+cos𝐶

=−⋅cos𝐶+=

√3⋅2

1

π

⋅sin𝐶+cos𝐶

π

sin𝐶+2⋅cos𝐶

π

=cos6⋅sin𝐶+sin6⋅cos𝐶=sin(𝐶+).

6

因为 0<𝐶<

π1

2π3π

，

5π6π

所以 6<𝐶+6<

，

所以 2𝑥2

𝑦22

=1

所以 𝑐=√4−2=√2 ，

焦点坐标分别为 𝐹1(−√2,0) ， 𝐹2(√2,0) ． （2） 方法 1 ： 设 𝑃(𝑥0,𝑦0) ，则

2𝑥0

4

+

2𝑦0

2

=1 ，且 𝐴(−2,0) ，

若点 𝑃 为椭圆的右顶点，则 𝐴𝑃 的中垂线为 𝑦 轴，与题意不符， 所以 𝑥0≠±2 ， 𝑦0≠0 ． 设线段 𝑃𝐴 中点为 𝑀 ，所以 𝑀(

𝑦0

𝑥0−2𝑦02

,2) ，

因为 𝑃𝐴⊥𝑀𝑄 ，所以 𝑘𝑃𝐴⋅𝑘𝑀𝑄=−1 ， 因为直线 𝑃𝐴 的斜率 𝑘𝐴𝑃=𝑥所以直线 𝑀𝑄 的斜率 𝑘𝑀𝑄=又直线 𝑀𝑄 的方程为 𝑦−令 𝑥=0 ，得到 𝑦𝑄=因为 40+

𝑥2

2𝑦0

0+2

， ，

𝑥0+2𝑦0

𝑥0+2𝑦0

𝑦02

=−(𝑥− ，

𝑥0−22

) ，

𝑦02

+

(𝑥0+2)(𝑥0−2)

