概率论与数理统计习题集及答案

第1章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；

(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ；

B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= .

§1 .2 随机事件的运算

1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

(1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： .

(3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设S{x:0x5},A{x:1x3},B{x:24}：则

（1）AB ，（2）AB ，（3）AB ， （4）AB= ，（5）AB= 。

§1 .3 概率的定义和性质

1. 已知P(AB)0.8,P(A)0.5,P(B)0.6，则

(1) P(AB) , (2)(P(AB))= , (3)P(AB)= . 2. 已知P(A)0.7,P(AB)0.3, 则P(AB)= .

§1 .4 古典概型

1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,

(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.

2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1 .5 条件概率与乘法公式

1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知P(A)1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)1/2, 则P(AB) 。

§1 .6 全概率公式

1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中

‘的概率相同。

2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取

到红球的概率。

§1 .7 贝叶斯公式

1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的

概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

2． 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为，

B被误收作A的概率为，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

A B L R C D 2. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为,和，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好

命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案

§1 .1 1：（1）S{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}； （2）S{0,1,2：（1）A{1,2,3}

3,5}B{3,4,5,6}；

（2）A{正正，正反},B{正正，反反},C{正正，正反，反正}。

§1 .2 1： (1) ABC；(2) ABC；(3) ABC；(4)ABC；(5) ABACBC；

(6) ABACBC 或 ABCABCABCABC；

2： (1)AB{x:1x4}；(2)AB{x:2x3}；(3)AB{x:3x4}；

（4）AB{x:0x1或2x5} ；（5）AB{x:1x4}。

§1 .3 1： (1) P(AB)=, (2)P(AB)= , (3) P(AB) = 0.7. 2：P(AB))=.

28101019810101910（C22C8C22C82C22）/C30/C30§1 .4 1：(1)C8C22/C30,(2)(,(3)1-(C22C8C22）.

2： P4/4.

§1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。

§1 .6 1： 设A表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10

设B表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) =

3321822 10910910两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。

2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是，所求概率为：

p = × + × =

§1 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： ；

§1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)

= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) 2： (1) ++=； (2) 1-=.

第2章 随机变量及其分布

§ 随机变量的概念，离散型随机变量

1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X的分布律. 2 某射手有5发子弹，每次命中率是，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。

§ 01分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y～π(X), 试求： p

（1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。

§ 贝努里分布

1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为，计算机是否被使用相互独立，

问在同一时刻

(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少 (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少 (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少 (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少

2 设每次射击命中率为，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于

§ 随机变量的分布函数

x101设随机变量X的分布函数是： F(x) = 0.51x1

1x1（1）求 P(X≤0 )； P0X1；P(X≥1)，(2) 写出X的分布律。

Ax2 设随机变量X的分布函数是：F(x) = 1x0x0x0, 求（1）常数A, (2) P1X2.

§ 连续型随机变量

1 设连续型随机变量X的密度函数为：f(x)kx0x1

0其他（1）求常数k的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形， （3）用二种方法计算 P(- x102 设连续型随机变量x0的分布函数为：F(x) = lnx1xe

1xe(1)求X的密度函数f(x)，画出f(x)的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>.

§ 均匀分布和指数分布

1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4x+ 4Kx + K + 2 = 0

2有实根的概率。

2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

§ 正态分布

1 随机变量X～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)； (2) 确定c，使得 P(X>c) = P(X2 某产品的质量指标X服从正态分布，μ=160，若要求P(120§ 随机变量函数的分布 1设随机变量X的分布律为； X 0 1 2 p Y = 2X – 1, 求随机变量X的分布律。

2(1x)0x12设随机变量X的密度函数为：f(x)，

0其他YX2；求随机变量Y的密度函数。

3. 设随机变量X服从（0， 1）上的均匀分布，Y2lnX ，求随机变量Y的密度函数。

第2章作业答案

§ 1： X 3 4 5 p 2： X 1 2 3 4 5 p × ×× ××× ××××1 § 1： (1) P(X = 1) = P(X≥1) – P(X≥2) = – = , (2) P(X≥1) = ,

(3) P(X≤1) = 1 - P(X≥2) = 1 – = 。 2：(1) 由乘法公式：

P(X=2,Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2)= × (e22e22e2)= 2e2

（2）由全概率公式：P(Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y≤2 | X=3)

= ×5e + ×

2173e= + = 2（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=

P(X2,Y2)0.270670.516

P(Y2)0.52458§ 1： 设X表示在同一时刻被使用的台数，则 X ～B(5, ,

223332445(1) P( X = 2 ) = C50.60.4 (2) P(X ≥3 ) = C50.60.4C50.60.40.6 4455 (3) P(X ≤3 ) = 1 - C50.60.40.6 (4)P(X ≥1 ) = 1 - 0.4

2： 至少必须进行11次独立射击.

