Ｖｏｌ． １９， Ｓｕｐ．２００４年１０月第１９卷增刊Ｏｃｔｏｂｅｒ．２００４电磁散射数值分析中的特征基函数方法聂在平 徐利明（电子科技大学，ｚｐｎｉｅ）ｕｅｓｔｃ． ｅｄｕ． ｃｎ，四川成都６１００５４）摘要研究了电磁散射分析中一种新颖的拒阵降阶技术—特征基函数（ＣＢＦ）方法，并从理论和应用两方面对其进行讨论。基于模型分块以及高层级基函数的概念，首先构造散射体子块上的特征基函数，包括反映初始激励响应的一次基函数（ＰＣＢＦ）和反映不同子块之间互作用的高次基函数，来构成全局的矩阵方程。所得到的矩阵尺度仅与子块数量Ｍ有关，故极大的降低了传统０－－ｆ法中阻杭拒阵的尺度。由于基函数的构建充分考虑了子块间的相互藕合，因而得到的特征基函数较能真实地描述实际电流分布规律；通过求解全局方程确定ＭＺ待求童，即可得到较为精确的数值结采。关键词电磁散射，矩量法，特征基函数，高效算法１引言 在高效数值方法的最新进展中，比较令人瞩目的是快速多极子方法（ＦＭＭ）和多层快速多极子方 近年来，基于积分方程的各种数值方法在电磁法（ＭＬＦＭＡ） ［４－１１。它们通过加法定理展开格林函散射问题分析中获得了广泛的应用。众所周知，经数并利用分组、分层概念降低阻抗矩阵的储存需求，典的矩量法严格计及各子散射体之间的互藕，导致同时大大加快了迭代求解中的矩阵与矢量相乘，计生成的阻抗矩阵为满阵，其存储复杂度为Ｏ（ＮＺ），算复杂度仅为Ｏ（Ｎ＇＇ｓ ），Ｏ（Ｎ・ＬｏｇＮ）。最近提出直接求解矩阵方程的计算复杂度为Ｏ（Ｎ３）（其中Ｎ的特征基函数方法（ＣＢＦ）则基于散射体分块的概为未知量数），迭代求解的计算复杂度为Ｏ（ＮＺ ），但念，构造高层级（Ｈｉｇｈ ｌｅｖｅｌ）基函数，并通过全局矩还依赖于收敛特性（迭代次数）。随着目标电尺寸的阵来计及块间互藕，可避免迭代方法考虑块间互作增大，对计算机资源的要求迅速增加，形成了实际应用时的缺陷，提供了一条求解大尺度问题的新思路。用的瓶颈。为了降低矩量法的计算时间和存储复杂利用ＣＢＦ来求解电大尺寸目标的电磁散射问 度，已提出了多种针对矩量法的改进方法。一方面，题。通过理论分析与数值实例证明，利用ＣＢＦ分析人们极力寻求各种矩阵稀疏化方法以减少计算量。电磁散射问题，不但有效降低了阻抗矩阵的尺度，同例如利用小波基函数来对阻抗矩阵进行稀疏化，但时可获得满意的精度。由于ＣＢＦ是基于使用三角其困难在于如何针对不同的实际情况构造小波贴片的ＲＷＧ基函数来构建的，故可模拟任意复杂基［［Ｉ］；阻抗矩阵定位方法（ＩＭＬ）［２〕通过选择合适的的目标表面结构。其与ＦＭＭ和ＭＬＭＦＡ的结合基函数分布来获得狭窄的“方向图”分布，从而使得应用，将形成求解电大尺寸问题的重要技术途径。阻抗矩阵得以稀疏化，同时保持条件数不变。但这本文亦指出了ＣＢＦ方法的一些不足之处及其改进些方法通常要求目标表面足够平滑。另一方面，直措施。接降低阻抗矩阵尺度的方法，如高阶基函数方法通过定义大贴片上的高阶基函数来降低未知量数目并２理论基础提高收敛性，但效果极为有限。宏基函数（ＭＢＦ）和２．