安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题(含答案解析)

2020－2021学年第二学期期末考试卷

高二理科数学

满分：150分 考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用O．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．

3.请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效．

4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设全集UZ，集合A{y∣y2,yZ}，则

UA（ ）

A.{y∣y2} B.{y∣y2,yZ} C.{y∣y2} D.{y∣y2,yZ} 2.已知i为虚数单位，复数z满足（2＋3i）z＝－3＋2i，则z为（ ） A.i B. －I C.1＋I D.1－i

23.若XN,，则（ ）

A.abP(Xa)P(Xb)B.abP(Xa)P(Xb)

C.ab2P(Xa)P(Xb)1D.ab2P(Xa)P(Xb)1

4.某人在网上购买了100只青岛产的虾，开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：

白色 灰色 中小虾 40 20 大虾 15 25 则可以认为大虾与其颜色有关的概率

n(adbc)2参考公式：K，其中n＝a＋b＋c＋d．

(ab)(cd)(ac)(bd)2

PK2k k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 A．至多为99.9%B.至少为99.5%C.至多为0.5%D.至少为0.1% 5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A.4B.8C.16D.64

x26.直线l过点（2，1），且与双曲线y21有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（ ）

4A.1B.2C.3D.4

7.在平行四边形ABCD中，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，设CBa,CDb，则AF（ ） A.31311313abB.abC.abD.ab 444444448.如图所示，在矩形OABC内，线段AB与圆弧ODC相切于D，已知矩形的长和宽分别为23和1，现在向矩形OABC内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为（ ）

A.

531231B.C.D. 74182929.小张在创业之初，于2020年1月5号交了30%的首付（30万元），贷款买了一台价格为100万元的大型设备，约定：还款期为10年，月息为千分之六，从2020年的2月5号开始以等额本金的形式还贷，即每月还本

金

7万元及本次还款前一个月未还的本金产生的利息．假设受市场影响，小张在2021年的5月5号开始不能12如期还款，故小张当天在网上变卖这台设备，结果只卖出50万元，用来一次性还银行贷款以后，则当天小张还差银行（ ）

A.10.3675万元 B.11.2500万元 C.11.6175万元 D.18.7755万元

10.动点P，Q分别在函数f(x)exx,g(x)2x2的图象上运动，则|PQ|的最小值为（ ）

B. A.2 3552 C. D.5 541,x0,11.定义sgn(x)0,x0,int(x)为不超过x的最大整数，例如int(3.1)3,int(1)=1,int(1.6)－2，若区

1,x0,间[m,n]（nm为正整数）在数轴上任意滑动，则区间[m,n]覆盖数轴上整数的个数为（ ）

A.(nm1)int(nsgn(n)) B.(nm)int(nsgn(n)) C.(nm1)sgn(nint(n)) D.(nm1)sgn(nint(n))

12.log23,log38,log510的大小关系为（ ）

A.log23log38log510 B.log510log38log23 C.log38log23log510 D.log38log510log23 二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分．

13.sin117sin243的值为．

yx1,

1

14.已知实数x，y满足不等式组yx1，若zxy，则z的最大值为．

3y2x1



15.若x2y220a0xa1xya2xy4038362a20y，则ai的值为．

i0202016.在四棱锥P－ABCD中，若PA＝AB＝AD＝2，∠BCD＝2∠PAB＝2∠PAD＝2∠BAD＝－ABCD外接球表面积为．

2，则四棱锥P3三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．

17.（10分）

在等差数列an中，已知a1,a3分别为复数z28i的实部与虚部．

（1）求an的通项公式； （2）令bn3，求数列bn的前n项和Sn． anan118.（12分）

在三角形ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，A（1）若c＝2，B＝

2． 3，AD平分角A交BC于D，求AD的长； 4（2）若b，c为函数f(x)x210x1的两个不同的零点，求BC边上的高． 19.（12分）

小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：

项目A

利润占投入的百分比 频率 10% 50% 项目B

利润占投入的百分比 频率 10% 40% 5% x －5% y 5% 40% －5% 10% y代替，B这两个项目的平均利润率相同．项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，但调研时发现：投资A，以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响． （1）求x，y的值；

（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了200万人民币的风险投资．现在小张与投资方共同決定对 A，B这两个项目分别投资100万元，请预测小张总利润率的概率分布和总利润的数学期望． 20.（12分）

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2PA＝2，对角线AC与BD交于O点，连接PO． （1）求证：AC⊥PB

（2）过B点作一直线l平行于PC，设Q为直线l上除B外的任意点，设直线PQ与平面PAC所成角为，求sin的取值范围

21.（12分）

已知函数g（x）的图象与函数ylnx的图象关于直线y＝x对称，f(x)g(xa)lnx1，设f(x) 为函数f（x）的导函数

（1）当a＝1时，求f(x)的零点；

（2）当0＜a＜1时，设f(x)的最小值为h(a)，求证：h(a)0． 22.（12分）

x2y2x22已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线y2＝1

ab42的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1. （1）求椭圆C的标准方程；

（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且PO2OQ，试判断△PMN的面积是 否为定值，并说明理由．