§ 1：（1）P(X≤0 )=； P 0X1 = ；P(X≥1) = ，

(2) X的分布律为： X -1 1 P 2： (1) A = 1, (2) P1X2 =1/6

02§ 1：（1）k2，（2）F(x)x1（3）P(- x00x1； x100.50.500.50.5f(x)dx0dx2xdx1； 4 或= F(0,5) – F =

110。 441/x1xe 2： （1）f(x) （2）P(X2)1ln2

其他0§ 1： 3/5 2： (1)e2(2)e2e4

§ 1：(1) , , , ；(2) c = 3， 2：σ≤。

§ 1： Y - 1 1 3 p 11y/2(1y)0y1e2： fY(y)y， 3： fY(y)200其他y0y0；

第3章 多维随机变量

§ 二维离散型随机变量

1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到

的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： X Y 0 1 2

试根椐下列条件分别求a和b的值； 0 0.2 a (1)P(X1)0.6； 1 b (2)P(X1|Y2)0.5； (3)设F(x)是Y的分布函数，F(1.5)0.5。

§ 二维连续型随机变量

1. (X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)k(xy)0x1,0y1

其他0求（1）常数k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。 2．(X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)kxy0x1,0yx

0其他求（1）常数k；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。

§ 边缘密度函数

1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。

2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。

§ 随机变量的独立性

1. (X, Y) 的联合分布律如下， X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值； 1 1/6 1/9 1/18 (1) P(Y1)1/3； 2 a b 1/9 (2) P(X1|Y2)0.5； （3）已知X与Y相互独立。 2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c，并讨论X与Y是否相互独立

*§ 多个随机变量的函数的分布 *§ 几种特殊随机变量函数的分布 第3章作业答案 § 1： X Y 1 2 2： (1) a= b=

1 (2) a= b=

2 0. 0.3 (3) a= b=

1 § 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。 § 1： fX(x)12dy2(1x2)(1y2)(1x2)x；

fY(y)12(1x2)(1y2)dx2(1y2)y；

xex 2： fX(x)0eyx0； fY(y)x00y0； y0§ 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。

2： c = 6, X与Y相互独立。

第4章 随机变量的数字特征

§ 数学期望

1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是： （A）1； （B）； （C）； （D）2.

3x22x412. 设X有密度函数：f(x)8 , 求E(X),E(2X1),E(2),并求X大于数学期望

其他X0E(X)的概率。

3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： X Y 0 1 2

已知E(XY)0.65， 0 0.2 a 则a和b的值是： 1 b （A）a=, b=； （B）a=, b=； （C）a=, b=； （D）a=, b=。 4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求EX,EY,E(XY1)。

§ 数学期望的性质

1．设X有分布律： X 0 1 2 3 则E(X2X3)是： p

（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.

25yx2y12. 设(X,Y)有f(x,y)4，试验证 E(XY)E(X)E(Y)，但X与Y不

其他0相互独立。

§ 方差

1．丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX,DX.

2．X有密度函数：f(x)0x2(x1)/4 ，求 D(X).

其他0§ 常见的几种随机变量的期望与方差

1． 设X~(2),Y~B(3,0.6),相互独立，则E(X2Y),D(X2Y)的值分别是：

（A）和； （B）-1和4； （C）和； （D）和. 2. 设X~U(a,b),Y~N(4,3)，X与Y有相同的期望和方差，求a,b的值。

（A） 0和8； （B） 1和7； （C） 2和6； （D） 3和5.

