风险组合 基金证券投资组合分析

摘要

本文对该基金目前的股票投资组合进行了分析. 随着我国证券市场的迅速发展，股票型开放式基金已成为我国金融市场中最重要的组成部分. 我们研究的重点是如何选择最有利的投资组合,使投资者的收益最高,而风险最小，以期达到效用最大化的目的.

模型一中我们运用了Markowitz 的均值-方差模型进行组合投资，分散风险，以期获得较高的收益，由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，资产的风险用月收益率的方差表示．在这里，投资所得的期望收益为ERp，风险损

2失为p. 要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小. 我们根据模型228.0712，而题目中的投资方案ERp/p3.5375，所以该基金求得ERp/p目前的股票投资组合不合理，我们的方案优于目前的股票投资方案.

模型二是在模型一的基础上进行的改进，鉴于VaR方法在风险度量与管理领域中的主流地位，我们考虑在模型中引入VaR约束条件，得到该条件下的Markowitz均值—方差模型，建立多目标优化方案, 并引入几何方法对该模型进行求解, 从而得到贷款组合的有效边界和相应的决策权重. 运用线性规划与非线性规划的相关理论对这个模型进行解的存在性证明.

最后，我们对模型做了综合评价，同时对模型进行了推广. 由于Markowitz 的均值-方差模型是在一定的假设条件下讨论的 ,并未考虑实际金融市场中一些投资限制,这些限制包括不允许卖空限制、交易成本、投资数量和最小交易单位等. 若这些实际交易过程中所面临的问题不能在模型中被考虑,将会大幅限制投资组合选择模型的实用性，所以我们应用了在交易成本和投资数量约束下的投资组合模型.

关键词：投资组合、分散风险、Markowitz均值—方差、VaR

一、问题重述

证券投资基金是一种利益共享、风险共担的集合投资方式，它通过发行基金证券，集中不特定投资者的资金，委托专业的基金管理公司进行证券资产的投资管理，以达到分散风险、节约成本、提高收益的目的.

对于个人投资者而言,倘若你有1万元打算用于投资,但其数额不足以买入一系列不同类型的股票和债券,或者你根本没有时间和精力去挑选股票和债券,购买基金是不错的选择.

开放式基金，是指基金规模不是固定不变的，而是可以随时根据市场供求情况发行新份额或被投资人赎回的投资基金. 如果按照投资类型来看，开放式基金可分为股票型、债券型、保本型、配置型和货币式基金五大类，其中股票型基金资产配置以股票为主，适合愿意承担较高风险，希望获得高收益的人.

现在有某证券投资基金是该类基金中的一个品种. 该基金的投资范围为具有良好流动性的金融工具，包括投资于国内依法公开发行、上市的股票和债券以及中国证监会允许基金投资的其它金融工具. 基金股票部分主要投资于具有较高内在价值及良好成长性的上市公司股票，投资于这类股票的资产不低于基金股票投资的80%. 该基金股票投资比例最高可达95%.

现在根据所给的资料，该基金股票按公允价值占基金资产净值比例大小排序的前十名股票投资明细，分别投资于招商银行、中兴通讯、山煤国际、中国平安、银座股份、ST东航、五粮液、瑞贝卡、格力电器、华发股份10家股票，其中基金资产净值为5,857,546,049.20，各股票占基金资产净值比例分别为6.46%，6.02%，4.90%，3.61%，2.70%，2.68%，2.40%，2.21%，2.11%，2.08%. 就该题对该基金目前的股票投资组合进行分析.

对于任何一项投资而言，利益和风险是共存的，如何在两者之间选择，以满足不同市场投资者的需要，是我们研究问题的重点.

由于市场缺乏做空机制，证券投资基金无法规避风险. 一个健康的证券市场，必须有做空机制才能实现稳定. 证券的价格要能够反映所有信息，尤其是需求信息. 而在缺乏做空机制的市场上，如果一些投资者认为某一证券定价过高，偏离实际价值，但如果没有卖空机制，他们对这些证券的判断信息就不能有效地反映到市场上，对价格的偏离便无法调整，无法实现证券价格向内在价值的回归，也就无法减缓证券价格波动. 因此，我国证券市场这种只能做多，不能做空的单向机制极大地限制了证券投资基金的运作空间，制约了基金公司的风险管理，使其无法达到规避风险的目的.

二、问题假设

 证券市场法规基本健全.

 由于选择开放式股票型基金为投资目标基金，在买卖基金时不考虑基金的申

购费，赎回费用，基金转换费等一系列费用.

 投资者只能按照市场价格买入或卖出基金，且这种单期的买卖行为不会对基

金的价格产生影响.

 基金所在的市场是无障碍的，基金的交易数量不限，投资者可根据其财力在

市场上按市场价格购买任一种基金.

 在给定预期风险后，投资者偏好更高的预期收益，另一方面，在给定预期收

益后，投资者偏好更低的风险.

三、符号说明

Ri xi E(Ri)

股票的月平均收益率 比例权重

组合中证券i的预期收益 股票组合的期望收益率 股票组合的方差 股票组合的标准差 置信水平

资产组合的初始价值 期末资产组合的最低值 投资组合的期望回报率 证券i和j之间的协方差 两个随机变量的协方差 证券组合在持有期t内的损失

E(Rp)

2 pp

c

W

W

Rp

ij

cov

P

四、问题分析

中国基金的发展起步较晚，对于基金投资组合的相关研究较少. 本文中我们主要对复合基金进行投资组合，以较小的风险获得最大的收益. 任何投资策略实际上都是在寻找收益与风险之间的均衡. 首先我们来了解一下关于股票基金的一些常识.

4.1对股票基金术语的解释

 基金

基金（Fund）有广义和狭义之分，从广义上说，基金是机构投资者的统称，包括信托投资基金、单位信托基金、公积金、保险基金、退休基金，各种基金会的基金. 在现有的证券市场上的基金，包括封闭式基金和开放式基金，具有收益性功能和增值潜能的特点. 从会计角度透析，基金是一个狭义的概念，意指具有特定目的和用途的资金. 因为政府和事业单位的出资者不要求投资回报和投资收回，但要求按法律规定或出资者的意愿把资金用在指定的用途上，而形成了基金.

 公允价值

公允价值（Fair Value）亦称公允市价、公允价格. 熟悉市场情况的买卖双方在公平交易的条件下和自愿的情况下所确定的价格，或无关联的双方在公平交易的条件下一项资产可以被买卖或者一项负债可以被清偿的成交价格. 在公允价值计量下，资产和负债按照在公平交易中，熟悉市场情况的交易双方自愿进行资产交换或者债务清偿的金额计量. 购买企业对合并业务的记录需要运用公允价值的信息. 在实务中，通常由资产评估机构对被并企业的净资产进行评估.  基金资产净值

基金资产净值是指在某一基金估值时点上，按照公允价格计算的基金资产的总市值扣除负债后的余额，该余额是基金份额持有人的权益. 按照公允价格计算基金资产的过程就是基金的估值. 基金份额资产净值，即每一基金份额代表的基金资产的净值.  K线

K线图这种图表源处于日本德川幕府时代（1603～1867年），被当时日本米市的商人用来记录米市的行情与价格波动，后因其细腻独到的标画方式而被引入到股市及期货市场. 通过K线图，我们能够把每日或某一周期的市况现完全记录下来，股价经过一段时间的盘档后，在图上即形成一种特殊区域或形态，不同的形态显示出不同意义. 插入线、抱线和利好刺激线这三种K线组合是最常见的经典见底形态.  市盈率

市盈率是最常用来评估股价水平是否合理的指标之一，由股价除以年度每股盈余(EPS)得出(以公司市值除以年度股东应占溢利亦可得出相同结果). 一家公司享有非常高的市盈率，说明投资人普遍相信该公司未来每股盈余将快速成长，以至数年后市盈率可降至合理水平. 一旦盈利增长不如理想，支撑高市盈率的力量无以为继，股价往往会大幅回落.

