全国高中数学联赛 历届真题

1981第一届全国高中数学联赛

试题部分 一、选择题

下面7个题目各提出四个答案，将你认为正确的答案的英文字母代号填写在题后的括号内. 1． 条件甲：两个三角形的面积和二条边对应相等.条件乙两个三角形全等.

(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件

(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件

答( ) 2.条件甲:

1sina.条件乙: sin2cos2a.

(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件

(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件

答( ) 3.设aksinatana. (k0,1,2,...),T2cosa9cota(A)T取负值 (B)T取非负值

(C)T取正值 (D)T取值可正可负

答( )

4.下面四个图形中,哪一个面积最大?

00(A)ABC:A60,B45,AC2 0(B)梯形:两对角线长度分别为2和3,夹角为75

(C)圆:半径为1

(D)正方形:对解线的长度为2.5

答( ) 5.给出长方体ABCDA'B'C'D',下列十二条直线:

AB',BA',CD',DC',AD',DA',BC',CB',AC,BD,A'C',B'D'中有多少对异面直线?

(A)30对 (B)60对

D'(C)24对 (D)48对

A'

D A

答( )

C'B'CB6.在坐标平面上有两个区域M和N.M是由y0,yx,和y2x这三个不等式确定的.N是随t变化的区域,它由不等式txt1所确定的,t的取值范围是0t1.设M和N的公共面积是函数f(t).则f(t)为:

12 (B)2t2t 21212(D)1t (D)(t2)BPQn

22(A)tt2 答( ) 7.对方程x|x|pxq0进行讨论,下面的结论中,哪能个是错误的?

(A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根

(C)仅当p4q0才有实根 (D)当p0和q0时,有三个实根

答( )

二、下列表中的对数值有两个是错误的,请予纠正. x 0.021 0.27 105 208 3 5 21gx x 2abc3 6a3b2 6 7 3abc 12a2bc 8 9 2ab 14 ac 1gx 1abc 2(bc) 33a3c 4a2b 01c2b 三、在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45角.若CD与EF分别交直径AB

于P和Q,且圆O的半径长为1.求证:PCQEPDQF2.

四、组装甲、乙、丙三种产品，需用A，B，C三种零件.每件甲需用A,B各2个;每件乙需用B,C各1个;每件丙需用2个A和1个C.用库存的A,B,C三种零件,如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品,则剩下2个A和1个B,但C恰好用完.试证:无论臬改变产品甲、乙、丙的件数,也不能把库存的A,B,C三种零件都恰好用完.

五、一张台球桌开头是正六边形ABCDEF.一个球从AB的中点P击出,击中BC边上的某点

Q,并且依次碰击CD,DE,EF,FA各边,最后击中AB边上的某一点,设BPQ,求的取值范围.

提示:利用入射角等于反射角的原理.