１经典矩Ｎ法（ＭＯＭ）和阻抗矩阵多层分块方法（ＳＭＡ）先获得较大区域块上的宏基对于一般的散射问题，以理想金属导体（ＰＥＣ） 函数［［３１，迭代求解得到总的电流分布；由于没有直接的电场积分方程为例，利用定义在三角贴片上的在阻抗矩阵中考虑块间互藕，使得矩阵性态难以保ＲＷＧ基函数，可以得到如下矩阵方程：证，而且仅适用于平面结构。牙。Ｉ＝Ｖ （１）４６电波科学学报第１９卷其中Ｚ为ＮＸＮ维的阻抗矩阵，Ｉ和Ｖ分别为ＮＸ１维的未知电流向量和激励向量；Ｎ为未知量数，对应于全局公共边数目。为了满足精度要求，目标表面网格单元尺度最好要小于Ａ／８，基函数就是定义在这些网格单元上的。显然，在电尺寸很大时２１ ，冰Ｎ；） Ｉｃ冰１，一Ｖ（ｃ＋ｒ， ｌ，）Ｘ１），ｊ＝１，２，…，ｉ一１，１－｝－１，…，Ｍ（３）这里的Ｚ ｒＮ．；； ）Ｘ Ｎ；，与（２）式中的相同；Ｖ铆Ｘ１）是第ｊ块ＰＣＢＦ对第ｉ个子块的作用形成的激励向量，可由下式表示：ＭＯＭ将产生维数巨大的满矩阵方程，成为求解实 ＶＮ）ｃｒ ＸＤ一Ｚ冰Ｎｐ Ｉ（冰１） （４）际问题的巨大制约因素。如果能够在较大的分块区域上定义能较好表征该区域上电流分布的“宏”基函数，显然可以降低未知量数，从而降低矩阵维数。ＭＢＦ， ＳＢＦ， ＳＭＡ方法就是在此基础上提出来的，但这些方法需要在不同分块之间递归求解来不断修正待求量。与上述方法不同，特征基函数（ＣＢＦ）的构建则充分考虑了分块之间的互藕，无需递归求解。２．２特征基函数方法ＣＢＦ方法的出发点是将整个目标结构划分成 Ｍ个子块。为了反映块间的相互作用，在每个子块上又可构建Ｍ个ＣＢＦ。其中之一描述了初级场照射下的本块自作用，称为“一次基函数”（ＰＣＢＦ， ｐｒｉ－ｍａｒｙ ｌｅｖｅｌ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ）；另外Ｍ－１个ＣＢＦ则反映块间互作用，称为“二次基函数”（ＳＣＢＦ， ｓｅｃ－ｏｎｄａｒｙ ｌｅｖｅｌ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ）。当然，还可包括高次互藕作用形成的更高次的ＣＢＦ。由于高次互辆作用通常较弱，一般取到二次基函数即可。此时，共有Ｍ｀个特征基函数来描述整个散射体表面的电流分布。一般情况下，子块数Ｍ与式（１）中的Ｎ相比要小得多，因此基于ＣＢＦ的矩阵方程尺度远远小于（１）式中的全局矩阵尺度。ＰＣＢＦ的构建 每一子块作为独立的区域，以初始人射场作为激励，可以构成Ｍ个独立的矩阵方程：Ｚ（ （ｉＮ．ｉ）ｘ 从） Ｎｉ）冰： Ｉ（，一Ｖ（（ｉＮ．ｉ）ｘｌ），ｉ一１，２，＂＂＂，Ｍ （２）其中Ｎ‘是第ｉ子块的网格公共边数量；Ｚ ７ （ｉＮ１ｉｉ ）ｘ Ｎ｝．，的上脚标（ｉ１ｉ）表示孤立的第ｉ个子块阻抗矩阵的自作用，下脚标（Ｎｉ ＸＮ；）表示该量是Ｎｉ Ｘ Ｎ；阶的矩阵或向量；ｆ Ｖ（（ｉＮ．０．Ｘｉ，表示子块ｉ上各处的初始平面波激励；Ｉ（ｉＮ．ｉｊ）ＸＩ，表示初始激励（如平面波）作用下本区域内单元的相互作用生成的电流系数，用以构成该区的ＰＣＢＦ。显然ＰＣＢＦ没有考虑其它子块的作用。如果每一子块是相同的，则式（２）中的阻抗矩阵属冰Ｎ．，和相应的ＰＣＢＦ也是相同的，对式（２）只需求解一次即可。