一般来说，市盈率水平为：

0-13：即价值被低估 14-20：即正常水平 21-28：即价值被高估

28+：反映股市出现投机性泡沫

4.2证券投资收益与风险

人们投资于证券是为了获得收益. 证券投资收益一般由两部分组成：一是债券利息、股息、红利，一是资本利得即证券低买高卖的差价. 这些收益都是未来的，在一般情况下难以事先确定. 这种不确定性就是风险. 风险与收益是并存的，且高收益往往伴随着高风险. 投资者决策时一般遵循如下原则：风险相同的证券中选择收益较高的投资，收益相同的证券中选择风险较小的投资.

证券投资基金是一种风险投资. 这里的风险是指投资者达不到预期收益或遭受各种损失的可能性. 这种风险是可分为系统性分先与非系统性风险.

系统性风险是政治、经济及社会坏境变动而影响所有证券收益的风险. 1、市场风险

证券价格指数从低点持续稳定上升的趋势称多头市场即牛市，指数从高点持续下跌的趋势称空头市场即熊市. 指数既不持续上升也不持续下跌，而是在某一水平上作幅度不大的上下来回变动叫做盘整. 牛熊交替的决定因素很多. 投资者要根据自己对多种因素的考虑，选择好投资与退出的恰当时机，于空户头市场来临前卖出，于多头市场来临前买进.

2、利率风险

证券的价值是证券预期权益的现值，根据货币时间价值原理，现值与利率呈反方向变动，即市场利率提高，证券价格下降，反之亦然. 而证券价格变动则影响证券投资收益，这就是利率风险. 投资者应根据形势变化对利率变动作出正确预测以避规风险.

3、通胀风险

温和的通胀会刺激生产，股市可能上市，但通胀也加大生产成本，当企业无法消化成本上升时，企业效益会下降，影响投资者信心，股价就会下跌. 恶性通货膨胀会引起证券市场混乱. 通胀还会使证券投资的本金与收益贬值，影响投资实际收益.

证券投资的非系统性风险指由于市场、行业及企业本身的特殊因素给个别企业证券带来的风险.

1、行业风险

企业所处行业在发展过程中存在风险. 有些行业有明显生命周期：拓展、成长、成熟、衰落，在不同阶段有不同风险. 有些行业本身有较多不确定性，如高新技术行业. 因此，投资于高新技术企业，虽预期收益大，风险也大.

2、企业经营风险

如果企业经营不善，效益下降，甚至竞争失败，投资者就可能亏损. 3、违约风险

企业如不能按契约支付债息、股息、红利甚至偿还本金，投资者就会遭受损失.

4.3开放式基金

开放式基金在国外又称共同基金，它和封闭式基金共同构成了基金的两种运作 方式. 开放式基金是指基金发起人在设立基金时，基金份额总规模不固定，可视投资者的需求，随时向投资者出售基金份额，并可应投资者要求赎回发行在外的基金份额的一种基金运作方式. 投资者既可以通过基金销售机构购买基金使基金资产和规模由此相应增加，也可以将所持有的基金份额卖给基金并收回现金使得基金资产和规模相应的减少.

开放式基金是世界各国基金运作的基本形式之一. 基金管理公司可随时向投资者发售新的基金份额，也需随时应投资者的要求买回其持有的基金份额. 目前，开放式基金已成为国际基金市场的主流品种，美国、英国、我国香港和台湾的基金市场均有90%以上是开放式基金. 相对于封闭式基金，开放式基金在激励约束机制、流动性、透明度和投资便利程度等方面都具有较大的优势： 市场选择性强

如果基金业绩优良，投资者购买基金的资金流入会导致基金资产增加. 而如果基金经营不善，投资者通过赎回基金的方式撤出资金，导致基金资产减少. 由于规模较大的基金的整体运营成本并不比小规模基金的成本高，使得大规模的基金业绩更好，愿买它的人更多，规模也就更大. 这种优胜劣汰的机制对基金管理人形成了直接的激励约束，充分体现良好的市场选择；  流动性好

基金管理人必须保持基金资产充分的流动性，以应付可能出现的赎回，而 不会集中持有大量难以变现的资产，减少了基金的流动性风险；  透明度高

随履行必备的信息披露外，开放式基金一般每日公布资产净值，随时准确地体现出基金管理人在市场上运作、驾驭资金的能力，对于能力、资金、经验均不足的小投资者有特别的吸引力；  便于投资

投资者可随时在各销售场所申购、赎回基金，十分便利. 良好的激励约束机制又促使基金管理人更加注重诚信、声誉，强调中长期、稳定、绩优的投资策略以及优良的客户服务. 作为一个金融创新品种，开放式基金的推出，能更好地调动投资者的投资热情，而且销售渠道包括银行网络，能够吸引部分新增储蓄资金进入证券市场，改善投资者结构，起到稳定和发展市场的作用. 4.4开放式基金的分类

如果按照投资类型来看，开放式基金可分为股票型、债券型、保本型、配置型和货币式基金五大类

 股票型开放式基金至少有60%的资金投资于股票，另外还有部分资金是保持

现金和高流动性证券以应对随时的份额赎回.

 债券基金是指80%以上的基金资产投资于债券的基金，在国内，投资对象主

要是国债、金融债和企业债.

 保本型基金〈Principal Guaranteed Fund〉,主要是将大部份的本金投资在具有

固定收益的投资工具上，像定存、债券、票券等，让到期时的本金加利息大

致等于期初所投资的本金；另外，在将孳息或是极小比例的本金设定在选择权等衍生性金融工具上，以赚到投资期间的市场利差，因此保本型基金在设计上提供了小额投资人保本及参与股市涨跌的投资机会.

 配置型基金是指资产灵活配置型基金投资于股票、债券及货币市场工具以获

取高额投资回报，其主要特点在于，基金可以根据市场情况显著改变资产配置比例，投资于任何一类证券的比例都可以高达100%.

 货币基金是指主要投资于短期国债、金融债、中央银行票据等的基金. 种类

有南方、华安、招商等

货币基金是国外的叫法. 按照开放式基金所投资的金融产品类别，人们将开放式基金分为三种基本类型：即股票基金、债券基金、货币市场基金，前两类属于资本市场，后一类为货币市场. 货币基金主要投资于债券、央行票据、回购等安全性极高的短期金融品种，又被称为“准储蓄产品”，其主要特征是“本金无忧、活期便利、定期收益”. 一般情况下，投资者盈利的概率为99.84%；预计收益率在2—2.5%之间，高于一年期定期存款1.98%的利息，而且没有利息税；随时可以赎回，一般可在申请赎回的第二天拿到钱，非常适合追求低风险、高流动性、稳定收益的单位和个人.

4.5十只股票的基本情况

 招商银行

招商银行所属行业银行，公司是一家全国性商业银行，国内最大的零售银行. 在境内30多个大中城市、香港设有分行，网点总数400多家，在美国设立了代表处，并与世界70多个国家和地区的900多家银行建立了代理行关系. 公司在香港、上海两地上市，其发行的“一卡通”被誉为我国银行业在个人理财方面的一个创举，公司同时也是国内信用卡发卡最多的银行. 公司正加快实现战略转型，加大收入结构和客户结构的调整力度，大力发展零售银行业务、中间业务、信用卡业务和中小企业业务，不断提高非利息收入的占比，经营转型取得了良好的效果. 标准行业市值排第7名，营业收入排第8名.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收益率，如下表所示：

市盈率（动）：11.68 流通股本：2157660.89万股 大盘股 主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 0.650 5.790 10.58 2010-03-31 0.300 5.600 5.00 2009-12-31 0.950 4.850 19.65 2009-09-30 0.680 4.580 14.95 2009-06-30 0.560 5.720 9.81 表1 招商银行

从上表中我们可以看出招商银行是只大盘股，行情比较稳定，净资产收益率呈现一定的波动性，市盈率比较低，每股的收益比较高.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

银行业统计8.287.87.67.47.276.86.66.4盈利亏损持平及其它数量家数

图1 银行业统计图

从上图中可以看出，多数企业为持平及其他，没有亏损企业，有半数企业为盈利，银行业的总体情况比较良好，比较稳定，风险比较小.