§ 协方差与相关系数

1．随机变量 (X,Y) 的联合分布律如下：试求协方差 Cov(X,Y)和相关系数XY， X Y －1 0 1 . 0 0 1 2．设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试求协方差 Cov(X,Y)和相关系数XY，

§ 独立性与不相关性 矩

1．下列结论不正确的是（ ）

（A）X与Y相互独立，则X与Y不相关； （B）X与Y相关，则X与Y不相互独立；

（C）E(XY)E(X)E(Y)，则X与Y相互独立； （D）f(x,y)fX(x)fY(y)，则X与Y不相关； 2．若 COV(X,Y)0，则不正确的是（ ）

（A）E(XY)E(X)E(Y)；（B）E(XY)E(X)E(Y)； （C）D(XY)D(X)D(Y)；（D）D(XY)D(X)D(Y)； 3．（X,Y）有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。 X Y －1 0 1 . －1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 4．E(XY)E(X)E(Y)是X与Y不相关的（ ）

（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。 5. E(XY)E(X)E(Y)是X与Y相互独立的（ ）

（A） 必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证X与Y不相关，但不独立。

第4章作业答案

§ 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9； § 1： D；

§ 1：7/2, 35/12； 2：11/36； § 1：A； 2： B； § 1：， ； 2：－1/144, －1/11； § 1：C； 2：C； 3：X与Y不相关，但X与Y不相互独立；4：C；5：A；

第5章 极限定理

*§ 大数定理 § 中心极限定理

1． 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用

的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。 2． 某一随机试验，“成功”的概率为，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次

的概率的近似值。

第5章作业答案

§ 2：； 3：， ；

第6章 数理统计基础

§ 数理统计中的几个概念

1． 有n=10的样本；， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则样本均值X= ，样本均方差S ，样本

方差S 。

22．设总体方差为b有样本X1,X2,,Xn，样本均值为X，则Cov(X1,X) 。

2§ 数理统计中常用的三个分布

21. 查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9= ，0.1(5)= ，t0.9(10)= 。

2．设X1,X2,,Xn是总体(m)的样本，求E(X),2D(X)。

§ 一个正态总体的三个统计量的分布

2

1．设总体X~N(,)，样本X1,X2,,Xn，样本均值X，样本方差S，则

2X/n1n~ ，

X~ ，

S/n12(Xi1iX)～ ，

22(Xi1ni)2～ ，

*§ 二个正态总体的三个统计量的分布 第6章作业答案

§ 1．x1.57,s0.254,s20.0646； 2. Cov(X1,X)b2/n；

D(X)2m/n；

§ 1．， ， ； 2．E(X)m,§ 1.N(0,1),t(n1),2(n1),2(n)；

第7章 参数估计

§ 矩估计法和顺序统计量法

x1.设总体X的密度函数为：f(x)010x1其他，有样本X1,X2,,Xn，求未知参数 的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~()，为估计的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6

量数： 9 5 3 7 4 试求的一阶矩估计和二阶矩估计。

§ 极大似然估计

(1)x1.设总体X的密度函数为：f(x)0似然估计。

0x1其他，有样本X1,X2,,Xn，求未知参数 的极大

§ 估计量的评价标准

ˆ2X1是a 的无偏估计。 1.设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布，有样本X1,X2,,Xn，证明a22.设总体X～()，有样本X1,X2,,Xn，证明aX(1a)S是参数的无偏估计（0a1）。

§ 参数的区间估计

1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度X~N(,),抽取9根纤维，测量其纤度为：，，，，，，，，，

试求的置信度为0.95的置信区间，（1）若220.0482,（2）若2未知。

2. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得x12.075㎜，s = ㎜, 设另件长

2度X~N(,),取置信度为0.95，（1）求的置信区间，（2）求的置信区间。

2*§ 二个正态总体的参数的区间估计 *§ 区间估计的二种特殊情形 第7章作业答案

§ 1：(X2)； 2： 5， ； 1X§ 1：(nlnXi1n1)2；

i§

§ 1：（，），（，）； 2：（，）；, ；

第8章 假设检验

§ 假设检验的基本概念

1. 某种电子元件的阻值（欧姆）X~N(1000,400),随机抽取25个元件，测得平均电阻值x992，试在

0.1下检验电阻值的期望是否符合要求

2. 在上题中若未知，而25个元件的均方差s25，则需如何检验，结论是什么

2§ 假设检验的说明

1. 设第一道工序后，半成品的某一质量指标X~N(,64),品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验H0:0，H1:0；n16，当X与0的绝对偏差不超过时，许进入下一工序，试推算该检验的显着性水平。

§ 一个正态总体下参数的假设检验

1. 成年男子肺活量为3750毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们

22的肺活量，得平均值为x3808毫升，设方差为120，试检验肺活量均值的提高是否显着（取

0.02）

*§ 二个正态总体下参数的假设检验 *§ 假设检验的三种特殊情形 第8章作业答案

§ 1：拒绝H0:1000； 2： 接受H0:1000； § 1：；

§ 1：拒绝H0；