圆中的动点问题

圆中的动点问题

作者：彭业凯

来源：《数学金刊·初中版》2012年第12期

点在圆弧上运动

如图1所示，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.

求证：CD2+3CH2是定值.

题中半径不变，DG，GH和HE之间的等量关系不变，可过点H作HF⊥CD于点F，构造相似三角形，应用相似及勾股定理等知识用CD2来表示CH2，求出CD2+3CH2是一个定值. 连结OC，易证四边形ODCE为矩形，所以DE=OC=OA=3. 所以DH=2. 过点H作HF⊥CD于点F，因为EC⊥CD，所以HF∥EC. 所以△DHF∽△DEC.所以==. 所以DF=CD，CF=CD-FD=CD. 在Rt△CHF中，CH2=HF2+CF2=HF 2+CD2；在Rt△HFD中，HF 2=DH2-DF2=4-CD2，所以CH2=4-CD2. 所以CD2+3CH2=CD2+34-CD2=12，即CD2+3CH2是定值. 如图2所示，AB为⊙O的直径，OC=4，∠OAC=60°，一动点M从点A出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO=S△COA时，求动点M所经过的弧长.

要使得S△MAO=S△COA，△MAO与△COA就必须同底等高，因此先要确定满足条件的点M，再确定弧AM所对的圆心角的大小，这样就可以求出动点M经过的弧长.

（1）作点C关于直径AB的对称点M1，连结AM1，OM1. 易得S=S，∠AOM1=60°，所以l=·60=π. 所以当点M运动到M1时，S△MAO=S△COA，此时点M经过的弧长为π. （2）过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连结AM2，OM2，易得S=S，所以∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°. 所以l=π·2=π或l=·120=π. 所以，当点M运动到M时，S△MAO=S△COA，此时点M经过的弧长为π.

（3）过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连结AM3，OM3，易得S=S，且

∠BOM3=60°. 所以l=·240=π或l=π·2=π. 所以当点M运动到M3时，S△MAO=S△COA，此时点M经过的弧长为π.

（4）当点M运动到点C时，S△MAO=S△COA，此时点M经过的弧长为·300=π或π+π=π.

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点在线段上运动

如图3所示，△ABC内接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，点D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，点P是BC边上一点，连结AD，DC，AP，已知AB=8，CP=2，点Q是线段AP上一动点，连结BQ并延长交四边形ABCD的一边于点R，且满足AP=BR，则的值为______.

研究点Q，R的运动过程发现，随着点Q在线段AP上运动，点R也在四边形ABCD边上运动，即落在四边形ABCD的边AD或边CD上，可画出图形，再应用全等、相似等知识求出的值.

（1）当点R在AD边上时，如图4所示，由题意可知四边形ABCD是正方形，因为BP=BC-PC=6，AB=8，所以AP==10.

易证△ABP≌△BAR，所以AR=BP，BR=AP=10. 又△AQR≌△PQB，所以BQ=QR. 所以的值为1.

（2）当点R在CD边上时，如图5所示，易证△ABP≌△BCR，所以∠BPA=∠CRB，BR=AP=10.

又∠PBQ=∠RBC，所以△BPQ∽△BRC . 所以=. 又BP=6， BR=10，BC=8，所以BQ==4.8，QR=5.2. 所以的值为.