同时我们根据题目所给的数据，得出招商银行在2009年1月到2010年4月的平均月收益情况，如下图所示：

招商银行月收益率1.61.4收益大小1.210.80246月份8101214

图2 招商银行月收益率

从上图中可以看出招商银行的平均收益状况大致在1-1.2之间，个别月份波动较大.  中兴通讯

中兴通讯所属行业通信设备，公司系由深圳市中兴新通讯设备有限公司等九家单位于1997年11月共同发起设立，始以发起人净资产及现金投入折为发起人股18500万股，经1997年10月6月发行后，上市时总股本达25000万股，其内部职工股650万股将于公众股5850万股1997年11月18日在深证所上市交易期满半年后上市.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收益率，如下表所示：

市盈率（动）：37.33 流通股本：279722.09万股 大盘股 主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 0.320 7.450 4.20 2010-03-31 0.060 10.990 0.54 2009-12-31 1.400 9.550 14.61 2009-09-30 2009-06-30 0.680 0.450 8.720 8.450 表2中兴通讯

7.76 5.31 从上表中我们可以看出中兴通讯是只大盘股，行情比较稳定，净资产收益率呈现一定的波动性，市盈率比较高，反映股市出现投机性泡沫，每股的收益比较低.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

通信设备业统计302520数量151050盈利亏损持平及其它家数

图3 通讯设备业统计

从上图可以看出通信设备业盈利的企业占多数，持平及其他的企业较少，但同时也存在较多亏损的企业，有一定的风险.

中兴通讯月收益率2.52收益大小1.510.50246月份8101214

图4 中兴通讯月收益率

从上图中可以看出中兴通讯的平均收益状况大致在1上下波动，各月份都比较稳定.  山煤国际

山煤国际所属行业采掘，公司是经国家经贸委国经贸企改[2000]1097号文批准，由吉化集团公司作为主发起人，以其所属的吉化集团公司建设公司之主要经营性净资产出资，联合吉林高新区华林实业有限责任公司、吉林市城信房地产开发公司、宁波市富盾制式服装有限公司、上海华理远大技术有限公司，于2000年11月20日发起设立的股份有限公司.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收益率，如下表所示：

市盈率（动）：20.68 流通股本：18073.40万股 大盘股 主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 0.526 3.772 13.94 2010-03-31 0.150 3.560 4.26 2009-12-31 1.000 4.120 24.32 2009-09-30 0.036 2.151 1.70 2009-06-30 0.022 2.120 1.03 表3山煤国际

从上表中我们可以看出山煤国际是只大盘股，行情比较稳定，净资产收益率呈现一定的波动性，市盈率比较高，即价值被高估，每股的收益比较低.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

采掘业统计2520数量151050盈利亏损持平及其它家数

图5 采掘业统计

从上图中可以看出在采掘业中有58.33%的企业是盈利的，33.33%的企业是持平及其他状况，8.33%的企业是亏损，从整个行业来看有盈利前景，风险较小.

山煤国际月收益率1.61.4收益大小1.210.80246月份8101214

图6 山煤国际月收益率

从上图中可以看出山煤国际的月收益率波动较大，前6个月比较稳定，在1.2上下波动，后8个月的波动幅度比较大.  中国平安

中国平安所属行业证券、信托、保险，公司为经营区域覆盖全国，以保险业务为核心，以统一的品牌向客户提供包括保险、银行、证券、信托等多元化金融服务的全国领先的综合性金融服务集团. 公司拥有约20万名寿险销售员及超过

4万名正式雇员，各级各类分支机构及营销服务部门约3000个，向3000多万名个人客户及约200万名公司客户提供多元化金融服务. 根据中国保险年鉴的统计，按保费收入来衡量，平安寿险为中国第二大寿险公司，平安产险为中国第三大产险公司. 2009年6月中国平安将与深发展有股权合作意向，未来仍会有进一步整合.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收益率，如下表所示：

市盈率（动）：18.77 流通股本：764414.21万股 大盘股 主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 1.300 13.750 9.14 2010-03-31 0.620 12.210 5.08 2009-12-31 1.890 11.570 16.34 2009-09-30 0.940 12.320 7.60 2009-06-30 0.590 12.300 4.80 表4中国平安

从上表中我们可以看出中国平安是只大盘股，行情比较稳定，净资产收益率呈现一定的波动性，市盈率处于正常水平，每股的收益比较高.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

保险业统计2015数量1050盈利亏损持平及其它家数

图7 保险业统计

从上图中可以看出保险业中65.38%的企业盈利，15.38%的企业是持平及其他状况，19.23%的企业是亏损，从整个行业来看有盈利前景，风险较小，但比采掘业大.

中国平安月收益率2收益大小1.510.50246月份8101214

图8 中国平安月收益率

从上图中可以看出中国平安的平均收益状况大致在1上下波动，个别月份波动较大，收益比较稳定.

 银座股份

银座股份所属行业商业贸易，公司前身系济南渤海贸易公司，系股份制企业，于1984年至1987年3次向社会个人发行面值200元的股票4.85万股，1992年6月29日拆细为每股面值1元；1992年始进行规范化股份制改组，将其兼并后的济南煤厂净资产折为国家股1000万股，14家机构现金投入折为法人股2033.7万股，上市时总股份6003.7479万股.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收益率，如下表所示：

市盈率（动）：44.50 流通股本：23368.44万股 中盘股 主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 0.313 7.345 4.12 2010-03-31 0.266 7.359 3.37 2009-12-31 0.506 5.184 9.75 2009-09-30 0.471 5.152 9.14 2009-06-30 0.365 5.116 7.13 表5银座股份

从上表中我们可以看出银座股份是只中盘股，资产比较少，容易受其他资金的影响，股价容易波动，净资产收益率呈现一定的波动性，市盈率比较高，反映股市出现投机性泡沫，每股的收益比较低.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

商业贸易业统计605040数量3020100盈利亏损持平及其它家数

图9 商业贸易业统计

从上图中可以看出商业贸易业中56.04%的企业盈利，35.16%的企业是持平及其他状况，8.79%的企业是亏损，从整个行业来看有盈利前景，风险相对较小.

银座股份月收益率1.61.4收益大小1.210.80246月份8101214

图10 银座股份月收益率

从上图中可以看出招银座股份的平均收益状况大致在1-1.2之间，个别月份波动较大，其余在1上下波动，收益比较稳定.  ST东航

ST东航所属行业航空机场，公司前身系东方航空集团公司，1997年10月进行股份制改组，始以原公司净资产折为国家股300000万股，经1997年2月向境外发行外资股156695万股和1997年10月24日发行后，上市时总股本达486695万股，其内部职工股3000万股将于公众股27000万股1997年11月5日在上交所上市交易期满半年后上市. 标准行业市值排第5名，营业收入排第3名.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收益率，如下表所示：

市盈率（动）：27.94 流通股本：385890.00万股 大盘股 主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 0.072 0.190 35.23 2010-03-31 0.084 0.324 17.39 2009-12-31 0.203 -0.440 - 2009-09-30 0.237 -0.437 - 2009-06-30 0.008 -2.370 - 表6 ST东航

从上表中我们可以看出ST东航是只大盘股，行情比较稳定，净资产收益率呈上升趋势，市盈率比较高，每股的收益比较低.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

航空机场业统计876543210盈利亏损持平及其它数量家数

图11 航空机场业统计

从上图中可以看出航空机场业中33.33%的企业盈利，58.33%的企业是持平及其他状况，8.33%的企业是亏损，从整个行业来看有盈利空间比较大，但风险比较大.

ST东航月收益率43收益大小2100246月份8101214

图12 ST东航月收益率

从上图中可以看出ST东航的平均收益状况大致在1这条线上，收益很稳定.

