广西壮族自治区柳州市2023届高三数学下学期摸底考试试题文

（考试时间 120分钟满分150分）

注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知集合A. 2. 设mR，若复数A.

Ax|x21，By|y1，则AB（）B.

1,1的虚部与复数

C. [1,)D. [1,1)z12iz2mmi的虚部相等，则

z1z2（）

3iB. 1iC. 3iD.

3irb3aba（）3. 已知向量a,b，的夹角为3，且a2，，则A－1

.B.

334C. －2D. 1

4. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）

1

A. 这五个社团的总人数为100

B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C. 这五个社团总人数占该校学生人数的8%

D. 从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%5. 执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)

358A. 2

B. 2C. 3D. 56. 若alg0.3,blog32,clog54，则（）A. cbaB. bcaC.

cabD. abc4

7. 若

sinπ

5，则cos2＝（）247724A. －25B. 25C. －25D. 25xy20xy208. 设变量x，y满足约束条件x1，则目标函数的最小值为（）y1zxyA. 2

B. －3

C. －2

D. 0

2

9. 已知直线ykx(k0)与圆C:x2y14相交于A，B两点AB23，则k＝（）

221A. 54B. 31C. 25D. 12ππππysinx(0)ysin(x)x10. 若直线的一条对称轴，且函数44是曲线4在区间[0，12]上不单调，则的最小值为（）A. 911. 已知

f(x1)B. 7C. 11D. 3

是定义为R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在[1,0)上单调递增，在[0,)上单调递减，xf230的解集为（）则不等式A. (1,2)B. (,1)C.

(2,)D. (,1)(2,)12. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的x2y221(a0,b0)2ab反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且

cosBAC35，ABBD，则E

的离心率为（）

5A. 217B. 310C. 2D. 53

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13. 记等差数列14. 若函数

an的前n项和为Sn，若a30,a4a53，则S11___．

在点f(x)xlnx1，则

f(x)(1,f(1))处的切线方程为___．

11x2y21的左、右焦点，P在椭圆上运动，求PF15. 已知F1,F2是椭圆PF2的最小值为___．14316. 在正方体

ABCDA1B1C1D1

中，点E为线段B1D1上的动点，现有下面四个命题：

①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥EA1BD的体积为定值；④三棱锥EA1BD外接球的体积为定值．

其中所有真命题的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）

17. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2asinC3c．（1）求角A的大小；

a（2）若b2，18. 已知数列7，求△ABC的面积．z1z2.an满足（1）证明an1an是等比数列，并求的前n项和公式.

an的通项公式；

（2）求数列19. 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占

220人表示对冰球运动没有兴趣．

3，而男生有

（1）完成22列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣

没兴趣

合计

4

男女合计

110

（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．

PK2k00.100.0500.250.010k02.7063.8415.0246.635K2nadbc2abcdacbd．20. 如图，在三棱锥

PABC中，ABBC2，PAPBPCAC22，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．21. 已知函数fxlnxax2x．（1）讨论当a0时，f(x)单调性．

ex

a（2）证明：2x22xxfx．5

22. 已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线Q（x，y）的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．

l:y2的距离小1，记动点

（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：AFMAFN．1B2D3A4B5.C6A7C8C9B10.C11D12B13.33

参考答案

6

14.xy015.116.①③17.（1）A333（2）2【小问1详解】由已知及正弦定理知：2sinAsinC3sinC．sinA3因为C为锐角，则sinC0，所以2．因为A为锐角，则A3【小问2详解】由余弦定理，b2c22bccosAa2．则c244ccos37，即c22c30即c3c10，因为c0，则c31所以△ABC的面积S2bcsinA1232sin3332．18（1）证明见解析，

ann21（2）Sn2n12nan11【详解】(1)由an12a12(a2n1可得an1n1),即an1所以an1是一个以2为首项，以2为公比的等比数列

7

所以(2)an12n,所以

an2n1Sna1a2a3an(211)(221)(231)(2n1)2(12n)2222(1111)n12123n2n12n19.（1）填表见解析；有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；