ＳＣＢＦ的构建以双匆认） 作为ｊ子块电流对第ｉ个子块的激励可以得到第ｉ子块的Ｍ－１个ＳＣＢＦ：其中Ｚ＜ ｉ｝ ｉｓ，体现了子块之间的相互藕合关系，上脚标（１，）ｊ表示孤立的第Ｊ块对第ｉ个子块的作用。 这样，通过求解方程（２）和（３）可以得到每一子块上的Ｍ个ＣＢＦ（包括１个ＰＣＢＦ和Ｍ－１个ＳＣＢＦ）。对于Ｍ个子块，则共有Ｍ个ＰＣＢＦ和Ｍ（Ｍ－１）个ＳＣＢＦ，这样（１）式中的全局电流分布可以表示如下：Ｉ（１Ｎ．，ｋＸ）１）「ｌｅｓｗｅＸ）Ｉ）ｔｌ．Ｉ（ＮＸ１）＝ＬＩ。“・”＋又 ｃ （２，ｋ）买２．［（Ｎ，ｋｅｓｅｓｅｓ ＋ｅｓｅｓｅｓ ｅｓ 洲ｅｓＪ 阳 ００」（ ５ 一＋习 ｃ （Ｍ，ｋ） Ｉ （ＭｌＮＭＸｋ）Ｄ ）其中包含个Ｍ２待定系数。。全局ＣＢＦ队杭矩阵的生成一伽略金方法 将（５）式代人（１）式，可以得到： ａ。Ｃ＝Ｖ （６）其中ａ＝Ｅ撰 ０（（１Ｎ１ｘＤ １）） ０（（１Ｎ，ＸＩ２））“・ｏｕ，思０ （２ＮＸＤ’０（．１）（２Ｎｘ，２）ｌ）一０（（２ＮＸ，ＭＩ） ０ （ＭｌＮＸ２ｌ） ） ． ｏ（（Ｍ，ＮｘＩ２））…ｏ（（ＭＩＮＸＤＡＤ…〕（７）Ｉｌｉ）Ｎ，ｘＮ，’ｉ（ｉＮ，ｋｉＸ）Ｄ０ （ｉＮＸＩ，ｋ））＝（冰Ｎ，）’Ｉ（ｉＮ，ｋｉＸ）ｌ）（８）Ｍ，‘）ＮＭＸＮｉ）・Ｉ（ｉＮ，ｋｊＸ）Ｄ 斌ＭＸｌ）＝Ｃ）ｌｉ（Ｃ Ｃ （ｉ．２，一。（ｉ，Ｍ）〕（９）在方程（６）中， 未知量有１ｗ个，而线性方程有Ｎ个，通常情况下Ｍ＜Ｎ，因此方程（６）是一个超定方程。出现这一情况是因为上述方程是基于方程（１）推出的，这里是对全局ＲＷＧ基函数采用伽略金匹配方法，因而产生了Ｎ个线性方程。为了得到标准的矩阵方程，可以在方程（６）的两端左乘ＯＨ，即〔７〕ＯＨＯ。Ｃ＝０Ｈ Ｖ （１０ ）令Ａ＝ＶＨＶ ，Ｂ＝ＯＨＶ，则Ａ・Ｃ＝Ｂ （１１）增刊聂在平等：电磁散射数值分析中的特征基函数方法 可以证明方程（１１）是采用最小二乘法得到的矩阵方程，并非是针对ＣＢＦ采用伽略金方法得到的结果，虽然最小二乘法也是可以获得便分稳定性的方法，但是由于百是较大的矩阵，求解互时较为困难。下面从方程（１１）出发，推导采用伽略金方法针对ＣＢＦ基函数得到的矩阵方程。全局阻抗矩阵元素可以表示为：２画＝＜几，＜Ｋ， 人＞：，＞：二（１２）呱 ＝＜几，Ｅ“＞５二（１３）其中几表示ＲＷＧ基函数，元表示积分函数核。５。表示第ｍ个基函数的定义域（相邻三角贴片）。按照前述ＣＢＦ的定义，在第１个子块的第ｋ个ＣＢＦ为：Ｎ‘ Ｆ“，‘，＝又Ｊ盆・‘・”ｆ盆，）Ｐ１之，‘，，，＝〔井・”六几・ ，〕・１公，‘，２，１盆，左，从’＝［六・‘，几六， 即〕・１１冰１） （１４）要注意的是，这里的局部编号（１，ｋ，Ｐ）（第１子块上、一第趉个鯟ＣＢＦ、第赑个全局未知量与全局编号舖之间有一一对应的关系。采用伽略金方法进行检验，阻抗矩阵元素应该为：Ａ（‘，＊）（，，。＝（尸‘，。），（雳，尸ｊ，Ｄ＞马）乓（１５）凡 怂 ＝（习１盆，‘，对ｆ盆，户，，（孟，习１分，‘，）ｑｆ护，‘）、＞、（１６）一习Ｊ之，‘，，，（几，”，习１分，‘，‘（元，刀，‘）：。）：，（１７）一〔双本，〕Ｔ・最冰愁，・爪冰１）（１８）这里２款劝‘．