2020－2021学年第二学期期末考试

高二理科数学参考答案

1.【答案】D

【解析】由题意可知，2.【答案】A

【解析】因为(23i)z32i，所以z3.【答案】A

【解析】由正态分布曲线得，abP(Xa)P(Xb)，所以A正确，B错．ab2P(Xb)UA{y∣y2,yZ}，所以选D

32ii(23i)i

23i23iP(Xa)P(Xa)P(Xb)P(Xa)P(Xa)1，所以C，D错，所以选A．

4.【答案】B

【解析】补成如下的2×2列联表：

白色 灰色 合计 2中小虾 40 20 60 大虾 15 25 40 合计 55 45 100 100(40252015)2所以K8.2497.879，所以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为

6040455599.5%． 5.【答案】B

【解析】最后输出的结果为112228 6.【答案】B

【解析】因为点（2，1）在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切． 7.【答案】A

【解析】如图，在AD上取G点，使得AG＝GE＝ED，在BC上由左到右取K，H，使得BK＝KH＝HC，连GH，接AK，则AK∥GH∥EC，因为DE∥BC且DE所以AFADDFa11DBBC，所以DFDB（相似比），所以DF，344131(ab)ab． 444

8.【答案】D

【解析】设圆弧所在圆的圆心为E，因为矩形的长和宽分别为23和1，所以OC＝23，拱高为1，所以∠

2224OEC＝，EO＝2，所以图中阴影部分的面积S阴影 33又矩形OABC的面积为23，33343231． 所以质点落在图中阴影部分的概率为39223239.【答案】C

【解析】小张在2021年的5月5号这一天差银行贷款本金共计7071561.25万元，当天设备 12卖了50万还了银行以后还差银行本金为11.25万，再加上2021年4月5号到5月5号产生的利息为

7614770150.3675万元，所以小张还差银行11.25＋0.3675＝11.6175万元． 12100040010.【答案】B

【解析】f(x)exx,f(x)ex1，设动点Px0,y0，当yf(x)在P点处切线与g（x）＝2x－2平行，

过点P作直线垂线，垂足为点Q时，|PQ|取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线2x－y－

x2＝0的距离是|PQ|的最小值．令fx0e012，解得x00，故P（0，1），所以

|PQ|mind11.【答案】C

|12|35.

55【解析】因为n－m为整数，

所以当n为整数时，m也为整数，所以此时[m，n]覆盖数轴上nm1个整数，当n不是整数时，m也不是整数，所以此时[m，n]数轴上覆盖n－m个整数，可以验证：区间[m，n]覆盖数轴上整数的个数为

(nm1)sgn(nint(n))，所以选C．

12.【答案】C

【解析】log23log49，所以只需比较log38,log49,log510的大小．设f(x)logx(x5)(x2)，因为x＞2

所以

lnxln(x5)xlnx(x5)ln(x5)f(x)x52x02lnxx(x5)lnx，记

(x)xlnx，所以

(x)lnx10(x2)所以(x)(x5)所以f(x)在（2，＋∞）上单调递减，所以选C．

13.【答案】0

【解析】sin117°＋sin243°＝cos27°＋（－cos27°）＝0 14.【答案】

11 3yx1,11【解析】作出不等式组yx1,zxyyxz所对应的可行域如图，其中C（2，3），当且

33y2x1,仅当动直线过点C（2，3）时，则z的最大值为

11． 3

15.【答案】320

r【解析】Tr1C20(1)rx220rr(2y)rC20(1)r2rx402ryr，所以iN,a2i0,a2i10

在

x22y20a0x40a1x38ya2x36y2a20y20中，令

x1,y1得，

a0a1a2a316.【答案】3

a19a203，即ai的值为320．

i020202，∠BCD＝，所以A＋C＝，即四边形ABCD四点共圆，四棱锥P－ABCD的

33外接球与三棱锥P－ABD的外接球为同一个，又PA＝AB＝AD＝2，∠PAB＝∠PAD＝∠BAD＝所以三棱

3【解析】因为∠BAD＝

锥P－ABD为正四面体，如图，构造棱长1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，易求得外接球半径R3，所以外接球表面积S3． 2

17.【解析】（1）设公差为d，因为a1,a3分别为复数z28i的实部与虚部， 所以a12,a38,………………（2分）

所以2d＝8－2，所以d＝3，……………………（3分） 所以ana1(n1)d23(n1)3n1

即an通项公式为an3n1；……………………（5分） （2）bn311……………………（7分） anan1anan1所以Snb1b21111bna1a2a2a311 anan111113n………………（10分） a1an123n26n4ABsin 23418.【解析】（1）因为sinBDAsinsin3cos4cos3sin462，………………（2分） 4

在三角形ABD中，由正弦定理得， ,ADc，………………（4分） sinBsinBDA因为c＝2，B＝

csinB，所以ADsinBDA42222(31)；…………（6分） 624（2）因为b，c为函数yx210x1的两个不同的零点，所以bc10,bc1，…………（8分） 在三角形ABC中，由余弦定理得，ab2c22bccosA设BC边上的高为h，因为SABC(bc)22bc(1cosA)3……（10分）

