第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示
一、函数及映射的概念 函数 映射
两集合 A、B
设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
对应关系 f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
二、函数的定义域、值域、相等函数 1．定义域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域． 2．值域：
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．相等函数：
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 三、函数的表示方法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 四、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数三要点
(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段
函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式．
(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．
1．给出四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是一个函数；
③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数． 其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 A
2．下列函数中，与函数y＝x相同的是( ) A．y＝ B．y＝()2C．y＝lg 10x D．y＝2log2x 【答案】 C
3．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________. 【答案】 ＋(x≠0)
4．设函数f(x)＝则f(f(3))＝________. 【答案】
5．(2013·陕西高考)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则?RM为( ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 【答案】 B
6．(2013·浙江高考)已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________. 【答案】 10
考向一 [010] 求函数的定义域
(1)(2014·郑州模拟)函数y＝＋(x－1)0的定义域是( )
A．[－3,1)∪(1,2] B．(－3,2)C．(－3,1)∪(1,2) D．[－3,1)∪(1,2)
(2)(2013·大纲全国卷)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( ) A．(－1,1) B.C．(－1,0) D. 【答案】 (1)C (2)B
规律方法1 1.本例?1?在求解中，常因遗忘“00无意义”而错选B；本例?2?在求解中；常因不理解f?x?与f?2x＋1?的关系而错选A或C.
2.?1?求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍.
?2?对抽象函数：①若函数f?x?的定义域为[a，b]，则函数f?g?x??的定义域由不等式a≤g?x?≤b求出.②若已知函数f?g?x??的定义域为[a，b]，则f?x?的定义域为g?x?在x∈[a，b]时的值域.
对点训练 (1)函数f(x)＝的定义域为( ) A．(－1,2) B．(－1,0)∪(0,2) C．(－1,0) D．(0,2)
(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(x)的定义域为________． 【答案】 (1)C (2)
考向二 [011] 求函数的解析式
(1)已知f(x＋1)＝lg x，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)； (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)．
规律方法2 求函数解析式常用以下解法：
?1?待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
?2?换元法：已知复合函数f?g?x??的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； ?3?构造法：已知关于f?x?与f或f?－x?的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f?x?.
对点训练 (1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是正比例函数，g(x)是反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，求F(x)的解析式．
(3)已知2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，x∈(－1,1)，求f(x)的解析式．
考向三 [012] 分段函数及其应用
(1)(2013·福建高考)已知函数f(x)＝，则f＝________. (2)设函数f(x)＝若f(x)＞4，则x的取值范围是________． .
【答案】 (1)－2 (2)(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 规律方法3 1.本例(2)求解用了两种不同的方法．其中方法一是常规方法，方法二采用图解，其结果更加直观，但画图时务必尽量准确．
2．应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论． 对点训练 (1)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
(2)已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪(0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.∪(0,1) 【答案】 (1)D (2)B
思想方法之二 分段函数求值妙招——分类讨论思想
分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．
分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点： (1)明确分段函数的分段区间．
(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．
(3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内． ————[1个示范例]————[1个对点练]————
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