ｊ砂的上标表明，２盆户‘ｑ，ｊ，仅与块编号有关，与该块对应的ＣＢＦ编号无关。同样，对应的右端激励向量为Ｂ（，，＊）＝（（Ｆ‘，。），Ｅ‘）乓（１９）从 一（名１票，‘，，，ｆ盆，，，，Ｅ‘＞。‘（２０）一［ １｛冰；）〕Ｔ・Ｖ准ｘｌ，（２１）其中Ｂ‘表示第１子块上的整个表面。这里得到的互、Ｂ与方程（１１）中的压、Ｂ表达式是不一样的，无论是从表达形式上还是计算上看都要简单得多。可以看出，采用ＣＢＦ后， 矩阵方程的维由Ｎ变为ＭＺ，一般情况下，分块数是远远小于全局未知量数的，即砂＝Ｎ，极大降低存储需求；由于整个过程只涉及小矩阵的计算，计算时间也得以减少。２．３ＣＢＦ方法应用中的几个具体问题 ）１直接划分子块将导致一个间题，即在对（２）式和（３）式进行求解时，每一子块的剖分边界会被误认为是真实的边缘，将导致原本并不存在的边缘电流。解决的办法是求解式（２）或式（３）时，将原子域先扩展成更大的一个区域，求解之后再取原子区域的解作为ＣＢＦ。这样，ＣＢＦ中将不含边沿电流。在利用（３）式和（４）式计算次级基函数的时候，也要从（４）式中排除掉扩展区域内的初级电流的贡献。另外，也可采用与ＦＭＭ方法中类似的方式来构建ＣＢＦ，即并不人为隔断目标表面，原来的所有公共边都参与求解，这样不会在分块边界上出现电流的不连续性，同时也简化了处理过程。）２ 直接得到的ＣＢＦ基函数并不满足正交性，相应的阻抗矩阵性态可能较差；因此应该先对ＣＢＦ进行处理，例如进行Ｇｒａｍ－Ｓｃｈｍｉｄｔ标准正交化，正交后基函数对应的阻抗矩阵条件数较小。）３ 从前述过程可以看出，计算过程中实际要用到所有的阻抗矩阵元素，但不同的部分使用频度不一样，例如同样的小阶数矩阵暑１，“要用到Ｍ次，用于求解ＦＣＢＦ和ＳＣＢＦ；这是ＣＢＦ方法减少计算量的主要原因。在计算二次激励和生成ＣＢＦ矩阵时要用到才‘）ｊ，，可以实时计算而不需存储；这是降低储存量的重要因素。这样，确定ＣＢＦ时的存储复杂度为０（Ｍａｘ（Ｎ‘）ｘＭ），而ＣＢＦ矩阵的复杂度为０（初ＺＸＭＺ）。４）由（２）式和（３ ）式可知，求解每一个子块上Ｍ个ＣＢＦ时，用到相同的矩阵暑‘，‘，，其维数较小，可用ＬＵ分解求解后重复多次使用，以进一步降低计算量。 ）５全局矩阵互的维数为ＭＺ，对于复杂表面结构，为了能够较好模拟表面电流分布，要求划分较多的子块，从而生成较大的压矩阵。但考虑到ＳＣＢＦ是高次电流，可以利用部分藕合模型来舍弃远区子块ＳＣＢＦ的作用（与相应的ＰＣＢＦ相比较，或者直接利用距离门限进行取舍），就可进一步减小全局矩阵的阶数。利用ＣＢＦ方法， 本文给出了两个求解实例，并与直接求解方法进行了比较，从中可以看到ＣＢＦ作３数值实例电波科为新颖的矩阵降阶方法的优势和较高的计算精度。如图１所示的４单元ＰＥＣ贴片天线阵， 单个正方形贴片边长为ａ＝１ｍ，间距ｄ＝１ｍ， ｙ极化平面波垂直人射，计算了ｆ ＝ ３０ＭＨｚ， １００ＭＨｚ和３００ＭＨｚ几种情况下的Ｅ面双站ＲＣＳ，结果分别如图２、图３和图４所示。取Ａ邝的网格密度，产生５１２个三角贴片，共７０４条公共边。使用全局ＲＷＧ基函数求解时矩阵牙的尺度为７０４ Ｘ ７０４。