1ah,S2ABC111bcsinA，所以ahbcsinA，所以2223bcsinA3……………………（12分） h2a3619.【解析】（1）投资项目A的平均利润率为10%x50%＋5%×40%－5%×10%＝0.065，……………（2分） 投资项目B的平均利润率为10%40%5%x5%y10%40%5%[x(60%x)]

10%40%5%(2x60%)，……………………（4分）

因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同

所以10%×40%＋5%（2x－60%）＝0.065，解得x＝0.55，y＝0.05，…………（6分）

（2）预测小张的总利润率为X，则X的值为10%，7.5%，5%，2.5%，0，－5%，进一步可以预测小张总利润率的概率分布为

X P 10% 20% 7.5% 43.5% 5% 22% 2.5% 6.5% 0% 7.5% －5% 0.5% ………………………………………………（10分）

小张总利润为200E(X)200(10%20%7.5%43.5%5%22%2.5%6.5%5%0.5%)13(万元)．…………………………（12分）

20.【解析】（1）延长BA、CD交于一点R， 因为AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2a，

所以△RBC为正三角形，且AD为三角形RBC的中位线，即A为BR边的中点， 所以CA⊥BA，……………………………………………………………………（1分） 因为PA⊥底面ABCD，AC⸦平面ABCD，所以PA⊥AC，…………………（2分）

因为 ABPA＝A，所以AC⊥平面PAB，PB⸦平面PAB，

所以AC⊥PB；…………………………（4分） （2）由（1）得，AP，AB，AC两两垂直，

故以A为原点，射线AB，AC，AP的方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，…………………（5分） 显然平面PAC的法向量为n1(1,0,0)，…………………（6分） P（0，0，1），C（0，3，0），B（1，0，0），

所以PC＝（0，3，－1），PB＝（1，0，－1），…………………（7分） 因为l∥PC，

所以可设PQPBtPC(1,0,1)t(0,3,1)(1,3t,(t1)) 其中tR,t0，…………………（9分）

sin|nPQ||1|1……………………（10分） 2222|n||PQ|4t2t21(3t)(t1)742因为tR,t0，所以4t2t2,，

所以sin271270,t，当且仅当时，．………………（12分） sin27474t2t2121.【解析】由已知得，g(x)ex，

所以f(x)exalnx1(aR)，定义域为(0,)，

1为(0,)上的增函数…………………………（2分） x11x111（1）当a＝1时，f(x)e,f(1)e0，

x11x1因为f(x)e为(0,)上的增函数

xf(x)exa所以f(x)在(0,)上有唯一的零点1；………………（4分）

1a0（2）当0＜a＜1时，f(1)ee10,f(a)11110，……………………（6分） a1为(0,)上的增函数 x1xa所以f(x)e在(0,)上有唯一的零点x0，且x0为函数f（x）的极小值点，………………（8分）

xxa因为f(x)e

因为fx00,ex0a1， x01lnx01……………………（10分） x0x0alnx01所以h(a)fx0e因为x0(a,1)，且tx01lnx01为(0,)上的减函数， x0所以tx0t(1)00，即h(a)0．…………………………（12分）

x2y2222.【解析】（1）因为椭圆C：221（a＞b＞0）的离心率为，

ab2所以a2c，其中ca2b2，………………（1分）

xx2双曲线y21的两条渐近线的方程为y，

24设FG＝t，则OF＝2t，

因为三角形OEG的面积为1，所以

12t2t1，所以t2， 22cOF2t2,a2c2，

x2y2所以椭圆C的方程为1；……………………（4分）

42（2）①当直线MN的斜率不存在时， 因为PO2OQ，

所以Q（－1，0），此时MN的方程为x＝－1， 或Q（1，0），此时MN的方程为x＝1

66x2y21,,N1,将x＝－1，代入椭圆方程 1得M2242所以△PMN的面积为

1136， |MN||PQ|6322236；……………………（6分） 2由椭圆轴对称性得：当MN的方程为x＝1时，△PMN的面积也为②当直线MN的斜率存在时，

设直线MN方程为y＝kx＋m， 设Mx1,y1,Nx2,y2,Px3,y3，

因为MN的中点为Q，且PO2OQ，所以△PMN的重心是坐标原点O，

所以x1x2x30，

yyy0312x2y2联立y＝kx＋m和1，

4222222得2k1x4kmx2m40,Δ824km，

4km2m24当Δ0时，x1x2 ,x1x2222k12k1所以x3故P4km2m,yyykxx2m， 312122k212k212m4km,， 222k12k122k21因为点P在椭圆上，所以代入椭圆整理得m，满足Δ0，

22k21因而m与k满足的等式关系为m①，…………………………（9分）

22当Δ0时，xx12Δ22k1824k2m22k21………………………………（10分

因为△PMN的重心是坐标原点O，所以△PMN的面积为△OMN的面积的3倍， 设直线l与y轴交与点D，则D（0，m）．

38m224k2m21那么△PMN的面积为3|OD|x1x2，

2222k1关系式①代入得S36， 236．……………………（12分） 2综合①②得，△PMN的面积为定值