9（2）10.【小问1详解】

根据已知数据得到如下列联表：

有兴趣男女合计9060150没有兴趣203050台计110902002根据列联表中的数据，得K20090302060110901505022006.061，6.0615.024，33所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.【小问2详解】

记至少1人对冰球有兴趣为事件D

记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取2人，有共10个结果，

其中2人对冰球都有兴趣的有1人对冰球有兴趣的有趣的有9个结果，

(A,m),(A,n),(B,m),(B,n),(C,m),(C,n),(A,B),(A,C),(B,C),(m,n)，

(A,B),(A,C),(B,C)，共3个结果，

，共6个结果，则至少1人对冰球有兴

(A,m),(A,n),(B,m),(B,n),(C,m),(C,n)8

所以所求事件的概率P(D)910．20.（1）证明见解析；

210（2）5.【小问1详解】连接OB，如图，

∵ABBC2,AC22，∴AB2BC2AC2，即△ABC是直角三角形，

又O为AC的中点，∴OAOBOC，又∵PAPBPC，∴POAPOBPOC∴POAPOBPOC90．∴POAC,POOB,OBACO，OB、AC平面ABC

∴PO⊥平面ABC．【小问2详解】

由（1）得PO⊥平面ABC，POPA2AO26在VCOM中，OCM45

，

OMOC2CM22OCCMcos45103．9

S111015POM2POOM2633SCOM1223S2ABC3设点C到平面POM的距离为d，由V11POMCVCPOM3SPOMd3SOCMPO，d210解得5，210∴点C到平面POM的距离为5．21（1）解：由题意可知x0,fx1xa2x2xax22x2对于二次函数y2x2xa,18a．当a18时，0,fx0恒成立，f(x)在x0上单调递减；

1当0a8时，二次函数y2x2

x0有2个大于零的零点，分别是

x118a118a14,x24，118a118a118a1当x4,4fx0，f(x)在x,18a44单调递增；x0,118a118a,118a当44fx0，f(x)在x0,4和118a,4单调递减10

综上：当a18时，f(x)在（0，＋∞）单调递减

118a118a118a118a1,,当0a时f(x)在x单调递增；x0,单84444调递减．

ex（2）证明：要证a2x22xxfx，即证exlnx2．（方法一）设hxex

lnx2(x0)，则hxex1x，h

(x)在（0，＋∞）上为增函数，

因为h120,h10，所以h(x)在（12，1）上存在唯一的零点m，且hmem10em1m，即m,mlnm．所以h(x)在（0，m）上单调递减，在m,上单调递增，21所以hxminhmemlnmmm2220，．因为m12,1，所以等号不成立，所hxexlnx20，所以exlnx2，从而原不等式得证

（方法二）不妨设hxexx1，则hxex1,h00，当x0时，h00，当x0时，h00，

因此hxh00,exx10恒成立，．

则hlnxxlnx1h00恒成立，．

则exx1xlnx1exlnx20恒成立，即exlnx2．11

x又xlnx，所以等号不成立，即

elnx2，从而不等式得证

22.【小问1详解】Q（x，y），由题意，得

x2y12y21，当y2时，x2y12y1，平方可得x24y，

当y2时，x2y12y3，平方可得x28(y1)，

2由x8(y1)0可知y1，不合题意，舍去.

22综上可得x4y，所以Q的轨迹方程C为

x4y．

【小问2详解】

t2不妨设At,x2x4(t0)，因为y4，所以y2，t21从而直线PA的斜率为4t0t2，解得t2，即A（2，1），

又F（0，1），所以AF//x轴．要使AFMAFN，只需kFMkFN0．设直线m的方程为

ykx12，代入x4y并整理，得x24kx40．

首先，16k210，解得k1或k1．其次，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1x24k,x1x24，kFMky11xy21x2y11x1y21x2kx12x1kx222k2x1x2FN1x2x1x2x1x2x1x22k8k40，故AFMAFN.此时直线m的斜率的取值范围为,11,．12