 五粮液

五粮液所属行业食品饮料，公司是以五粮液及其系列酒的生产、销售为主要产业，同时生产经营精密塑胶制品、大中小高精尖注射和冲压模具现代制造产业，以及生物工程为发展产业，药业工业、印刷业、电子器件产业、物流运输和相关的服务业的具有深厚企业文化的现代化企业集团. 公司现已系统研制开发了五粮春、五粮神、五粮醇等几十种不同档次、不同口味，满足不同区域、不同文化背景、不同层次消费者需求的系列产品. 数年来\"五粮液\"品牌连续在中国白酒制造业和食品行业\"最有价值品牌\"中排位居前，具有领导市场的影响力. 目前公司根据消费者的个性化需求，进一步细分、微分市场，新设计开发国宝五粮液、人民大会堂国宴五粮液等，丰富和完善产品线，加快新产品开发步伐，有效地支持了公司经营业绩持续增长.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收

益率，如下表所示：

市盈率（动）：25.23 流通股本：379552.10万股 大盘股 主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 0.596 4.202 14.17 2010-03-31 0.401 4.170 9.62 2009-12-31 0.855 3.761 22.73 2009-09-30 0.606 3.550 17.05 2009-06-30 0.423 3.370 12.54 表7五粮液

从上表中我们可以看出五粮液是只大盘股，行情比较稳定，净资产收益率呈现一定的波动性，市盈率比较高，即价值被高估，每股的收益比较高.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

食品饮料业统计302520数量151050盈利亏损持平及其它家数

图13 食品饮料业统计

从上图中可以看出食品饮料业中48.15%的企业盈利，31.48%的企业是持平及其他状况，20.37%的企业是亏损，从整个行业来看有盈利空间比较大，但风险也比较大.

五粮液月收益率1.31.2收益大小1.110.90.80246月份8101214

图14 五粮液月收益率

从上图中可以看出五粮液的平均收益状况波动较大，各月份的差额大小比较明显，受其他因素的影响比较大，投资五粮液的风险比较大，但收益也大.  瑞贝卡

瑞贝卡所属行业轻工制造，公司是经河南省人民政府批准，由河南瑞贝卡发制品有限公司整体变更设立的股份有限公司，以发制品公司1999年9月30日经

审计的净资产为基准，按1:1 的比例折为6，600万股，并于1999年10月24日在河南省工商行政管理局注册登记并领取企业法人营业执照.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收益率，如下表所示：

市盈率（动）：47.82 流通股本：73979.10万股 中盘股 主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 0.112 1.834 6.11 2010-03-31 0.056 2.210 2.53 2009-12-31 0.201 2.145 9.38 2009-09-30 0.150 20110 7.26 2009-06-30 0.096 2.058 4.67 表8瑞贝卡

从上表中我们可以看出瑞贝卡是只中盘股，资产比较少，容易受其他资金的影响，股价容易波动，净资产收益率呈现一定的波动性，市盈率比较高，反映股市出现投机性泡沫，每股的收益比较低.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

轻工制造业统计605040数量3020100盈利亏损持平及其它家数

图15 轻工制造业统计

从上图中可以看出轻工制造业中68.01%的企业盈利，16.67%的企业是持平及其他状况，15.28%的企业是亏损，从整个行业来看有盈利状况比较好，风险也比较大.

瑞贝卡月收益率43收益大小2100246月份8101214

图16 瑞贝卡月收益率

从上图中可以看出瑞贝卡的平均收益状况大致在1上下波动，收益比较稳定.

 格力电器

格力电器所属行业家用电器，公司系由珠海经济特区工业发展总公司于1989年12月发起设立，始将其属下三家公司净资产及对其的债权折价入股780万股，定向募集职工股421.18万股，经1991年3月和1992年3月两次增发法人股、公众股、职工股，上市时总股份7500万股. 标准行业市值排名第6位，营业收入排第4位.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收益率，如下表所示：

市盈率（动）：14.11 流通股本：278001.43万股 大盘股 主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 0.840 5.640 14.85 2010-03-31 0.340 5.640 6.03 2009-12-31 1.550 5.310 29.22 2009-09-30 1.060 4.800 22.10 2009-06-30 0.660 4.380 14.96 表9格力电器

从上表中我们可以看出格力电器是只大盘股，行情比较稳定，净资产收益率波动性比较大，市盈率比较低，每股的收益比较高.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

家用电器业统计2520数量15家数1050盈利亏损持平及其它

图17 家用电器业统计

从上图中可以看出家用电器业中58.33%的企业盈利，25%的企业是持平及其他状况，16.67%的企业是亏损，从整个行业来看有盈利状况比较好，风险也比较大.

格力电器月收益率1.510.5收益大小00246月份8101214

图18 格力电器月收益率

从上图中可以看出招银座股份的平均收益状况大致在0.5-1.5之间，波动幅度较大.

华发股份

华发股份所属行业房地产，公司前身为华发集团的全资子公司珠海经济特区华发房地产公司. 1992年4月，经珠海市经济体制改革委员会以珠体改委[1992]50号文和珠体改委[1992]73号文批准，华发集团以其属下全资子公司珠海经济特区华发房地产公司经评估后的净资产出资，联合珠海市投资管理公司、珠海经济特区房地产开发总公司和深圳投资基金管理公司，并经中国人民银行珠海分行以（92）珠人银金管字第110号文批准发行内部股票，以定向募集的方式改组为珠海经济特区华发房地产股份有限公司. 1992年8月18日在珠海市工商行政管理局注册成立，总股本24，000万股，其中：法人股17，800万股，占总股本的74.17%；内部职工股6，200万股，占总股本的25.83%. 1994年12月，广东省体改委以粤体改[1994]140号文确认公司为股份有限公司.

我们从同花顺上找到了该公司5个季度的每股收益，每股净资产和净资产收益率，如下表所示：

市盈率（动）：18.67 流通股本：81704.56万股 大盘股



主要指标 每股收益（元） 每股净资产（元） 净资产收益率（%） 2010-06-30 0.160 6.400 2.56 2010-03-31 0.830 6.230 13.34 2009-12-31 0.447 5.850 7.65 2009-09-30 0.350 5.750 6.08 2009-06-30 0.160 5.670 2.82 表10华发股份

从上表中我们可以看出华发股份是只大盘股，行情比较稳定，净资产收益率呈现一定的波动性，市盈率比较低，每股的收益比较高.

从整个行业来看，截止2010年第一季度，行业统计情况如下

房地产业统计10080数量60家数40200盈利亏损持平及其它

图19 房地产业统计

从上图中可以看出房地产业中60.27%的企业盈利，21.92%的企业是持平及其他状况，17.81%的企业是亏损，从整个行业来看有盈利状况比较好，风险也比较大.

华发股份月收益率2.52收益大小1.510.50246月份8101214

图20 华发股份月收益率

从上图中可以看出招华发股份的平均收益状况大致上下波动，个别月份波动较大，隐约有下降的趋势.

五 模型的建立与求解

5.1马柯维茨投资组合模型建立及求解

本题的问题称为投资组合（portfolio）问题，早在1952年Markowitz就给出了这个模型的基本框架，而且这个模型后来又得到了不断地研究和改进. 一般来说，人们投资股票时的收益是不确定的，因此是一个随机变量，所以除了考虑收益的期望外，还应当考虑风险，风险用什么衡量？Markowitz建议，风险可以用收益的方差（或标准差）来进行衡量：方差越大，则认为风险越大；风险越小，则认为风险越小. 在一定的假设下，用收益的方差（或标准差）来衡量风险确实是合适的.

一种股票收益的均值衡量的是这种股票的平均收益状况，而收益的方差衡量的是这种股票收益的波动幅度，方差越大则波动越大（收益越不稳定）. 两种股票收益的协方差表示的则是他们之间的相关程度：

 协方差为0时两者不相关.

 协方差为正数表示两者正相关，协方差越大则正相关性越强（越有可能

一赚皆赚，一赔俱赔）.