现采用ＣＢＦ方法求解，将天线阵分成４个子块，生成的ＣＢＦ方法的矩阵Ａ尺度为１６ Ｘ １６，求解规模大大降低，而计算结果与全局ＲＷＧ方法非常吻合。图５是一个边长的正方形ＰＥＣ平板， 计算了平面波垂直人射时双站ＲＣＳ。网格密度为，生成１６００个三角贴片，公共边数目为４７２０，相应的为。采用ＣＢＦ方法求解时分成１６个子块，得到的矩阵尺度为。计算结果如图６所示，由于前面提到的人为分块，又未采用扩展区域的原因，得到的电流分布存在一些误差，影响了ＲＣＳ的精度。通过扩展分块技术其它类似处理措施，可以在一定程度上降低这一误差。图１贴片天线阵列几何结构，．，．官－，ｓ盈侣】． 诩０以 卫如￣日皿．如－Ｒｗ心朋书．３０ ００，．１２０，．．１００幻０ ２翻朴．７的７，７０ ３００９ｐ哈】．加叫卜的加．．图２ ｆ＝３０ＭＨｚ的计算结果学学报第１９卷加１５，０育蕊，也】．。Ｕ盆名戈｝三．￣．－，０－２１０３－ＦＥＫＯ． Ｒｗ心０ ７二０ ９０ １２０ １５０ １３０ ２１０ ２的２７０ ７００ ３３０，．．ｅ昨抽口．】ｗｈ．ｎｑ卜加加．．圈３了＝１００ＭＨｚ的计算结果官盈封｝．０“戈．口．￣．ｅｍ＂９ａ ｈｗ＂ｆｔｍ－９ｏ ＂Ｄ．图４ ，ｆ＝３００ＭＨｚ的计算结果图５矩形金月平板的，日ｎｏｒｍａｌ１ －－ｃ＾－－Ｒ明Ｇ（‘－－－ＣＢＦ翻 幼豆 忍翻此公，铭石１．怕‘矛．，．０Ｏ ＩＤ＂．）州肠．扣０加．．图６金属平板的双站ＲＣＳ增刊轰在平等：电滋散封数值分析中的特征基函数方法４结论 基于分块的概念，特征基函数（ＣＢＦ）方法通过构建较大尺寸分块上的“特征基函数”来生成较低尺寸的矩阵方程，从而降低了求解过程中的储存需求和计算时间。其它的分区方法〔习并没有直接在基函数中考虑分块之间的藕合作用，只是通过递归迭代对基函数进行修正，需要较长的迭代时间，甚至由于矩阵的病态而难于收敛。而ＣＢＦ可以认为是通过不同阶次的特征基函数来体现结构的自藕合和互藕合的贡献，它们包含了频率信息和几何结构信息，因此还可以通过频率扩展来构建不同频率情况下的基函数。由于是基于标准的矩量法基函数（例如定义在三角贴片上的ＲＷＧ基函数）构建的，ＣＢＦ实际上是一组加权的分域基函数组合，而权系数是待定的自由度，它们通过求解全局藕合矩阵方程最终确定，因而更容易数值实现与精度控制。由于ＣＢＦ方法是基于子块间的藕合方程进行 求解的，因此，对于给定的电大尺寸散射体，可根据其结构特征进行子块划分，例如互藕相对较弱的结构部件作为一个子块；同时，若子散射体本身电尺寸就很大，还可利用ＦＭＭ求解孤立子块的矩阵方程。总之，ＣＢＦ方法提供了一条进一步降低电大尺寸问题求解规模的途径。参考文献［１］ Ｋ ＦＳ ａｂｅｔ， Ｊ Ｃ Ｃｈｅｎｇ， ａｎｄ Ｌ ＰＢ Ｋａｔｅｈｉ． Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｗａｖｅｌ ｅｔ－ｂａｓｅｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ｐｒｉｎｔｅｄ ｃｉｒｃｕｉｔ ａｎｔｅｎｎａ ａｒ－ｒ ａｙｓ［Ｊ ］，ＩＥＥ Ｐｒｏｃ Ｍｉｃｒｏｗａｖｅｓ Ａｎｔｅｎｎａｓ Ｐｒｏｐａｇａｔ，１４６ （１９９９）：２９８＾－３０４．