2𝑦0

2

=1 ，

𝑦

所以 𝑦𝑄=−20 ，

因为 △𝑃𝐴𝑄 为正三角形，

2所以 ∣𝐴𝑃∣=∣𝐴𝑄∣ ，即 √(𝑥0+2)2+𝑦0=√22+

2

2𝑦0

4

，

2化简，得到 5𝑥0+32𝑥0+12=0 ，解得 𝑥0=−5 ， 𝑥0=−6 （舍），

即点 𝑃 的横坐标为 −5 ．

2

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方法 2 ：

设 𝑃(𝑥0,𝑦0) ，直线 𝐴𝑃 的方程为 𝑦=𝑘(𝑥+2) ．

当 𝑘=0 时，点 𝑃 为右顶点，则 𝐴𝑃 的中垂线为 𝑦 轴，与题意不符， 所以 𝑘≠0 ．

+2=1,

联立方程 {4

𝑦=𝑘(𝑥+2),

消元得 (1+2𝑘2)𝑥2+8𝑘2𝑥+8𝑘2−4=0 ， 所以 𝛥=16>0 ， 所以 𝑥0+(−2)=

−8𝑘21+2𝑘2𝑥2

𝑦2

，

𝑥0−22

设线段 𝑃𝐴 中点为 𝑀 ，所以 𝑥𝑀=所以 𝑀(1+2𝑘2,1+2𝑘2) ，

−4𝑘2

2𝑘

=

−4𝑘21+2𝑘

2 ， 𝑦𝑀=𝑘(

−4𝑘2

1+2𝑘

2+2)=

2𝑘1+2𝑘2

，

因为 𝐴𝑃⊥𝑀𝑄 ，所以 𝑘𝑀𝑄=−𝑘 ，

所以直线 𝑀𝑄 的方程为 𝑦−1+2𝑘2=−𝑘(𝑥−1+2𝑘2) ， 令 𝑥=0 ，得到 𝑦𝑄=

2𝑘1+2𝑘

2𝑘

1

−4𝑘2

4𝑘21+2𝑘

1

⋅2−

𝑘

1

2=

−2𝑘1+2𝑘2 ，

因为 △𝑃𝐴𝑄 为正三角形，所以 ∣𝐴𝑃∣=∣𝐴𝑄∣ ， 所以 √1+𝑘2⋅

41+2𝑘

√4+(2=

−2𝑘

1+2𝑘2) ，

3

2化简，得到 4𝑘4+𝑘2−3=0 ，解得 𝑘2=4 ， 𝑘2=−1 （舍）， 所以 𝑥0=

−4𝑘2+21+2𝑘2

=− ，

5

2

2

即点 𝑃 的横坐标为 −5 ． 方法 3 ： 设 𝑃(𝑥0,𝑦0) ，

若点 𝑃 为椭圆的右顶点，则 𝐴𝑃 的中垂线为 𝑦 轴，与题意不符， 所以可以设直线 𝐴𝑃 的方程为 𝑥=𝑡𝑦−2 ， +=1,2联立方程 {4 𝑥=𝑡𝑦−2,

消元得， (𝑡2+2)𝑦2−4𝑡𝑦=0 ， 所以 𝑦0=

4𝑡𝑡2+2𝑥2

𝑦2

，

−4

设线段 𝑃𝐴 中点为 𝑀 ， 所以 𝑦𝑀=𝑡2+2 ， 𝑥𝑀=𝑡2+2 ， 所以 𝑀(

−4𝑡2+2𝑡2+2

2𝑡

,

2𝑡

) ，

1𝑘

因为 𝐴𝑃⊥𝑀𝑄 ，所以 𝑘𝑀𝑄=− ，

所以直线 𝑀𝑄 的方程为 𝑦−𝑡2+2=−𝑡(𝑥−𝑡2+2) ， 令 𝑥=0 ，得到 𝑦𝑄=𝑡2+2 ，

−2𝑡

2𝑡

−4

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因为 △𝑃𝐴𝑄 为正三角形，所以 ∣𝐴𝑃∣=∣𝐴𝑄∣ ， 所以 √1+𝑡2⋅

∣4𝑡∣𝑡2+2

=√4+(

2𝑡

𝑡2+2

) ，

4

2化简，得到 3𝑡4−𝑡2−4=0 ，解得 𝑡2=3 ， 𝑡2=−1 （舍）， 所以 𝑥0=

2𝑡2−4𝑡2+2

=−5 ，

25

2

即点 𝑃 的横坐标为 − ．

19.（1） 当 𝑚=1 时， 𝑓(𝑥)=2𝑥+ln𝑥 ， 所以 𝑓ʹ(𝑥)=2+𝑥 ， 𝑓ʹ(1)=3 ， 又 𝑓(1)=2 ，

所以曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 在 (1,𝑓(1)) 处的切线方程为 3𝑥−𝑦−1=0 ． （2） 函数 𝑓(𝑥) 的定义域为 (0,+∞) ， 𝑓ʹ(𝑥)=𝑚+1+=

𝑥1

(𝑚+1)𝑥+1

𝑥

1

，

（ 1 ）当 𝑚+1≥0 即 𝑚≥−1 时， 因为 𝑥∈(0,+∞) 时， 𝑓ʹ(𝑥)>0 ， 所以 𝑓(𝑥) 的单调增区间为 (0,+∞) ．

（ 2 ）当 𝑚+1<0 ，即 𝑚<−1 时，令 𝑓ʹ(𝑥)=0 ，得 𝑥=−𝑚+1 ． 当 0<𝑥<−当 𝑥>−

1𝑚+1

1𝑚+1

1

时， 𝑓ʹ(𝑥)>0 ；

时， 𝑓ʹ(𝑥)<0 ；

) ，减区间为 (−𝑚+1,+∞) ． 𝑚+1

1

1

1

1

所以 𝑓(𝑥) 的单调增区间为 (0,−

综上，当 𝑚≥−1 时， 𝑓(𝑥) 的单调增区间为 (0,+∞) ；

当 𝑚<−1 时， 𝑓(𝑥) 的单调增区间为 (0,−𝑚+1) ，减区间为 (−𝑚+1,+∞) ． （3） 因为 𝑔(𝑥)=𝑥2+−(𝑚+1)𝑥−ln𝑥 ，

2

𝑥

1

1

1

1

𝑥3−(𝑚+1)𝑥2−𝑥−1

𝑥2

所以 𝑔ʹ(𝑥)=𝑥−𝑥2−(𝑚+1)−𝑥=

，

令 ℎ(𝑥)=𝑥3−(𝑚+1)𝑥2−𝑥−1 ， ℎʹ(𝑥)=3𝑥2−2(𝑚+1)𝑥−1 ． 若函数 𝑔(𝑥) 在区间 (1,2) 内有且只有一个极值点， 则函数 ℎ(𝑥) 在区间 (1,2) 内存在零点． 又 ℎʹ(0)=−1<0 ，

所以 ℎʹ(𝑥) 在 (0,+∞) 内有唯一零点 𝑥0 ． 且 𝑥∈(0,𝑥0) 时， ℎʹ(𝑥)<0 ； 𝑥∈(𝑥0,+∞) 时， ℎʹ(𝑥)>0 ，

则 ℎ(𝑥) 在 (0,𝑥0) 内为减函数，在 (𝑥0,+∞) 内为增函数． 又因为 ℎ(0)=−1<0 ，且 ℎ(𝑥) 在 (1,2) 在内存在零点， ℎ(1)<0,