 协方差为负数表示两者负相关，绝对值越大则负相关性越强越有可能一

个赚，另一个赔）. 5.1.1模型的建立

根据马柯维茨理论的前提假设，投资者根据投资的预期收益和预期风险来做出投资决定. 1、预期收益

预期收益率是指未来可能收益率的期望值，也称期望收益率. Rp表示包含在组合中各种资产的预期收益的加权平均数，其表达式为：

E(Rp)xiE(Ri)

i1N式中，E(Rp)为证券组合的期望收益率；E(Ri)为组合中证券i的预期收益；

xi为组合中证券i所占的比例，即权数；N为组合中证券的种类.

由于每种证券在一定时期后的实际收益率与期望收益率可能不一致，因此证券组合的实际收益率与期望收益率也会不同，从而要对证券组合的风险加以考虑.

2、预期风险

在马柯维茨理论中，风险定义为投资收益率的波动性. 收益率的波动性越大，投资的风险就越高. 收益率的波动性，通常用标准差或方差表示.

标准差是各种可能的收益率偏离期望收益率的综合差异，是用来衡量证券收益的风险程度的重要指标，标准差越大，证券的风险也就越大. （1）协方差

证券组合的风险不仅于每种证券的风险有关，而且证券之间的相互关系也会对组合的风险产生影响. 证券之间相互影响产生的收益的不确定性可以用协方差来表示. 协方差是衡量两个随机变量例如证券i的收益率和证券j的收益率之间的互动性的统计量. 如果用ij表示证券i和j之间的协方差.

如果两种证券之间的协方差为正值，表明两种证券的收益率倾向于同一方向变动，即一种证券的实际收益率高于期望收益率的情形可能伴随着另一种证券相同的情形发生. 如果两种证券之间的协方差为负值，则表明两种证券之间存在着

ijjiERisERiRjsERj

一种反向的变动关系，一种证券的收益率上升可能伴随着另一种证券收益率的下降. 一个相对较小或者为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关系或者没有人和互动关系即相互独立. 证券之间的协方差越大，那么由它们构成的证券组合的风险也就越大.

(2)证券组合的方差和标准差

2投资组合的预期风险p为：

NNxixjij

2pi1j1标准差p就为：

pxxiji1j1NNij 其中，当ij时，ij表示证券i和证券j收益的协方差，反映了两种证券的收益在一个共同周期中变动的相关程度，xi、xj表示组合中证券i，j所占的比例.

5.2.2模型的求解

记股票A、B…J每月的收益率分别为R1,R2R10,则Rii1,,10是一个随机变量. 用E和D分别表示随机变量的数学期望和方差（标准差的平方）算子，用cov表示两个随机变量的协方差（covariance）,根据概率论的知识，则可以计算出月收益率的数学期望为

ER10.008, ER2=0.008,ER3=0.094,ER4=0.039,ER5=0.008 ER6=0.038,ER7=0.028,ER8=0.010,ER9=0.019,ER10=0.018

同样，可以计算股票A、B…J月收益率的协方差矩阵，由于数据太多，我们把他放在附录里.

用决策变量x1,x2,x10分别表示基金投资股票A、B…J的比例. 假设市场上没有其他投资渠道，在该基金股票投资比例最高可达95%，前十名股票的公允价值之和为投资总和，我们对十个股票的投资比例进行了重新计算，其中，根据前十名股票的公允价值占基金资产净值x1,x2,,x100,x1x2x101比例求得新的比例分别为

x1=0.1837,x2=0.1711,x3=0.1393,x4=0.1026,x5=0.0768,x6=0.0762,x7=0.0682,x8=0.0628,x9=0.0600,x10=0.0591

根据所给招商银行、中兴通讯、山煤国际、中国平安、银座股份、ST东航、五粮液、瑞贝卡、格力电器、华发股份十家股票2009年1月到2010年4月的收盘价格，可得到十家股票的月收益率，如表1所示 股 招商中兴山煤中国银座ST五粮 瑞贝格力华发年 银行 通讯 国际 平安 股份 东航 液 卡 电器 股份 2009-01 1.07 1.04 1.18 1.00 0.96 1.10 1.03 0.98 0.95 1.20 2009-02 1.06 0.99 1.12 1.09 0.95 0.99 1.05 0.86 1.19 1.11 2009-03 1.09 1.19 1.14 1.25 1.05 1.27 1.06 1.24 1.17 1.23 2009-04 0.96 1.07 1.27 1.02 1.02 0.85 1.04 0.98 1.17 1.02 2009-05 1.06 0.89 1.11 0.97 0.96 1.08 0.97 0.70 0.96 1.07 2009-06 1.26 0.79 1.24 1.14 1.17 0.99 1.16 1.00 0.68 1.11 2009-07 0.85 1.18 1.36 1.17 1.01 1.09 1.19 1.12 1.09 0.92 2009-08 0.70 0.96 0.75 0.69 0.93 0.86 0.88 0.88 0.86 0.73 2009-10 1.06 1.11 1.08 1.13 1.07 1.04 0.96 1.03 1.15 1.08 2010-01 1.15 0.96 1.18 1.05 0.95 0.97 1.03 1.25 1.17 1.04 2010-02 0.96 1.09 0.86 0.97 1.03 1.02 1.05 1.13 1.01 0.99 2010-03 1.01 0.96 1.09 1.07 0.95 1.16 1.02 1.11 1.08 1.03 2010-04 0.87 0.88 0.84 0.96 1.06 1.08 0.92 0.85 0.77 0.71 表11 10家股票收益数据

根据表11我们用LINGO计算得到月平均收益率和方差 月平均收益率 A 0.007692 B 0.008462 C 0.093864 D 0.039231 E 0.008462 F 0.038462 G 0.027692 H 0.010000 I 0.019231 J 0.018462 表12 10家股票的月收益率和方差

方差 0.02048 0.01414 0.01344 0.01860 0.00466 0.01290 0.00729 0.02580 0.01076 0.02420 月投资总收益率Rx1R1x2R2x10R10也是一个随机变量. 根据概率论的知识，投资的总期望收益为

ERpx1ER1x2ER2x10ER100.0283

月投资收益的总方差为

Dx1ER1x2ER2x10ER10xixjcovRi,Rj0.0080

2pj1i11010月投资收益的总方差比较小，所以他的风险比较小.

选择增长型股票需要予以特别考虑的另一个重要方面就是分散化投资的原

则,一个组织良好的证券组合，其证券不仅应自身具有较高的收益性和稳定性．而且其所属证券之间还应具有尽可能低的相关性，只有这样才有可能使证券组合的非系统风险有效地得到减低. 因此我们计算了十家股票的两两协方差. 用LINGO计算得到D和J股票与其他几只股票的协方差比较大，如下表所示 M(D,A) 0.6303 M(J,A) 0.7996 M(D,B) 0.3707 M(J,B) 0.2498 M(D,C) 0.7174 M(J,C) 0.6067 M(D,D) 1 M(J,D) 0.6605 M(D,E) 0.4676 M(J,E) 0.1159 M(D,F) 0.5904 M(J,F) 0.4108 M(D,G) 0.7040 M(J,G) 0.4610 M(D,H) 0.5116 M(J,H) 0.3087 M(D,I) 0.4056 M(J,I) 0.4147 M(D,J) 0.6605 M(J,J) 1 表13 D、J 股票的协方差

由上表可以知道D、J股票与其他股票之间的协方差比较大，而证券之间的协方差越大，那么由它们构成的证券组合的风险也就越大.所以我们在进行基金证券投资组合分析时，不考虑购买D、J股票.

在表1中我们很据A、B…J10个股票的月平均收益率求得平均的月平均收益率为1.027154,由于A、B、H三只股票的月平均收益率小于平均的月平均收益率，我们认为这三只股票的收益较小，不考虑购买.