［２］ Ｆ Ｘ Ｃａｎｎｉｎｇ． Ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｉｍｐｅｄａｎｃｅ ｍａｔｒｉｘ ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎｍｅｔ ｈｏｄ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ａｎｔｅｎｎａｓ Ｐｒｏｐａｇａｔ， ＡＰ－４１（１９９３）：６５９＾６６７． ［３］ Ｓ Ｏｏｍｓ ａｎｄ Ｄ ＤＺ ｕｔｔｅｒ． Ａ ｎｅｗ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｄｉａｋｏｐｔｉｃｓ－ｂａｓｅｄ Ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ Ｍｏｍｅｎｔｓ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｐｌａｎａｒ ｃｉｒｃｕｉｔｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｔｅｃｈ， ４６（１９９８）：２８０＾－２９１． ［４］聂在平，胡俊，姚海英，王浩刚．用于复杂目标三维矢量散射分析的一种高效数值方法［Ｊ］．电子学报，１９９９， ２７（６）：１０４＾－１０９． ［５］ Ｈｕ Ｊｕｎ， Ｎｉｅ Ｚａｉｐｉｎｇ， Ｇｏｎｇ Ｘｉａｏｄｏｎｇ． Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｅｌｅｃ－ｔ ｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｒａｄｉａｔｉｏｎ ｂｙ ＦＭＭ ｗｉｔｈＣｕｒ ｖｉｌｌｉｎｅａｒ ＲＷＧ Ｂａｓｉｓ［Ｊ］． Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｌｅｃ－ｔｒｏｎｉ ｃｓ，２００３，１２（３）：４５７＾－４６０．［６］聂在平，王浩刚．含腔电大尺寸导体目标电磁散射的一体化数值模拟［Ｊ］．物理学报，２００３，５２（１２）：３０３５ －３０４２． ［７］ Ｖ ＳＰｒ ａｋａｓｈ， Ｓ Ｊ Ｋｗｏｎ， ａｎｄ Ｒ Ｍｉｔｔｒａ． Ａｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｄｅｎｓｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｉｓｉｎｇ ｉｎｔ ｈｅ ｍｅｔｈｏｄ－ｏｆ－ｍｏｍｅｎｔｓ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ［ Ｊ ］． ＭｉｃｒｏｗａｖｅＯｐｔ ｉｃａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌ Ｌｅｔｔ，３３ （２００２）：１９６＾－２００．