所以 {

ℎ(2)>0,解得 −2<𝑚<4 ．

1

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显然 ℎ(𝑥) 在 (1,2) 内有唯一零点，记为 𝑥1 ．

当 𝑥∈(1,𝑥1) 时， ℎ(𝑥)<0 ， 𝑥∈(𝑥1,2) 时， ℎ(𝑥)>0 ，所以 ℎ(𝑥) 在 𝑥1 点两侧异号，即 𝑔ʹ(𝑥) 在 𝑥1 点两侧异号， 𝑥1 为函数 𝑔(𝑥) 在区间 (1,2) 内唯一极值点． 当 𝑚≤−2 时， ℎ(1)=−𝑚−2≥0 ， 又 ℎʹ(1)>0 ， ℎʹ(𝑥)>0 在 (1,2) 内成立，

所以 ℎ(𝑥) 在 (1,2) 内单调递增，故 𝑔(𝑥) 无极值点．

当 𝑚≥ 时， ℎ(2)≤0 ， ℎ(0)<0 ，易得 𝑥∈(1,2) 时， ℎ(𝑥)<0 ，故 𝑔(𝑥) 无极值点．

41

1

所以当且仅当 −2<𝑚<4 时，函数 𝑔(𝑥) 在区间 (1,2) 内有且只有一个极值点． 20. （1） 𝑏1=1，𝑏2=2，𝑏3=2，𝑏4=2，𝑏5=3． （2） （充分性）

因为 𝑎1 为奇数，𝑎𝑖(𝑖=2,3,4,⋯) 为偶数， 所以，对于任意 𝑖∈𝐍∗，𝑆𝑖 都为奇数． 所以 𝑏𝑛=𝑛．

所以数列 {𝑏𝑛} 是单调递增数列． （不必要性）

当数列 {𝑎𝑛} 中只有 𝑎2 是奇数，其余项都是偶数时，𝑆1 为偶数，𝑆𝑖(𝑖=2,3,4,⋯) 均为奇数， 所以 𝑏𝑛=𝑛−1，数列 {𝑏𝑛} 是单调递增数列．

所以“𝑎1 为奇数，𝑎𝑖(𝑖=2,3,4,⋯) 为偶数”不是“数列 {𝑏𝑛} 是单调递增数列”的必要条件；

综上所述，“𝑎1 为奇数，𝑎𝑖(𝑖=2,3,4,⋯) 为偶数”是“数列 {𝑏𝑛} 是单调递增数列”的充分不必要条件． （3） （1）当 𝑎𝑘 为奇数时， 如果 𝑆𝑘 为偶数，

若 𝑎𝑘+1 为奇数，则 𝑆𝑘+1 为奇数，

所以 𝑏𝑘+1=𝑏𝑘+1=𝑎𝑘+1 为偶数，与 𝑎𝑘+1=𝑏𝑘+1 矛盾； 若 𝑎𝑘+1 为偶数，则 𝑆𝑘+1 为偶数，

所以 𝑏𝑘+1=𝑏𝑘=𝑎𝑘 为奇数，与 𝑎𝑘+1=𝑏𝑘+1 矛盾． 所以当 𝑎𝑘 为奇数时，𝑆𝑘 不能为偶数． （2）当 𝑎𝑘 为偶数时， 如果 𝑆𝑘 为奇数，

若 𝑎𝑘+1 为偶数，则 𝑆𝑘+1 为奇数，

所以 𝑏𝑘+1=𝑏𝑘+1=𝑎𝑘+1 为奇数，与 𝑎𝑘+1=𝑏𝑘+1 矛盾． 所以当 𝑎𝑘 为偶数时，𝑆𝑘 不能为奇数． 综上可得 𝑎𝑘 与 𝑆𝑘 同奇偶． 所以 𝑆𝑛−𝑎𝑛 为偶数．

因为 𝑆𝑛=𝑆𝑛+1−𝑎𝑛+1 为偶数， 所以 𝑎𝑛 为偶数．

因为 𝑎1=𝑏1=𝑆1 为偶数，且 0≤𝑏1≤1， 所以 𝑏1=𝑎1=0．

因为 𝑎2=𝑏2≤𝑏1+1=1，且 𝑏2≥0，

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所以 𝑏2=𝑎2=0． 以此类推，可得 𝑎𝑛=0．

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