实际的投资者可能面临许多约束条件，这里只考虑月平均收益率不低于0.027154，即

x1ER1x2ER2x10ER100.027154

同时满足 x1,x2 1x1,,100,x1x2x通过目标函数 minxixjcovRi,Rj

2pj1i11010使用LINGO求解得到 X1 X2 X3 X4 0

0

0.1198

0

X5 X6 X7 X8 0

X9 0.1227

X10 0

0.5106 0.2220 0.0249

表14 最优投资组合比例

由上表可知最优的投资组合是选择C、E、F、G、I五只股票进行组合投资，投资比例分别为0.1198、0.5106、0.2220、0.0249、0.1227，同时，在该投资组合情况下，我们求得他的投资的总期望收益为

ERpx3ER3x5ER5x6ER6x7ER7x9ER90.0272

月投资收益的总方差为

2pDx3ER3x5ER5x6ER6x7ER7x9ER90.00337

因此，我们得到两种方案的结果，如下表所示

组 合 指 标 期望值ERp 0.0283 0.0272 2方差p 比值ERp2p 组合一 组合二 0.0080 0.00337 表15 两种组合的比较

3.5375 8.0712 注：组合一为题目所给的股票投资组合，组合二为我们所求的投资组合

比较上述计算结果可以看出，投资组合一与投资组合二的期望值相差不大．但投资组合二的方差确比投资组合一小很多，这表明投资组合一的收益率与投资组合二相比很不稳定，即具有较大的风险，所以，通过对两种投资组合同等期望收益率下风险度的比较，再与前边提到的基本分析结果合并进行通盘考虑，基金管理公司可以比较容易地对构成增长型证券组合的股票进行选择.

5.3.3分散化投资的作用

分散投资引入了对风险和收益对等原则的一个重要的改变，分散投资相对单一证券投资的一个重要的好处就是，分散投资可以在不降低收益的同时降低风险. 这也意味着通过分散投资我们可以改善风险—收益比率.

通常我们可采用下列一些方式进行分散化 .

1、部门与行业的分散化. 各部门与行业总是与宏观经济发展变化密切相关 ．有些行业的变动与宏观经济的变化呈正相关的关系．而有些行业的变化却与总体经济保持负相关的关系. 而且不论相关是正或负，各行业与宏观经济的相关度也各有所不同. 通过对不同部门或行业的股票进行选择，可以有效地分散投资风险. 2 、公司分散化. 公司分散化可以有效地使经营部门分散化后剩余的风险得到进一步的降低，公司除了具有所属行业的一些特点以外，更多的表现出的还是其自身的特殊性 . 比如，规模大小、多角化经营水平、经营能力 、发展潜力、受特殊情况的影响促进或阻碍业务的发展等，利用公司经营活动表现出来的特殊性，可以把证券组合的非系统风险进一步降低.

3 ．地域和国别的分散化. 地区之间经济发展的不平衡性和各自具有的优势为投资分散化提供了又一有效的途径 通过地区分散化使证券组合内证券间的相关度进一步得到降低. 另外通过国际分散化证券投资，可以使地域分散化进一步得到深化，此外还可使投资所面临的政治风险、区域性冲突引起的风险及制度 ( 经济贸易、金融、投资等方面)变革风险得到降低. 当然，进行国别分散也会带来某些负效应，如新出现的汇率风险、税制与当地法规的限制以及范围更广的各种不确定因素的影响等等，需要权衡利弊，慎重选择.

4 、证券种类分散化. 选择增长型证券组合中的证券 ，不仅要考虑普通股票 ，对于其它证券如优先股，各种债券也应加以考虑和选择，以降低组合风险. 5 ．时间和到期日分散化，对于增长性组合中所含的固定收益证券，在进行选择时保持其期限与到期日的分散化，以达到组合的低风险性和流动性 .

通过上述方式取得的经过充分分散化的证券可运用计算证券组合总体方差的方式进一步进行考虑．如果计算结果显示的证券组合的风险度不能令人满意．可通过向组台中添加与组合中证券具有更低的相关度的证券的办法进行调整．直到计算结果显示的风险度令人满意为止.

5.2引入VaR约束的马柯维茨均值—方差模型的建立与求解 5.2.1 VaR的基本原理与分析

VaR，即风险价值(Value at Risk)，是指市场正常波动下，在一定的概率水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失. 由于VaR值可以用来简明地表示市场风险的大小，因此没有任何专业背景的投资者和管理者都可以通过VaR值对金融风险进行评判. 并且VaR方法可以事前计算风险，它不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小. 另外，VaR方法还可以衡量全部投资组合的整体风险，这也是传统金融风险管理所不能做到的. VaR方法的这些特点使得它逐渐成了度量金融风险的主流方法，越来越多的金融机构采用VaR测量市场风险，使用VaR作为风险限额，特别是监管当局也在使用VaR确定风险资本金，这使得许多金融机构及其业务部门在投资选择时，往往需要满足VaR约束. 为此，本文将研究一个在马柯维茨均值—方差模型的基础上加入VaR约束的投资组合优化模型.

根据VaR的定义，可以表示为：

Prob(PVaR)1c

其中，P为证券组合在持有期t内的损失，VaR为置信水平c下处于风险中的价值.

从上面的定义中我们可以看出，VaR有两个重要的参数：资产组合的持有期及置信水平. 这两个参数对VaR的计算及应用都起着重要的作用.

1．置信水平

置信水平的选取反映了投资主体对风险的厌恶程度，置信水平越高，厌恶风险的程度越大. 由前面所述VaR的定义我们可以看出，置信水平的选取对VaR值有很大影响. 同样的资产组合，由于选取的置信水平不同计算出的VaR值也不同. 由于国外已将VaR值作为衡量风险的一个指标对外公布，因此各金融机构有选取不同的置信水平以影响VaR值的内在动力. 例如，国外各银行选取的置信水平就不尽相同，美洲银行和J.P.Morgan银行选择95%，花旗银行选择95.4%，大通曼哈顿银行(Chemical and Chase)选择97.5%，信孚银行(Bankers Trust)选择99%. 由VaR的定义可知，置信水平越高，资产组合的损失小于其VaR值的概率越大，

也就是说，VaR模型对于极端事件的发生进行预测时失败的可能性越小. 因此，Basle委员会要求采用99%的置信水平.

为了更好地理解VaR的概念，下面我们将推导其数学表达式.

设资产组合的初始价值为W，持有期末的期望收益为R，R的数学期望和标准差分别为和，在给定的置信水平c下，期末资产组合的最低值为

WW(1R)

其中R为相应的最低收益率(一般为负值)，则：

kE(W)WW(R) (1) eris ValuatVaR也可由资产组合值的概率分布推导而得. 由VaR的定义，

cWf(W)dW

该式等价于：

1cf(W)dWW

即组合价值低于W的概率为1c. 设资产组合的价值W服从正态分布，为标准正态分布相应的分位数，则：

1cf(W)dWWRf(r)dr()d

其中()为标准正态分布密度函数. 又由

P(RR)P(RR)1c

可知：

RR (2)

将(2)式代入(1)式可得：

VaRE(W)WW()W (3)

这就是正态分布假设下VaR的一般表达式.

以上为计算VaR的一般方法，在实际应用中，根据对市场因子波动性预测方法的不同，VaR的求解方法可分为方差—协方差法、历史模拟法以及蒙特卡洛模拟法.

方差—协方差法的基本思想是对组合内资产收益率的分布做出假设，并且令投资组合收益率是各资产收益率的线性组合，(3)式便是该方法在正态分布假设

下得到的结果. 应用历史模拟法计算VaR不需要对资产组合收益的分布作出假设. 这种方法是借助于过去一段时间内的资产组合收益的频度分布，通过找到历史上一段时间内的平均收益以及既定置信区间下的最低收益水平来推断VaR的值. 该方法的本质是用收益率的历史分布来代替收益率的真实分布，以此来求得资产组合的VaR值.

在金融市场上，Monte Carlo模拟法用来模拟确定时期不同情形下的资产组合值. Monte Carlo模拟法是计算VaR的各种方法中最为有效的方法. 对于资产组合的不同分布状况以及各种非线性的情形，Monte Carlo模拟法都可以得到令人满意的结果.

5.2.2 引入VaR约束的马柯维茨均值—方差模型

经典马柯维茨均值-方差模型为：

minpXTX模型（）maxE(rp)XTR

ns..txi1i1其中，R(R1,R2,...,Rn)T；RiE(ri)是第i种资产的预期回报率；

X(x1,x2,...,xn)T是投资组合的权重向量；(ij)nn是n种资产间的协方差矩

2阵；分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差. 该模型的解RpE(rp)和p在pRp空间是图1中的抛物线，即投资组合的有效前沿. （收益相同风险最小或风险相同收益最大的组合,所有有效组合的集合就称作有效前沿）

鉴于前述VaR方法在风险度量与管理领域中的主流地位，现在我们考虑在模型中加入VaR约束. 假定置信水平为c，由VaR的定义，有：

Prob(rpVaR)1c (4) 在模型（）中考虑VaR约束后，经典均值-方差模型为：

2minPXTXTmaxE(rp)XR模型（）s..tProb(rpVaR)1c (5)

nxi1i1在正态分布下，（4）式可化为：

VaR(E(rp)1(c)p) (6) 其中，()是标准正态分布的分布函数.

模型（）的解在pRp空

Rp VaR约束 A 间中是图21中的弧线AB，称其为基于VaR约束下的投资组合的

O 有效前沿.

B p 图21中VaR约束表现为一条斜率为1(c)、截距为-VaR的直

-VaR 线. 在该直线或其以上的全部投资组合都具有c的概率使其回报

图21 基于VaR约束的投资组合的有效前沿

率超过最小值-VaR；而在直线以下

的全部投资组合回报率在置信度c下不超过-VaR. 这样，VaR约束使投资组合选择仅仅限制在传统有效前沿和VaR约束直线间的阴影部分，即点A和B之间的弧线AB上. 进一步地，根据有效集定理，最优投资组合选择应为抛物线顶点O与点A之间的弧线，即弧线段OA.

这一结论与吕先进(2002)等研究论文中得出的有效投资组合选择范围为整个弧线段AB的结论有所不同. 可以看出，弧线OB段并非最优投资组合有效集，在相同风险下，其收益明显不如弧线OA段相应部位高，因此在我们认为在VaR约束下最优投资组合的选择范围仅为弧线段OA. 5.2.3 模型的几何求解方法

由图21可知，VaR约束的最优投资组合确定时，只需求出点A和O处的权

重即可. 但由于该模型的约束条件比较复杂，用传统的Laganerge乘子法无法求解. 因此在这里我们用几何方法来解决此问题.

设n种资产组合的权重是x1,x2,...,xn1,xn（其中xn1x1x2...xn1），则投资组合的期望回报率RpE(rp)与方差2p分别可表示为：

Rpx1R1x2R2...xn1Rn1(1x1...xn1)Rn (7)

22222px111x222...xn1n1,n1(1x1...xn1)nn2x1x212...2x1xn11,n12x1(1x1...xn1)1n (8) ...2xn1(1x1...xn1)n1,n因为协方差矩阵Σ是正定矩阵，所以在权重空间(x1,x2,...,xn1)中，(8)式代表等方差超椭球面. 2p取不同值可得到一族同心超椭球面，中心记为MVP，表示所有的可能投资组合中风险最小的投资组合的权数；在权重空间(x1,x2,...,xn1)中，(7)式代表等期望回报率超平面，Rp取不同值可得到一族平行超平面. 因而，

n种资产投资组合的最优权重应为等期望回报率超平面与等方差超椭球面的正切点. 将这些正切点连接起来，就得到一条直线，称其为n种资产投资组合的临界线. 不难看出，临界线实际上就是图1中的有效前沿在权重空间中的表现形式.

(7)式在点(x1,x2,...,xn1)处的法向量为：

(R1Rn,R2Rn,...,Rn1Rn)

(8)式在点(x1,x2,...,xn1)处的法向量为：

((11nn21n)x1...(1knn1nkn)xk...(1,n1nn1nn1,n)xn11nnn,(1k......,nn1nkn)x1...(kknn2kn)xk...(k,n1nnknn1,n)xn1......,(1,n1nn1nn1,n)x1...(k,n1nnknn1,n)xk...(n1,n1nn2n1,n)xn1n1,nnn)knnn,

1P[1,0,0,...,0,0,1],10P2[0,1,0,...,0,0,1],令 Q......,0Pn1[0,0,0,...,0,1,1],100x1x1...002, W

0...10xn111...110...则(8)式在点(x1,x2,...,xn1)处的法向量可简化为：

TTTT(P1QW,P2QW,...,PkQW,...,Pn1QW)

由临界线定义，可得临界线方程为

TPkQWTPn1QWTPP2QWT1QW (9) ......R1RnR2RnRkRnRn1Rn由(9)式可得到n2个方程构成的线性方程组：

a11x1a12x2a1,n1xn1b1a21x1a22x2a2,n1xn1b2an2,1x1an2,2x2an2,,n1xn1其中：

aij (10) bn2ijnninjnRiRnj,n1nnjnn1,nRn1Rn

biinnnRiRnn1,nnnRn1Rn， i1,2,,n2,j1,2,,n1.

进一步将(6)式化为如下形式：

(RVaR)p (11) 1(c)2p222根据均值和方差的表达式：RpXTR，pXTX，将其代入上式：

(XTRVaR)2TXX (12) 1(c)因为线性方程组(10)的秩是n2，所以它的基础解系的个数是1，我们可以用x1分别表示x2,x3,.xn1. 而由于xi1，xn也可以用x1表示. 将x2,x3,.xni1n2代入(12)式，就得到一个关于x1的一元二次方程，求出x1就可得到相应

x2,x3,,.xn的值. 因为x1有两个根，因此有两组解，它们分别是点A和点B处

2的权重. 这样就求出了点A和点B处投资组合的预期回报率RA，RB和方差A，2. B进一步地，根据方程XTX2，我们可求出抛物线顶点O处的投资权重. 该方程是常数项包含2的关于x1一元二次方程，当其判别式为零时只有一个解，此时x1A与x1B重合为x1O. 利用判别式为零求出2后，便可分别求出O点的投资权重及投资回报率RO.

于是可以得到VaR约束下投资组合的选择范围：

222 RORPRA,OPA针对这一范围内投资组合的一个回报率RP，联立(10)式和(7)式，就可在临界线上求得投资组合最优权重，该权重下的投资组合的方差为最小，并通过(8)式可算出这个最小方差；同理，给定了上述范围内投资组合的一个方差2p，联立(10)式和(8)式，就可在临界线上求得投资组合的最优权重，使得该权重下的投资组合的预期回报率最高，并且由(7)式可算出这个最高的预期回报率.

需要指出的是，VaR约束可能太严格以致关于x1的一元二次方程无解，即任何组合都被排除在外，这种情况体现在图21中便是VaR约束线和弧线AB没有交点. 同样，VaR约束太宽松也将使计算结果变得没有意义.

本模型在对投资组合的相关约束条件进行回顾与分析的基础上，以Markowitz的均值-方差模型为基础，通过引入VaR这个约束变量来构建投资组合的VaR模型，并运用线性规划与非线性规划的相关理论对这个模型进行解得存在性证明，但是由于我们在数学方面的不足，仅仅是给出了这个模型存在最优解的证明，而没有给出这个模型具体解的情况，也没有描述出这个模型的有效边界情况.

5.2.4模型一与模型二之间的比较

马柯维茨均值-方差模型利用方差度量了资产组合的市场风险，但该方法主要存在两个缺点：①方差只描述了收益的偏离程度，却没有描述偏离的方向. 而实际中最关心的是负偏离(损失)；②方差并没反映证券组合的损失到底是多大. 因此对于随机变量统计特征的完整描述需要引入概率分布，而不仅仅是方差. 模型二中引入VaR约束的马柯维茨均值—方差模型克服了马柯维茨均值-方差模型的不足，所求得的结果比较准确.

六、模型的评价、改进和推广

6.1 模型的评价 6.1.1模型的优点：

马柯维茨模型是概念明确、可操作性较强的投资组合模型，它有助于投资者选择最有利的投资组合,使其投资报酬最高,而风险最小.

引入VaR作为约束条件时的马柯维茨模型可以很好的规避投资过程中可能产生的风险，是投资者的收益更大. 向量自回归(VaR)是基于数据的统计性质建立模型，VaR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型. VaR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VaR模型，因此近年来VaR模型受到越来越多的经济工作者的重视. 6.1.2模型的不足：

马柯维茨的资产组合模型认为预期收益和风险的估计是对一组基金实际收益和风险的正确度量，是对未来关系的正确反映，但历史的数字并不能准确反映未来的收益和风险的状况，造成理论假定与现实的脱节. 而且不能反映投资者对面临的真正风险进行回避的需要. 对于包含证券数目很多的投资组合，该模型是不可行的.

由于中国的基金发展时间较短，市场并不完善，面临着很多不确定的因素. 在对基金进行风险和收益的预测和投资组合时，面临很大的难度.

对于改进后的模型，即引入VaR约束条件后的马柯维茨的投资组合模型，但是VaR不论在理论上还是在应用上，都存在着一些不容忽视的缺点，如VaR的计算结果不稳定;VaR不满足次可加性,所以不是一致性风险度量;VaR不满足凸

性, 其局部最优不一定是全局最优解 6.2 模型的改进和推广

6.2.1考虑交易成本和投资数量约束下的投资组合问题

Markowitz 的均值-方差模型是在一定的假设条件下讨论的 ,并未考虑实际金融市场中一些投资限制,这些限制包括不允许卖空限制、交易成本、投资数量和最小交易单位等. 若这些实际交易过程中所面临的问题不能在模型中被考虑,将会大幅限制投资组合选择模型的实用性.

现假定投资者选择n种风险证券进行组合投资,我们使用下面的记号:xi表示第i种证券的投资比例系数,Ri表示第i种证券的期望收益率. 另外,记

xx1,x2,x10为证券投资组合比例向量;RR1,R2,R10为证券组合的期望收益率向量;vijnn为收益率向量的协方差矩阵;e1,1,,1为分量全部为 1的n维单位向量. 从而,Markowitz的均值-方差模型可以表示为如下的二次规划问题:

minxvxs.tRxR0ex1x0 （1）

其中，R0为投资者预先给定的平均月收益率.

对于模型(1),我们需要估计每种证券收益的概率分布,或者估计每一种证券的期望收益和协方差矩阵. 现假设n种证券在T个阶段的收益已知,则第i种证券的期望收益及第i种证券与第j种证券协方差可通过下式估计:

RiRit/Tt1TTijRitRiRjtRjt1

i,j1,2,,10,t1,2,,T然而,交易成本是投资者在金融市场中所要考虑的一个重要因素,并且 Arnott和Yoshimoto的实证结果表明:

忽视交易费用的存在将会导致非有效的投资组合. 从而,以下我们将研究具有交易成本的证券投资组合选择问题. 在我国 ,证券投资者需要支付的交易成本包括税收和各种交易费用. 因此我们做出以下假设： 假设1： 投资者是企业的代表人.

假设2： 存在企业收入税tg和交易费用,其中交易费用包括佣金 c1x和印花税

c2x,tc,tg分别是这两种交易费用的税率.

假设3： 假设交易费用为V型函数 ,则有

c1xtcxixi0,c2xtgxixi0

从而 ,投资组合xx1,x2,,x10在时期tt1,2,T的总收益为

f1tRitxic1xc2x

i110进一步,扣除税收和交易费用后的收益为：

0f2t1tgRitxic2xc1x1tgRitxi1tttxxgscii i1i1i1101010令t01tgtstc，则证券投资组合xx1,x2,,x10的期望收益和方差分别为

10101TExf2t1tgRixit0xixi0

Ti1i1i1和

Vx1tg2covRi,Rjxixj1tgxvx

2i1j11010因此 ,考虑交易成本下的证券投资组合选择模型可以定义为

min1tgxvx21010s.t1tgRixit0xixi0R0 （2）

i1i1ex1x0另外,已有研究中关于投资数量(比例)的投资约束条件主要是允许卖空行为或者不允许卖空行为,对于投资数量(比例)的大小范围没有限制. 由于在证券市场中,证券的交易数量通常具有限制,投资者和管理机构在实际投资决策中基于各种考虑,常常对于资金的分配和最低收益水平也有要求. 从而,基于模型(2)提出了存在交易成本和投资数量限制的证券组合选择模型:

min1tgxvx2s.t1tgRixit0xixi0R0i1i11010ex1lxux0 （3）

其中，ll1,l2,,l10,uu1,u2,,u10分别为证券投资组合xx1,x2,,x10的投资比例的上下限.

模型（3）是一个NP完全非线性问题，我们还难以得到其最优解的解析表达式.

七、参考文献

[1] http://baike.baidu.com/view/10437.htm

[2] 谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，清华大学出版社，2005.3. [3] 李南南、吴清、曹辉林. MATLAB7简明教程[M]. 清华大学出版社. 2006. [4] 范金城、梅长林. 数据分析[M]. 科学出版社. 2002.

[5] 胡宗义、张杰. 我国开放式基金业绩评价的实证研究——基于VaR的业绩评[6] 价方法与三大经典评价方法的比较分析[J]. 财经理论与实践. 2007.

[7] 邵欣炜、李成华. 基VaR的证券投资组合优化方法[J]. 辽宁省交通高等专科

学校学报. 2005.2.

[8] 陈炜，张润彤，杨玲，基于改进粒子群算法的投资组合选择模型，计算机科

学，2009.1.

[9] 李钢，共同基金证券投资的组合管理

八、附录

model:

title 马柯维茨投资组合模型; sets:

month/1..13/;

stocks/A,B,C..J/:MEAN,X; link(month,stocks):R; stst(stocks,stocks):COV; endsets

data:

target=1.027154; R=

1.07 1.04 1.18 1.00 0.96 1.10 1.03 0.98 1.06 0.99 1.12 1.09 0.95 0.99 1.05 0.86 1.09 1.19 1.14 1.25 1.05 1.27 1.06 1.24 0.96 1.07 1.27 1.02 1.02 0.85 1.04 0.98 1.06 0.89 1.11 0.97 0.96 1.08 0.97 0.70 1.26 0.79 1.24 1.14 1.17 0.99 1.16 1.00 0.85 1.18 1.36 1.17 1.01 1.09 1.19 1.12 0.70 0.96 0.75 0.69 0.93 0.86 0.88 0.88 1.06 1.11 1.08 1.13 1.07 1.04 0.96 1.03 1.15 0.96 1.18 1.05 0.95 0.97 1.03 1.25 0.96 1.09 0.86 0.97 1.03 1.02 1.05 1.13 1.01 0.96 1.09 1.07 0.95 1.16 1.02 1.11 0.87 0.88 0.84 0.96 1.06 1.08 0.92 0.85 enddata calc:

@for(stocks(i):MEAN(i)=

@sum(month(j):R(j,i))/@size(month)); @for(stst(i,j):COV(i,j)=@sum(month(k):

(R(k,i)-mean(i))*(R(k,j)-mean(j)))/(@size(month)-1)); endcalc

[obj] min=@sum(stst(i,j):COV(i,j)*x(i)*x(j)); [one] @sum(stocks:X)=1;

[two] @sum(stocks:mean*x)>=target; end

0.95 1.20 1.19 1.11 1.17 1.23 1.17 1.02 0.96 1.07 0.68 1.11 1.09 0.92 0.86 0.73 1.15 1.08 1.17 1.04 1.01 0.99 1.08 1.03 0.77 0.71 ;